第一章解直角三角形单元复习题 （含解析）浙教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第一章解直角三角形单元复习题 （含解析）浙教版九年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 762.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-20 14:31:17 | ||
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文档简介
浙教版九年级下册第一章解直角三角形单元复习题
一、单选题
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．在 中， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（ ）
A．msin40° B．mcos40° C． D．
4．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A．75 sin55° B．75 cos55° C．75 tan55° D．
5．比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
6．已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， 则cosB的值是
A．0.6 B．0.75 C．0.8 D．
7．如图，在矩形 中， ，垂足为E，设 ，且 ，则 的长为（ ）
A．3 B． C． D．
8．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要 ( )
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
9．在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°．则飞艇离开湖面的高度（ ）
A．25+75 B．50+50 C．75+75 D．50+100
10．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．sin30°+cos60°＝ ，tan45°+cos60°＝ .
12．如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为 米．
13．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1： （i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．
14．圆的半径为4，AB、CD是的两条弦，且，则最大为 ．
三、解答题
15．如图，直立在 处的标杆 ，直立在 处的观测者从 处看到标杆顶 、树顶 在同一条直线上（点 ， ， 也在同一条直线上）已知 ， ，人高 ，求树高 ．
16．如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， ≈1.41， ≈1.73）
17．为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东方向，在点D的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．
18．如图，国家规定休渔期间，我国渔政船在A处发现南偏西50°方向距A处20海里的点B处有一艘可疑船只，可疑船只正沿北偏西25°方向航行，我国渔政船立即沿北偏西70°方向前去拦截，经过1.5小时刚好在C处拦截住可疑船只，求该可疑船只航行的平均速度．
（结果精确到个位，参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
四、综合题
19．中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市著名地标之一．小明和小亮利用卷尺和自制的测角仪测量福塔的高度．如图，小明站在点 处测得福塔顶端 的仰角为 ，小亮站在点 处测得福塔顶端 的仰角为 ．已知测角仪高度为 ，两人相距 （点 ， ， 在一条直线上）．
（1）求中原福塔 的高度；(结果精确到 ．参考数据： ， ， ， )
（2）“景点简介”显示，中原福塔总高 ．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
20．如图，一个五角星ABCDEFGHIJ，已知A，B，D，E四点共线，A，J，H，G四点共线，C，B，J，I四点共线，C，D，F，G四点共线，E，F，H，I四点共线，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=H=IJ=JA，∠A=∠C=∠DEF=∠I36°，现测得AB=2m。
(参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°=0.8090，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511)
（1）求BJ的长(精确到0.01)
（2）作直线EG，求点A到EG的距离(精确到0.1)
21．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具．如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，车轮半径28cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2
（1）求车座点E到地面的距离；（结果精确到1cm）
（2）求车把点D到车架档直线AB的距离．（结果精确到1cm）．
22．如图，在中，是边上的中线，分别过点C，点D作的平行线交于E点，与交于点连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值．
23．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x.
