浙教版数学八下同步练习：1.3 二次根式的运算
一、选择题
1．（2023八上·沙坪坝期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·河北期中）下列说法正确的个数是（ ）
①数轴上的点与有理数是——对应的；
②的倒数是；
③是最简二次根式；
④一个实数不是正实数就是负实数；
⑤绝对值小于的整数共有5个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023八上·浦东期中）的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020八下·长葛期中）下列二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
5．（2023八上·崇明期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·衡阳月考）已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（ ）秒．
A．5 B．4 C．5 D．4
二、填空题
7．（2023八上·奉贤期中）计算： ．
8．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
9．（2022八上·郓城月考）与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝ ．
10．（2023八上·瑞昌期中）计算： .
11．（2023八上·栾城期中） 计算 ．
12．（2023八上·从江月考）若一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边长是这条直角边长的2倍，则这个直角三角形的面积为 .
三、计算题
13．（2019八下·梁园期末）计算：
（1）
（2）
14．（2023八上·清新期中）计算
（1）；
（2）．
四、解答题
15．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）过点A作，垂足为D、求线段的长．
16．（2023八上·从江月考）工人师傅准备从一块面积为36 dm2的正方形工料上裁剪出一块面积为24 dm2的长方形的工件.
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下的长方形的长、宽的比为4∶3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
17．（2023九上·衡阳月考）如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽（的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、 ， 故不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
D、 ， 正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的加减分别计算，再判断即可.
2．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：数轴上的点与实数是一一对应的，故错误；
的倒数是，故正确；
不是最简二次根式 ，故错误；
一个实数可能是正实数，负实数，还可能是，故错误；
绝对值小于的整数有、、0、1、2，共个，故正确；
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义、实数与数轴的定义分别判断。
3．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A：所得结果不一定是有理式，故A不符合题意；
B：所得结果不一定是有理式，故B不符合题意；
C：所得结果不一定是有理式，故C不符合题意；
D：所得结果一定是有理式，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理化因式的定义进行选择即可。
4．【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：①② 不能化简，③④
与 是同类二次根式，能合并，
故答案为：C.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，可得到与合并的二次根式，由此可得答案.
5．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： A、，故符合题意；
B、与不是同类二次根式，无法合并，故不符合题意；
C、与不是同类二次根式，无法合并，故不符合题意；
D、，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质分别计算，再判断即可.
6．【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：如图，作点关于y轴的对称点，
过点B作x轴的垂线，在此垂线上取一点C使，
∴，
连接，交y轴于D，
当点，N，M，C在同一条线上时，最小，最小值为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
中，，
∴，
∴点，
∴的解析式为，
当时，则，
∴，
，，
∴点P运动花费的时间最短为．
故答案为：A.
【分析】先确定出当，N，M，C在同一条直线上时，点P运动时路程最短，最短为，再求直线的解析式，进而求出点M的坐标，利用直角三角形的性质进行计算．
7．【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】
解：
故答案为：2
【分析】
，
根据二次根式的乘除法运算方法进行计算即可。
8．【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
9．【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】
∵与最简二次根式3是同类二次根式
∴ a-2=2
解得a=4
故答案为4
【分析】本题考查同类二次根式。 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。根据与最简二次根式3是同类二次根式可知 a-2=2，可得a=4.
10．【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：-1.
【分析】根据平方差公式直接进行计算即可求解.
11．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=
=
=
=
=
【分析】利用乘法运算律、二次根式的性质运算即可求解.
12．【答案】10
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：10.
【分析】二次根式乘法法则：二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，再化简。
13．【答案】（1）
＝
（2）
＝
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质将第一项及第二项分别化简，利用平方差公式将第三项去括号，然后合并同类项即可；
（2）根据二次根式的性质将第一项及第二项分别化简，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而根据二次根式的乘法法则算出结果.
14．【答案】（1）解：
＝-3+
＝-；
（2）解：
＝+2-
＝2．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的运算顺序，先计算乘除，然后合并同类二次根式即可．
15．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴的面积；
（2）解：∵的面积，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据“海伦”公式，结合二次根式的性质求解。把，，代入海伦”公式进行计算；
（2）根据三角形的面积公式，结合二次根式的运算求解。由的面积，再建立方程求解．
16．【答案】（1）解：正方形工料的边长为=6 dm
（2）解：设长方形的长为4a dm，则宽为3a dm.
则4a·3a=24，
解得a=，
所以长为4a≈5.656<6，宽为3a≈4.242<6.满足要求.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）正方形的面积=边长的平方，因此正方形的边长就是面积的算术平方根；
（2）根据长、宽的比为4∶3设末知数，利用面积为24建立方程，再算出具体的长与宽，与正方形的边长比较即可判定。
17．【答案】（1）解：长方形ABCD的周长．
答：长方形ABCD的周长是；
（2）种植青菜部分的面积为：
答：种植青菜部分的面积为．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）长方形的周长=2 × （长+宽），二次根式的加法就是先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）长方形的面积=长 × 宽，二次根式的乘法，就是把被开方数相乘。注意：能用乘法公式的要用乘法公式。
1 / 1浙教版数学八下同步练习：1.3 二次根式的运算
一、选择题
1．（2023八上·沙坪坝期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；积的乘方
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、 ， 故不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
D、 ， 正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的加减分别计算，再判断即可.
