浙教版数学八下同步练习：2.2 一元二次方程的解法
一、选择题
1．（2019九上·镇原期末）方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】(x+1)2＝0，
解： x+1=0，
所以x1＝x2＝﹣1，
故答案为：B.
【分析】利用直接开平方法解方程即可.
2．（2020九上·鄄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2-2x-1=0，
x2- x= ，
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ．
故答案为：D．
【分析】根据配方法的方法可对题中的方程配方，从而解答本题。
3．（2023九上·平邑月考）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将常数项移到等式右边为x2+8x=-7
左右两边同时加上一次项系数一半的平方得：
x2+8x+16=-7+16
配方得（x +4)2=9，
故答案为：A.
【分析】首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．
4．（2019八下·包河期末）用公式法解方程3x2+5x+1=0，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：这里a=3，b=5，c=1，
∵△=25-12=13，
∴x= ，
故答案为：A
【分析】利用求根公式求出解即可
5．（2023九上·张北期中）下列方程最适合用配方法求解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
A：，适合直接开平方法求解，不合题意；
B：，适合因式分解法求解，不合题意；
C：，适合配方法求解，符合题意；
D：，适合公式法求解，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查解一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。对于形如x2=m或a（x+n）2=m的一元二次方程，当m≥0或≥0时，可直接开平方求解；形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程，一般用公式法求解；形如ax2+bx=c（a≠0）的方程，一般用配方法求解；若一元二次方程有公因式或可用完全平方法或十字相乘法，则用因式分解法，据此可做出判断。
6．（2023九上·金沙期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，
解得m<2，
又m为正整数，
m=1，
原方程为 ，
，
解得，，
故答案为：C.
【分析】先利用根与系数的关系和m的取值范围求出m的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出结论.
7．（2021九上·莲湖期末）关于x的方程 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，方程无实数根
B．当 时，方程只有一个实数根
C．当 时，有两个不相等的实数根
D．当 时，方程有两个相等的实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有一个实数根，故A选项错误；
B、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个相等的实数根，故B选项错误；
C、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个不相等的实数根，故C选项正确；
D、当 时， ，所以方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】将a=0代入方程，可求出方程的根，可对A作出判断；将a=-1代入方程，可得到方程有两个相等的实数根，可对B作出判断；将a=1代入方程，求出方程的解，可得到方程有两个不相等的实数根，可对C作出判断；当a≠0时，求出其根的判别式的值，由判别式的值不为负数可得到方程有两个实数根，可对D作出判断.
二、填空题
8．（2023八上·遵化期中）已知；则的值为 .
【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】观察方程没有x的一次项，用直接开方法求一元二次方程的解。
9．（2023九上·西和期中）将方程化成的形式，则a+b= ．
【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2-6x+9=-1+9，
（x-3）2=8，
∴a=-3，b=8，
∴a+b= 5.
故答案为：5.
【分析】利用配方法将方程化为（x-3）2=8，据此求出a、b的值，再代入计算即可.
10．（2021九上·江都期末）一元二次方程 的根是 .
【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2 x=0
即x(3x 1)=0
解得： ，
故答案为： ， .
【分析】先把方程整理成一般形式，方程的左边利用“提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
11．（2022·深圳）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
三、计算题
12．（2021九上·温江期中）解方程：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）解：
∴，
解得：，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
，
，
∴或，
∴，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)先两边同除以2，使x2项系数化为1，利用开平方法解一元二次方程即可；
(2)先将方程化为一般式，再利用求根公式法解一元二次方程即可；
(3)先移项，使右式等于0，然后利用因式分解法解一元二次方程即可.
13．（2023九上·金沙期中）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：移项，得，
配方得：，即，
，，
解得：，；
（2）解：，
移项，得，
∴，
∴，，
解得：，.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据移项、配方即可求解；
（2）先移项，再利用因式分解即可求解.
14．（2019九上·南昌期中）解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．
【答案】解：移项，得：2(x－3)－3x(x－3)＝0，
分解因式，得：(x－3)(2－3x)＝0
∴x－3＝0或2－3x＝0
∴x1＝3，x2＝.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】考查解一元二次方程-因式分解法。
15．（2023九上·黄山期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：．
【答案】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根
∴
解得：
∴
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合绝对值的法则和算术平方根的性质求解。当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
四、解答题
16．（2023八上·上海市期中） 关于一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及该方程的根．
【答案】解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）或；
∴一元二次方程化为：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据根的判别式，公式法解一元二次方程求解。利用根的判别式的值为1，求出m的值，再利用求根公式进行求解即可．
五、综合题
17．（2023九上·淮南月考）一元二次方程．
（1）若方程有两实数根，求的范围．
（2）设方程两实根为，，且，求．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，即，
解得且，
的取值范围为．
（2）解：方程两实根为，，
，，
，
，
，
，
解得：；
经检验是原方程的解．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的定义与判别式的关系可得 且即
即可求得m的取值范围；
（2）由韦达定理求出x1+x2的值，x1x2的值，再根据已知条件 ，变形得将x1+x2的值，x1x2的值代入即可求解.
