浙教版数学八下同步练习：2.4 一元二次方程根与系数的关系
一、选择题
1．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（ ）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
3．（2023八下·招远期末） 若两个数的和为，积为，则以这两个数为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·河东期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
5．（2023八下·吉林期末）若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023八下·海阳期末） 已知、是关于的一元二次方程的两个解，若，则的值为 ．
8．（2023八下·闽清月考）实数，是一元二次方程的两个根，则多项式值为 ．
9．（2023八下·安达期末）已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1=，x2=，则x1+x2的结果是
10．（2023八下·杜尔伯特月考）若一元二次方程，则的值是 ．
11．（2023八下·道里期末）已知，是方程的两个根，则 ．
12．（2023八下·兴化期末）设x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x1+x2= ．
三、解答题
13．（2023八下·招远期末） 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且．
（1）求的取值范围；
（2）若取负整数，求的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为，求的值．
14．（2023八下·安庆期末）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若是方程的两根，且，求的值．
15．（2023八下·肇东月考） 已知关于的一元二次方程，
（1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．
故答案为：D．
【分析】一元二次方程x2﹣2x=0种二次项系数a=1，b=-2，c=0，根据一元二次方程根与系数的关系x1x2=即可直接得出答案。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，
∴x1+x2=6，x1 x2=k+1，
∵x12+x22= ﹣2x1 x2=36﹣2k﹣2=24，
∴k=5．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=6、x1 x2=k+1，结合x12+x22=24即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】A、在中，a=1，b=-12，c=5，由根与系数的关系可得：x1+x2=12，x1x2=5，∴A不符合题意；
B、在中，a=1，b=-5，c=-6，由根与系数的关系可得：x1+x2=5，x1x2=-6，∴B不符合题意；
C、在中，a=1，b=-6，c=-5，由根与系数的关系可得：x1+x2=6，x1x2=-5，∴C不符合题意；
D、在中，a=1，b=-6，c=5，由根与系数的关系可得：x1+x2=6，x1x2=5，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】
∵m和n是一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=-1，
∴
∴
【分析】
根据根与系数的关系得出m和n的和，根据方程的解的定义得出m2+m的值，从而可推导出代数式的值。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根的关系（韦达定理）即可求出答案。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
7．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵、是关于的一元二次方程的两个解，
∴m+n=3，mn=a，
∵，
∴a-3+1=-6，
∴a=-4，
故答案为：-4.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=3，mn=a，再结合，可得a-3+1=-6，再求出a的值即可.
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 实数，是一元二次方程的两个根，
∴m+n=3，mn=-2，
∴原式=-2-3=-5.
故答案为：-5
【分析】利用一元二次方程根与系数，分别求出m+n和mn的值，然后整体代入求值.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1=，x2=，
∴，
故答案为：.
【分析】直接将 x1，x2代入相加即可计算.
10．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程的两根，
∴x1+x2=.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可求解.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：.
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系， 一元二次方程里，根与系数的关系称为韦达定理，在条件为a≠0，且a，b，c皆为常数的一元二次方程ax +bx+c中，两根为x1、x2，那么两根的关系是：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，本题掌握韦达定理是关键.
12．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，
∴x1+x2==3.
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=可求解.
13．【答案】（1）解：由题意得：
关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：；
（2）解：且取负整数，
或，
当时，原方程可化为：且，
解得：，，
，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
，
综上所述：的值为或；
（3）解：由根与系数的关系得：
，，
该方程的两个实数根的平方和为，
，
，，
由可知：，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）先求出符合条件的m的值，再分类求解即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得 ，， 再结合求出m的值即可.
14．【答案】（1）证明：，
无论取何值，方程总有实数根
（2）解：是方程的两根，
，
，
，
或，
当时，，
解得：，
当时，即，
，
解得：，
综上所述：的值为或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先结合求出 或，再利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式求解即可.
15．【答案】（1）证明：∵ 关于的一元二次方程 ，
∴，
∴ 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根 .
（2）解：∵ 方程有两个实数根， ，
∴，，
∵，
∴-2m-1+3（m-2）=-1，
∴m=6.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据根的判别式，方程两个不等实数根即可求解；
（2）根据两根之和与两根之积公式，可以求出用m表示出两根之和与两根之积，将其代入 ， 即可求出m的值.