2．（2023八上·河北期中）下列说法正确的个数是（ ）
①数轴上的点与有理数是——对应的；
②的倒数是；
③是最简二次根式；
④一个实数不是正实数就是负实数；
⑤绝对值小于的整数共有5个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：数轴上的点与实数是一一对应的，故错误；
的倒数是，故正确；
不是最简二次根式 ，故错误；
一个实数可能是正实数，负实数，还可能是，故错误；
绝对值小于的整数有、、0、1、2，共个，故正确；
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义、实数与数轴的定义分别判断。
3．（2023八上·浦东期中）的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A：所得结果不一定是有理式，故A不符合题意；
B：所得结果不一定是有理式，故B不符合题意；
C：所得结果不一定是有理式，故C不符合题意；
D：所得结果一定是有理式，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据有理化因式的定义进行选择即可。
4．（2020八下·长葛期中）下列二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，能与 合并的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：①② 不能化简，③④
与 是同类二次根式，能合并，
故答案为：C.
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式，可得到与合并的二次根式，由此可得答案.
5．（2023八上·崇明期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： A、，故符合题意；
B、与不是同类二次根式，无法合并，故不符合题意；
C、与不是同类二次根式，无法合并，故不符合题意；
D、，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质分别计算，再判断即可.
6．（2023九上·衡阳月考）已知，在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别为A（1，4），B（5，0）．点M、N分别为x轴、y轴上的两个动点．动点P从点A出发以1秒1个单位的速度沿A→N→M到点M，再以1秒个单位的速度从点M运动到点B后停止．则点P运动花费的时间最短为（ ）秒．
A．5 B．4 C．5 D．4
【答案】A
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：如图，作点关于y轴的对称点，
过点B作x轴的垂线，在此垂线上取一点C使，
∴，
连接，交y轴于D，
当点，N，M，C在同一条线上时，最小，最小值为，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
中，，
∴，
∴点，
∴的解析式为，
当时，则，
∴，
，，
∴点P运动花费的时间最短为．
故答案为：A.
【分析】先确定出当，N，M，C在同一条直线上时，点P运动时路程最短，最短为，再求直线的解析式，进而求出点M的坐标，利用直角三角形的性质进行计算．
二、填空题
7．（2023八上·奉贤期中）计算： ．
【答案】2
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】
解：
故答案为：2
【分析】
，
根据二次根式的乘除法运算方法进行计算即可。
8．（2023八上·栾城期中） 已知x＝，y＝，= ．
【答案】
【知识点】分式的加减法；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【解答】x＝，y＝，
【分析】先根据x、y的值求出xy、x+y的值，再将 化简后代入即可求解.
9．（2022八上·郓城月考）与最简二次根式3是同类二次根式，则a＝ ．
【答案】4
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】
∵与最简二次根式3是同类二次根式
∴ a-2=2
解得a=4
故答案为4
【分析】本题考查同类二次根式。 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。根据与最简二次根式3是同类二次根式可知 a-2=2，可得a=4.
10．（2023八上·瑞昌期中）计算： .
【答案】-1
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：-1.
【分析】根据平方差公式直接进行计算即可求解.
11．（2023八上·栾城期中） 计算 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=
=
=
=
=
【分析】利用乘法运算律、二次根式的性质运算即可求解.
12．（2023八上·从江月考）若一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边长是这条直角边长的2倍，则这个直角三角形的面积为 .
【答案】10
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：10.
【分析】二次根式乘法法则：二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，再化简。
三、计算题
13．（2019八下·梁园期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
＝
（2）
＝
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质将第一项及第二项分别化简，利用平方差公式将第三项去括号，然后合并同类项即可；
（2）根据二次根式的性质将第一项及第二项分别化简，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而根据二次根式的乘法法则算出结果.
14．（2023八上·清新期中）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
＝-3+
＝-；
（2）解：
＝+2-
＝2．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的运算顺序，先计算乘除，然后合并同类二次根式即可．
四、解答题
15．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．
（1）求的面积；
（2）过点A作，垂足为D、求线段的长．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴的面积；
（2）解：∵的面积，
∴，
∴．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）根据“海伦”公式，结合二次根式的性质求解。把，，代入海伦”公式进行计算；
（2）根据三角形的面积公式，结合二次根式的运算求解。由的面积，再建立方程求解．
16．（2023八上·从江月考）工人师傅准备从一块面积为36 dm2的正方形工料上裁剪出一块面积为24 dm2的长方形的工件.
（1）求正方形工料的边长；
（2）若要求裁下的长方形的长、宽的比为4∶3，问这块正方形工料是否满足需要？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【答案】（1）解：正方形工料的边长为=6 dm
（2）解：设长方形的长为4a dm，则宽为3a dm.
则4a·3a=24，
解得a=，
所以长为4a≈5.656<6，宽为3a≈4.242<6.满足要求.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）正方形的面积=边长的平方，因此正方形的边长就是面积的算术平方根；
（2）根据长、宽的比为4∶3设末知数，利用面积为24建立方程，再算出具体的长与宽，与正方形的边长比较即可判定。
17．（2023九上·衡阳月考）如图，爷爷家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为，宽BC为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽（的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
【答案】（1）解：长方形ABCD的周长．
答：长方形ABCD的周长是；
（2）种植青菜部分的面积为：
答：种植青菜部分的面积为．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】（1）长方形的周长=2 × （长+宽），二次根式的加法就是先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）长方形的面积=长 × 宽，二次根式的乘法，就是把被开方数相乘。注意：能用乘法公式的要用乘法公式。
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