1 / 1浙教版数学八下同步练习：2.2 一元二次方程的解法
一、选择题
1．（2019九上·镇原期末）方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
2．（2020九上·鄄城期中）用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2023九上·平邑月考）用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八下·包河期末）用公式法解方程3x2+5x+1=0，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·张北期中）下列方程最适合用配方法求解的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·金沙期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2021九上·莲湖期末）关于x的方程 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，方程无实数根
B．当 时，方程只有一个实数根
C．当 时，有两个不相等的实数根
D．当 时，方程有两个相等的实数根
二、填空题
8．（2023八上·遵化期中）已知；则的值为 .
9．（2023九上·西和期中）将方程化成的形式，则a+b= ．
10．（2021九上·江都期末）一元二次方程 的根是 .
11．（2022·深圳）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ．
三、计算题
12．（2021九上·温江期中）解方程：
（1）；
（2）；
（3）.
13．（2023九上·金沙期中）解方程：
（1）
（2）
14．（2019九上·南昌期中）解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．
15．（2023九上·黄山期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：．
四、解答题
16．（2023八上·上海市期中） 关于一元二次方程，其根的判别式的值为1，求的值及该方程的根．
五、综合题
17．（2023九上·淮南月考）一元二次方程．
（1）若方程有两实数根，求的范围．
（2）设方程两实根为，，且，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】(x+1)2＝0，
解： x+1=0，
所以x1＝x2＝﹣1，
故答案为：B.
【分析】利用直接开平方法解方程即可.
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：4x2-2x-1=0，
x2- x= ，
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
（x- ）2= ．
故答案为：D．
【分析】根据配方法的方法可对题中的方程配方，从而解答本题。
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将常数项移到等式右边为x2+8x=-7
左右两边同时加上一次项系数一半的平方得：
x2+8x+16=-7+16
配方得（x +4)2=9，
故答案为：A.
【分析】首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．
4．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：这里a=3，b=5，c=1，
∵△=25-12=13，
∴x= ，
故答案为：A
【分析】利用求根公式求出解即可
5．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】
A：，适合直接开平方法求解，不合题意；
B：，适合因式分解法求解，不合题意；
C：，适合配方法求解，符合题意；
D：，适合公式法求解，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查解一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。对于形如x2=m或a（x+n）2=m的一元二次方程，当m≥0或≥0时，可直接开平方求解；形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程，一般用公式法求解；形如ax2+bx=c（a≠0）的方程，一般用配方法求解；若一元二次方程有公因式或可用完全平方法或十字相乘法，则用因式分解法，据此可做出判断。
6．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，
解得m<2，
又m为正整数，
m=1，
原方程为 ，
，
解得，，
故答案为：C.
【分析】先利用根与系数的关系和m的取值范围求出m的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有一个实数根，故A选项错误；
B、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个相等的实数根，故B选项错误；
C、当 时，原方程可化为： ，解得 ，有两个不相等的实数根，故C选项正确；
D、当 时， ，所以方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】将a=0代入方程，可求出方程的根，可对A作出判断；将a=-1代入方程，可得到方程有两个相等的实数根，可对B作出判断；将a=1代入方程，求出方程的解，可得到方程有两个不相等的实数根，可对C作出判断；当a≠0时，求出其根的判别式的值，由判别式的值不为负数可得到方程有两个实数根，可对D作出判断.
8．【答案】
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】观察方程没有x的一次项，用直接开方法求一元二次方程的解。
9．【答案】5
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
x2-6x+9=-1+9，
（x-3）2=8，
∴a=-3，b=8，
∴a+b= 5.
故答案为：5.
【分析】利用配方法将方程化为（x-3）2=8，据此求出a、b的值，再代入计算即可.
10．【答案】 ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵3x2 x=0
即x(3x 1)=0
解得： ，
故答案为： ， .
【分析】先把方程整理成一般形式，方程的左边利用“提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求解.
11．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求解即可。
12．【答案】（1）解：
∴，
解得：，；
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：，
，
，
∴或，
∴，.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)先两边同除以2，使x2项系数化为1，利用开平方法解一元二次方程即可；
(2)先将方程化为一般式，再利用求根公式法解一元二次方程即可；
(3)先移项，使右式等于0，然后利用因式分解法解一元二次方程即可.
13．【答案】（1）解：移项，得，
配方得：，即，
，，
解得：，；
（2）解：，
移项，得，
∴，
∴，，
解得：，.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据移项、配方即可求解；
（2）先移项，再利用因式分解即可求解.
14．【答案】解：移项，得：2(x－3)－3x(x－3)＝0，
分解因式，得：(x－3)(2－3x)＝0
∴x－3＝0或2－3x＝0
∴x1＝3，x2＝.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】考查解一元二次方程-因式分解法。
15．【答案】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根
∴
解得：
∴
【知识点】二次根式的性质与化简；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合绝对值的法则和算术平方根的性质求解。当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
16．【答案】解：由题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）或；
∴一元二次方程化为：，
∵，
∴，
∴．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据根的判别式，公式法解一元二次方程求解。利用根的判别式的值为1，求出m的值，再利用求根公式进行求解即可．
17．【答案】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，即，
解得且，
的取值范围为．
（2）解：方程两实根为，，
，，
，
，
，
，
解得：；
经检验是原方程的解．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的定义与判别式的关系可得 且即
即可求得m的取值范围；
（2）由韦达定理求出x1+x2的值，x1x2的值，再根据已知条件 ，变形得将x1+x2的值，x1x2的值代入即可求解.
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