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设 ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA= = ．
故选B．
【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵sinA＝，
∴AB＝，
故答案为：C．
【分析】根据正弦的定义可得sinA＝，再求出AB＝即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且 ，
则AB＝AC×tan55°＝75 tan55°，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC，根据正切函数的定义，由tanC=即可得出AB＝AC×tan55°。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵cos29°=sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故答案为：D．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可比较大小。
6．【答案】C
【解析】利用勾股定理易得AB的值，cosB=，把相关数值代入即可．
【解答】∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴cosB==0.8，
故选C．
【点评】考查锐角三角函数的定义；掌握一个角的余弦值等于这个角的邻边与斜边之比是解决本题的关键
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα= ， ，
∴AC= ．
故答案为：C．
【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
8．【答案】C
【解析】【解答】
如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC=150°，
∴∠DAB=30°，
∵AB=20米，
∴BD=20sin30°=10米，
∴S△ABC=×30×10=150（米2)．
已知这种草皮每平方米a元，
所以一共需要150a元．
故选C．
【分析】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：设AE=xm，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，
∴PE=AE=x，
∵山顶A处高出水面50m，
∴OE=50m，
∴OP′=OP=PE+OE=x+50，
∵∠P′AE=60°，
∴P′E=tan60° AE=x，
∴OP′=P′E﹣OE=x﹣50，
∴x+50=x﹣50，
解得：x=50（+1）（m），
∴PO=PE+OE=50（+1+50=50+100（m），
即飞艇离开湖面的高度是（50+100）m；
故选：D．
【分析】设AE=x，则PE=AE=x，根据山顶A处高出水面50m，得出OE=50，OP′=x+50，根据∠P′AE=60°，得出P′E=x，从而列出方程，求出x的值即可．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设 ⊙A与x轴负半轴交于D点，连接CD，过A作AH⊥x轴，作AQ⊥y轴，连接OA，
则∠ODC=∠OBC，OA=3，Q为OC的中点，H为OD的中点，∠AHO=∠AQO=90°，
∵∠HOQ=90°，
∴四边形AHOQ为矩形，
∴AH=OQ，
∵OC=2，
∴OQ=1，
∴AH=1，
∵∠AHO=90°，OA=3，
∴OH===2，
∴OD=4，
∴tan∠ODC=，
∵∠ODC=∠OBC，
∴tan∠OBC=，
故答案为：D.
【分析】设⊙A与x轴负半轴交于D点，连接CD，利用同弧的圆周角相等，把∠OBC转化为∠ODC，
过A作AH⊥x轴，作AQ⊥y轴，连接OA，可得四边形AHOQ为矩形，从而求出AH的长，利用勾股定理求出OH的长，则知OD的长，在Rt△CDO中，求出∠ODC的正切值，则知∠OBC的正切值.
11．【答案】1；
【解析】【解答】解：sin30°+cos60°＝ ，
tan45°+cos60°＝ .
故答案为：1； .
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算，得到答案.
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作公路于点，
则，，，米，
，，
，
米，
在中，，
（米），
故答案为：．
【分析】先求出，再求出BC=20米，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
13．【答案】12
【解析】【解答】∵AE⊥BC、DF⊥BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，∠AEF=∠DFE=∠DFC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，∴DF=AE，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=6 ，∠ABE=45°，∴AE=AB·sin∠ABE=6，
∴DF=6，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF：FC=i=1： =tanC， ∴∠C=30°，∴CD=2DF=12，
即背水坡CD的坡长为12米，
故答案为：12.
【分析】根据题意得到四边形AEFD是矩形，得到对边相等，根据三角函数求出DF的长，根据坡度求出背水坡CD的坡长.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OA，OB，OC，OD，过点O作OH⊥AB于点H，
∴AH=，
又OA=4，∴，
∴∠AOH=60°，∴∠AOB=120°，
∵AB=CD，∴∠COD=120°，∴∠AOD+∠BOC=120°。
