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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（5）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x2+3x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．下列方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
4．解方程；；；较简便的方法是（ ）
A．依次为：直接开平方法、公式法、因式分解法
B．依次为：因式分解法、公式法、配方法
C．依次为：直接开平方法、因式分解法、因式分解法
D．依次为：公式法，公式法，因式分解法
5．关于的一元二次方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．已知 为实数，则关于 的方程 的实数根情况一定是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
7．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．没有实数解
C．有两个不相等的实数解 D．无法确定
8．关于x的方程 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，方程无实数根 B．当 时，方程只有一个实数根
C．当 时，有两个不相等的实数根 D．当 时，方程有两个相等的实数根
9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 写出一个没有实数根的一元二次方程 .
12．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 .
13．定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是 ．
14．若等腰的一边长6，另两边长恰好是关于方程的两个实数根，则的面积为 ．
15．已知关于的一元二次方程，下列命题是真命题的是 .
①若，则方程必有实数根；
②若，，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则.
16．已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 解下列方程
（1）；（2）；（3）；（4）．
18．小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：
解：，，，.................第一步
，.............第二步
，.........................第三步
....................第四步
（1）问：小明的解答是从第 步开始出错的；
（2）请写出本题正确的解答.
19．关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围：
（2）若为最大负整数，求此时方程的根．
20．定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“和美”方程．
（1）当b＜0时，判断此时“和美”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．
（2）若“和美”方程2x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，请解出此方程．
21．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的值.
22．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m+2) x＋2m＋2＝0(m>0).
（1）求证：方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值；
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x123．阅读与思考
互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程（，，，是有理数）中，当时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为，．若是一个无理数，则，也都是无理数，我们把和这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程的两根为， m ，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程的两根，也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①和是两个无理数；②是一个有理数． 如：，是无理数， 且____． ∴，是互为有理化的一对无理根． 显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为．
任务：
（1）填空：材料中的 ， ．
（2）求一元二次方程的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．
（3）若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程的另一根及，的值．
24．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，则方程 是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
① ；
② ．
（2）已知关于x的方程 （m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程 （ 是常数， ）是“邻根方程”，令 ，试求t的最大值．
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【课课练】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
2.2一元二次方程的解法（5）（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：
a=3，b=5，c=-1
故答案为：C
2．一元二次方程x2+3x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】C
【解析】△=b2-4ac=32-4×1×5=-11，
∵-11＜0，
∴原方程没有实数根。
选C.
3．下列方程中有两个相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、∵
∴本项有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、∵
∴本项有两个相等的实数根，符合题意；
C、∵
∴本项没有实数根，不符合题意；
D、∵
∴本项有两个不相等的实数根，不符合题意；
故答案为：B.
4．解方程；；；较简便的方法是（ ）
A．依次为：直接开平方法、公式法、因式分解法
B．依次为：因式分解法、公式法、配方法
C．依次为：直接开平方法、因式分解法、因式分解法
D．依次为：公式法，公式法，因式分解法
【答案】A
【解析】①适用直接开方法；②适用公式法；③和④适用因式分解法；
故答案为：A.
5．关于的一元二次方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【解析】 关于x的一元二次方程 有两个实根，
解得： 且 ．
故答案为：C.
6．已知 为实数，则关于 的方程 的实数根情况一定是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】∵a＝1，b＝－（m－2），c＝－2m，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴方程有两个实数根，
故答案为：C．
7．已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数解 B．没有实数解
C．有两个不相等的实数解 D．无法确定
【答案】C
【解析】由题知n＜0，m＞0，且m的绝对值小于n的绝对值
△=（-mn）2-4（m+n）＞0
因此此方程有两个不相等的实数根。
故答案为：C
8．关于x的方程 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，方程无实数根
B．当 时，方程只有一个实数根
C．当 时，有两个不相等的实数根
D．当 时，方程有两个相等的实数根
【答案】C
【解析】A、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有一个实数根，故A选项错误；
B、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个相等的实数根，故B选项错误；
C、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个不相等的实数根，故C选项正确；
D、当 时， ，所以方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，故D选项错误.
故答案为：C.
9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，A不符合题意；
B．k＜0，b＜0，即kb＞0，B不符合题意；
C．k＞0，b＜0，即kb＜0，C符合题意；
D．k＜0，b=0，即kb=0，D不符合题意，
故答案为：C．
10．对于一元二次方程，下列说法：
若，则方程必有一根为；
若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；
若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-，x1x2=，
∴-=，，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=，
∴±=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 写出一个没有实数根的一元二次方程 .
【答案】 (答案不唯一)
【解析】由题意方程可为： ，
∵，
∴方程没有实数根，符合题意；
故答案为： (答案不唯一) .
12．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 .
【答案】
【解析】解方程x2-6x+7=0.
.
∴ ，
∴x1=3+，x2=3-，
直角边斜边长为：.
故答案为：.
13．定义：若一元二次方程（）满足，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则与的数量关系是 ．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程（）是“蝴蝶”方程，
∴a-b+c=0，
∴b=a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴a=c，
故答案为：a=c
14．若等腰的一边长6，另两边长恰好是关于方程的两个实数根，则的面积为 ．
【答案】12或
【解析】如图，过点A作AD⊥BC，
当底边BC=6时，
b2-4ac=0即100-4m=0，
解之：m=25，
∴x2-10x+25=（x-5）2=0
解之：x2=x1=5，
∴腰长AB=AC=5，
∴BD=BC=3，
∴，
∴S△ABC=×6×4=12；
当腰长AB=AC=6时，
设底边长为n，
∴n+6=10，
解之：n=4，
∴BC=4，
∴BD=BC=2，
∴，
∴S△ABC=×4×=；
∴△ABC的面积为12或.
