浙教版数学八下同步练习：2.1 一元二次方程
一、选择题
1．（2023八下·肇东月考）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·青秀期末）一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·招远期末）下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·安庆期末）用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
6．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3
C．3x+=4 D．x2﹣2=0
7．（2023八下·青秀期末） 年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·长丰期末） 在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少年上学期每天作业平均时长为分钟，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天作业时长为分钟设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1=0的一根为0，则m的值是 ．
10．（2023八下·苏州期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
11．（2020八下·江苏月考）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2＋x＋a2﹣1＝0的一个根0，则a值为 .
12．（2023八下·海淀期末）已知是方程的一个实数根，则的值是 ．
13．（2023八下·淮阴期末）某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
14．（2023八下·高邮期末）为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ．
三、综合题
15．完成下列问题：
（1）已知x，y为实数，且 ，求 的值.
（2）已知 是方程 的一个根，求代数式 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、是一元三次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，也可能不是方程，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的表达式：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，即要求即可判断.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的一次项系数是.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、∵方程化为一般式后为6x+1=0，不是一元二次方程，∴A不符合题意；
B、∵方程（a≠0）是一元二次方程，∴B不符合题意；
C、∵方程化为一般式后为x2+3=0，是一元二次方程，∴C符合题意；
D、∵方程不是一元二次方程，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的定义逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 一元二次方程
整理得：
a是二次项系数，故为5
b是一次项系数，故为-4
c是常数项，故为-1
故答案为：C
【分析】了解一元二次方程的定义，根据一般式的样子找到对应的系数，留意符号。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，
∴a2﹣4=0，
∴a=±2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a=﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据方程根的定义把x=0代入即可得出a的值．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：A、x+2y=1是二元一次方程，故错误；
B、方程去括号得：2x2﹣2x=2x2+3，整理得：﹣2x=3，为一元一次方程，故错误；
C、3x+=4是分式方程，故错误；
D、x2﹣2=0，符合一元二次方程的形式，正确．
故选D．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
7．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故答案为：C.
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据等量关系式：第一个月的进馆人次+第二进馆人次+第三个月的进馆人次=2850，列出方程即可解答．
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为，
由题意可列方程：，
故答案为：C.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
9．【答案】﹣1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=0代入方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1=0得到m2﹣1=0，
解得：m=±1，
∵m﹣1≠0
∴m=﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴a-1≠0，解得a≠1.
故答案为：a≠1.
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此列出关于a的不等式求解.
11．【答案】－1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意知，x=0是关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的根，
∴a2-1=0，
解得，a=1或a=-1，
∵a-1≠0，
∴a≠1.
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意，m是方程的一个实数根，则代入得
故填：2026
【分析】所求代数式的形式与方程左边很相似，就是常数项不同，我们代入m就可以得到m2-4m-3=0，移项得m2-4m=3，把代数式中的未知项整体用3来代替，就得到2026.
13．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知2021年底的新注册用户达到万；2022年底的新注册用户达到万.
∴列方程如下：.
故答案为：.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
14．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵ 原价为100元，降价百分率为x，
∴ 降价一次后价格为100（1-x），
降价两次后价格为，
所以方程为.
故答案为：.
【分析】根据降价百分率得出两次降价后关于x的价格，列出一元二次方程.
15．【答案】（1）解：由题意得， ，
∴
∴
（2）解：∵ 是方程 的一个根，
∴
∴
∴
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程的根
【解析】【分析】(1)先利用二次根式成立的条件分别列不等式求出x值，则可求出y值，然后代值计算即可；
(2)把m代入方程得出，将此代入原式，再化简，得出，再把代入其中，继续化简，即得得出结果.
1 / 1浙教版数学八下同步练习：2.1 一元二次方程
一、选择题
1．（2023八下·肇东月考）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、是一元三次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程，也可能不是方程，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的表达式：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，即要求即可判断.