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一、选择题
1．一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，∴x1x2=0．
故答案为：D．
【分析】一元二次方程x2﹣2x=0种二次项系数a=1，b=-2，c=0，根据一元二次方程根与系数的关系x1x2=即可直接得出答案。
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，且x12+x22=24，则k的值是（ ）
A．8 B．﹣7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣6x+k+1=0的两个实数根是x1，x2，
∴x1+x2=6，x1 x2=k+1，
∵x12+x22= ﹣2x1 x2=36﹣2k﹣2=24，
∴k=5．
故选D．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=6、x1 x2=k+1，结合x12+x22=24即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．
3．（2023八下·招远期末） 若两个数的和为，积为，则以这两个数为根的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】A、在中，a=1，b=-12，c=5，由根与系数的关系可得：x1+x2=12，x1x2=5，∴A不符合题意；
B、在中，a=1，b=-5，c=-6，由根与系数的关系可得：x1+x2=5，x1x2=-6，∴B不符合题意；
C、在中，a=1，b=-6，c=-5，由根与系数的关系可得：x1+x2=6，x1x2=-5，∴C不符合题意；
D、在中，a=1，b=-6，c=5，由根与系数的关系可得：x1+x2=6，x1x2=5，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可.
4．（2023八下·河东期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】
∵m和n是一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=-1，
∴
∴
【分析】
根据根与系数的关系得出m和n的和，根据方程的解的定义得出m2+m的值，从而可推导出代数式的值。
5．（2023八下·吉林期末）若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的根的关系（韦达定理）即可求出答案。
6．（2023八下·瑶海期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程根的判别式逐项判断即可.
二、填空题
7．（2023八下·海阳期末） 已知、是关于的一元二次方程的两个解，若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵、是关于的一元二次方程的两个解，
∴m+n=3，mn=a，
∵，
∴a-3+1=-6，
∴a=-4，
故答案为：-4.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=3，mn=a，再结合，可得a-3+1=-6，再求出a的值即可.
8．（2023八下·闽清月考）实数，是一元二次方程的两个根，则多项式值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 实数，是一元二次方程的两个根，
∴m+n=3，mn=-2，
∴原式=-2-3=-5.
故答案为：-5
【分析】利用一元二次方程根与系数，分别求出m+n和mn的值，然后整体代入求值.
9．（2023八下·安达期末）已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1=，x2=，则x1+x2的结果是
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1=，x2=，
∴，
故答案为：.
【分析】直接将 x1，x2代入相加即可计算.
10．（2023八下·杜尔伯特月考）若一元二次方程，则的值是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程的两根，
∴x1+x2=.
故答案为：2.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可求解.
11．（2023八下·道里期末）已知，是方程的两个根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：.
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系， 一元二次方程里，根与系数的关系称为韦达定理，在条件为a≠0，且a，b，c皆为常数的一元二次方程ax +bx+c中，两根为x1、x2，那么两根的关系是：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，本题掌握韦达定理是关键.
12．（2023八下·兴化期末）设x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x1+x2= ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，
∴x1+x2==3.
故答案为：3.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=可求解.
三、解答题
13．（2023八下·招远期末） 已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且．
（1）求的取值范围；
（2）若取负整数，求的值；
（3）若该方程的两个实数根的平方和为，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：
关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：；
（2）解：且取负整数，
或，
当时，原方程可化为：且，
解得：，，
，
当时，原方程可化为：且，
解得：，
，
综上所述：的值为或；
（3）解：由根与系数的关系得：
，，
该方程的两个实数根的平方和为，
，
，，
由可知：，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）先求出符合条件的m的值，再分类求解即可；
（3）利用一元二次方程根与系数的关系可得 ，， 再结合求出m的值即可.
14．（2023八下·安庆期末）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若是方程的两根，且，求的值．
【答案】（1）证明：，
无论取何值，方程总有实数根
（2）解：是方程的两根，
，
，
，
或，
当时，，
解得：，
当时，即，
，
解得：，
综上所述：的值为或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先结合求出 或，再利用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式求解即可.
15．（2023八下·肇东月考） 已知关于的一元二次方程，
（1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
【答案】（1）证明：∵ 关于的一元二次方程 ，
∴，
∴ 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根 .
（2）解：∵ 方程有两个实数根， ，
∴，，
∵，
∴-2m-1+3（m-2）=-1，
∴m=6.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据根的判别式，方程两个不等实数根即可求解；
（2）根据两根之和与两根之积公式，可以求出用m表示出两根之和与两根之积，将其代入 ， 即可求出m的值.
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