故答案为：12或
15．已知关于的一元二次方程，下列命题是真命题的是 .
①若，则方程必有实数根；
②若，，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则.
【答案】①④
【解析】①∵a+2b+4c=0
∴a=-2b-4c，
∴b2-4ac=b2-4c（-2b-4c）=b2+8bc+16c2=（b+4c）2，
当b，c为任意实数时，（b+4c）2≥0即b2-4ac≥0，
∴此方程必有两个实数根，正确；
②∵b=3a+2，c=2a+2，
∴b2-4ac=（3a+2）2-4a（2a+2）
=9a2+12a+4-8a2-8a=（a+2）2，
当a≠0时，（a+2）2≥0即b2-4ac≥0，
∴此方程必有两个实数根，②错误；
③∵c是方程的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
当c≠0时，则ac+b+1=0，故③错误；
④∵t是一元二次方程的一个根，
∴，
∴
∴b2-4ac=（2at+b）2，故④正确；
正确结论的序号为①④
故答案为：①④
16．已知关于的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为，令，则的取值范围为 ．
【答案】y≤4
【解析】∵方程x2-2x+3m=0有实数根，
∴b2-4ac≥0，即4-12m≥0，
解得m≤，
∵方程x2-2x+3m=0的一个根为t，
∴t2-2t+3m=0，即t2-2t=-3m，
∴y=t2-2t+4m+1=-3m+4m+1=m+1，
∵m≤，
∴.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 解下列方程
（1）；（2）；（3）；（4）．
（1）解：
b2－4ac＝18－4×2＝10＞0
∴
∴
（2）解：，，
∴
∴
，
（3）解：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，；
（4）解：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
18．小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：
解：，，，.................第一步
，.............第二步
，.........................第三步
....................第四步
（1）问：小明的解答是从第 步开始出错的；
（2）请写出本题正确的解答.
【答案】（1）一
（2）解：，
，，，
，
，
.
【解析】（1）移项需要变号，
，
故答案为：一；
19．关于的一元二次方程有两个实数根．
（1）求的取值范围：
（2）若为最大负整数，求此时方程的根．
【答案】（1）解：
．
依题意，得，
解得且
（2）解：为最大负整数，
．
原方程为．
解得，
20．定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“和美”方程．
（1）当b＜0时，判断此时“和美”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．
（2）若“和美”方程2x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，请解出此方程．
【答案】（1）证明：∵b＝ac，b＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4）＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
（2）解：∵m＝2n，
∴Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，
∴n＝0或2，
当n＝0时，方程为2x2＝0，解得x1＝x2＝0；
当n＝2时，方程为2x2+4x+2＝0，解得x1＝x2＝﹣1，
故此方程的解为0或﹣1．
21．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求k的值.
【答案】（1）证明：，
无论k取何值，方程总有实数根.
（2）解：①若为底边，则b，c为腰长，则，则.
，解得：. 此时原方程化为，
，即. 此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若为腰，则b，c中一边为腰，不妨设，
代入方程：，解得或5，
则原方程化为或，
解得，或，，即，，或，，
此时三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形.
或5.
22．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m+2) x＋2m＋2＝0(m>0).
（1）求证：方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值；
（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2(其中x1【答案】（1）证明：△=（3m+2）2-4m （2m+2）
=m2+4m+4
=（m+2）2，
∵m＞0，
∴（m+2）2＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵x= ，
∴方程有一个根为1，
∴方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值.
（2）解：∵x= ，
∴x1=1，x2=2+ ，
∴y=7x1-mx2
=7-m（2+ ）
=-2m+5，
当y≤3m，即-2m+5≤3m，
∴m≥1.
23．阅读与思考
互为有理化的一对无理根的一元二次方程 我们知道，在一元二次方程（，，，是有理数）中，当时，该方程有两个不相等的实数根，这两个实数根分别为，．若是一个无理数，则，也都是无理数，我们把和这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根． 例如：一元二次方程的两根为， m ，它们就是互为有理化的一对无理根． 又如：方程的两根，也是互为有理化的一对无理根． 判断两个根是否互为有理化的一对无理根，需要满足两个条件： ①和是两个无理数；②是一个有理数． 如：，是无理数， 且____． ∴，是互为有理化的一对无理根． 显然，一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，积为．
任务：
（1）填空：材料中的 ， ．
（2）求一元二次方程的两根，并说明该方程的两根是否互为有理化的一对无理根．
（3）若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为，直接写出方程的另一根及，的值．
【答案】（1）；1
（2）解：一元二次方程中，
则，
所以，该方程的两根互为有理化的一对无理根．
（3）解：若方程的两根互为有理化的一对无理根，且一根为
则另一根为．
一元二次方程的互为有理化的一对无理根和为，即．
无理根积为，即．
综上所述，，．
【解析】
x=，
∴，，
∴.
故答案为：，1.
24．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，则方程 是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
① ；
② ．
（2）已知关于x的方程 （m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程 （ 是常数， ）是“邻根方程”，令 ，试求t的最大值．
【答案】（1）解：①解方程 得：x=3或x=-2，
∵3-（-2）=5，
∴ 不是“邻根方程”；
②解方程 得：
∵
∴ 是“邻根方程”；
（2）解：解方程 得：x=m或x=-1，
∵方程 （m是常数）是“邻根方程”，
∴m-（-1）=1或-1-m=1，解得m=0或-2；
（3）解：解方程 得：
∵关于x的方程 （a、b是常数，a>0）是“邻根方程”，
∴
∴n2=m2+8m，
∵ ，
∴t=-3m2+8m=
∴当m= 时，t有最大值 ．
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