2．（2023八下·青秀期末）一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的一次项系数是.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，据此可得答案.
3．（2023八下·招远期末）下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、∵方程化为一般式后为6x+1=0，不是一元二次方程，∴A不符合题意；
B、∵方程（a≠0）是一元二次方程，∴B不符合题意；
C、∵方程化为一般式后为x2+3=0，是一元二次方程，∴C符合题意；
D、∵方程不是一元二次方程，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的定义逐项判断即可.
4．（2023八下·安庆期末）用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 一元二次方程
整理得：
a是二次项系数，故为5
b是一次项系数，故为-4
c是常数项，故为-1
故答案为：C
【分析】了解一元二次方程的定义，根据一般式的样子找到对应的系数，留意符号。
5．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，
∴a2﹣4=0，
∴a=±2，
∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴a=﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据方程根的定义把x=0代入即可得出a的值．
6．下列方程是一元二次方程（ ）
A．x+2y=1 B．2x（x﹣1）=2x2+3
C．3x+=4 D．x2﹣2=0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：A、x+2y=1是二元一次方程，故错误；
B、方程去括号得：2x2﹣2x=2x2+3，整理得：﹣2x=3，为一元一次方程，故错误；
C、3x+=4是分式方程，故错误；
D、x2﹣2=0，符合一元二次方程的形式，正确．
故选D．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
7．（2023八下·青秀期末） 年月是第个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故答案为：C.
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据等量关系式：第一个月的进馆人次+第二进馆人次+第三个月的进馆人次=2850，列出方程即可解答．
8．（2023八下·长丰期末） 在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少年上学期每天作业平均时长为分钟，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天作业时长为分钟设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为，
由题意可列方程：，
故答案为：C.
【分析】根据题意找出等量关系列方程求解即可。
二、填空题
9．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1=0的一根为0，则m的值是 ．
【答案】﹣1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=0代入方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1=0得到m2﹣1=0，
解得：m=±1，
∵m﹣1≠0
∴m=﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
10．（2023八下·苏州期末）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴a-1≠0，解得a≠1.
故答案为：a≠1.
【分析】形如“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的方程就是一元二次方程，据此列出关于a的不等式求解.
11．（2020八下·江苏月考）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2＋x＋a2﹣1＝0的一个根0，则a值为 .
【答案】－1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意知，x=0是关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的根，
∴a2-1=0，
解得，a=1或a=-1，
∵a-1≠0，
∴a≠1.
∴a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值.
12．（2023八下·海淀期末）已知是方程的一个实数根，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意，m是方程的一个实数根，则代入得
故填：2026
【分析】所求代数式的形式与方程左边很相似，就是常数项不同，我们代入m就可以得到m2-4m-3=0，移项得m2-4m=3，把代数式中的未知项整体用3来代替，就得到2026.
13．（2023八下·淮阴期末）某网络学习平台2020年底的新注册用户数为100万，到2022年底的新注册用户数达到169万，设新注册用户数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可知2021年底的新注册用户达到万；2022年底的新注册用户达到万.
∴列方程如下：.
故答案为：.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
14．（2023八下·高邮期末）为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵ 原价为100元，降价百分率为x，
∴ 降价一次后价格为100（1-x），
降价两次后价格为，
所以方程为.
故答案为：.
【分析】根据降价百分率得出两次降价后关于x的价格，列出一元二次方程.
三、综合题
15．完成下列问题：
（1）已知x，y为实数，且 ，求 的值.
（2）已知 是方程 的一个根，求代数式 的值.
【答案】（1）解：由题意得， ，
∴
∴
（2）解：∵ 是方程 的一个根，
∴
∴
∴
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程的根
【解析】【分析】(1)先利用二次根式成立的条件分别列不等式求出x值，则可求出y值，然后代值计算即可；
(2)把m代入方程得出，将此代入原式，再化简，得出，再把代入其中，继续化简，即得得出结果.
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