把∠AOD绕点O顺时针旋转至OD与OC重合，点A的对应点为点A'，连接A'C，则∠A'OC=∠AO，
∴∠A'OB=120°，
且S△A'OC=S△AOD，∴S△AOD+S△BOC=S△A'OC+S△BOC=S四边形OBCA'，
当OC平分角∠A'OB时，S四边形OBCA'最大，此时△BOC和△A'OC为两个全等的等边三角形，
S△BOC=
∴S△A'OC=，∴S△AOD+S△BOC最大值为：
故第1空答案为：
【分析】根据垂径定理，求得AH的值，然后利用三角函数的定义，求出∠AOH的读数，旋转△AOD到△A'OC的位置，把△AOD和△BOC拼成一个四边形，且∠BOA'为120°，当BA'⊥OC时，即OC平分∠BOA'时，面积最大，根据等边三角形的性质求出最大值即可。
15．【答案】解：如图：过 作 交 于 点，交 于点 ，
由已知得， ， ，
，
四边形 为矩形，
米， 米， 米，
米，
， ，
，
，
解得： 米，
（米）．
答：树高 为 米．
【解析】【分析】过 作 交 于 点，交 于点 ，先证明四边形EFDH为矩形，可得HD、EF、GB、EG、FB、GH、BD的长：再证明 ，可求得CH的长，最后求CD的长即可．
16．【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠1= ， ∠1=30°，∴AE=DE× tan∠1=40×tan30°=40× ≈40×1.73× ≈23.1在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tan∠2= ， ∠2=10°，∴BE=DE× tan∠2=40×tan10°≈40×0.18=7.2∴AB=AE+BE≈23.1+7.2=30.3米．
【解析】【分析】根据已知底端B的俯角为10°，添加辅助线过点D作DE⊥AB于点E，先在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△DEB中，利用∠2的正切求出BE的长，然后根据AB=AE+BE，求出AB的长即可。
17．【答案】解：过D作于于E，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴在中，，
∵米，，
∴（米），
∵，
∴在中，，
∵四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：的长和的长分别约为米和米．
【解析】【分析】过D作于于E，先利用解直角三角形的方法求出，，再利用线段的和差求出即可。
18．【答案】解：如图，作BD⊥AC于点D，
∵∠CBA=25°+50°=75°，∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=60°，
∴∠ABD=30°，∠CBD=45°，
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠CAB=20×sin60°=20× =10 ，
在Rt△BCD中，BC=BD÷cos∠CBD=10 ÷cos45°=10 ÷ =10 ，
∴可疑船只航行的平均速度 ≈16（海里/小时）
【解析】【分析】作BD⊥AC于点D，由方向角得出∠ABD=30°、∠CBD=45°，在Rt△ABD中得BD=AB sin∠CAB=10 ，在Rt△BCD中求得BC=BD÷cos∠CBD=10 ，再除以时间即可得．
19．【答案】（1）解：如图，延长 交 于点 ．
由题意知，四边形 和四边形 均为矩形．
， ， ．
设 ，则 ．
在 中，
，
，
在 中，
，
，
．
解得 ．
答：中原福塔 的高度约为 ；
（2）解：误差为 ．
减小误差可多次测量，去测量数据的平均值．
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠AEG=60°，∠AFG=72.3°，EF=AB=100，AE=BF=CG=1，再根据锐角三角函数表示出DG的长，结合图形列出方程，解方程得到答案；（2）结合（1）误差为0.2m，进而可得减小误差的建议：多次测量，求平均值．
20．【答案】（1）解：连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K，
∵AB＝AJ＝2m，∠BAJ＝36°，
∴∠BAK＝∠BAJ=18°．
∴BK＝AB sin18°≈2×0.31＝0.62，
∵AB=AJ，
∴BJ＝2BK=1.24，
∴BJ的长为1.24cm.
（2）解：连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，
∴BD＝BJ＝1.24，
∴AE＝2＋1.24＋2＝5.24，
在Rt△AEL中，
AL＝AE cos18°＝5.24×0.95＝5.0.
答：点A到地面MN的距离为5.0cm．
【解析】【分析】（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K，可求出∠BAK的度数，再利用解直角三角形求出BK的长，再利用等腰三角形的性质可求出BJ的长.
（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，可得到BD的长，从而可求出AE的长；再利用解直角三角形求出AL的长.
21．【答案】（1）解：作EF⊥AB于点F，如右图所示，
∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，
∴EF=AE sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，
即车座点E到车架档AB的距离是63cm，
∵车轮半径28cm，
∴车座点E到地面的距离是63+28=91cm
（2）解：作EF⊥AB于点F，如右图所示，
∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，
∴EF=AE sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，
即车座点E到车架档AB的距离是63cm．
【解析】【分析】作EF⊥AB于点F，先求得AE的长度，然后依据锐角三角函数的定义可求得EF的长，最后，依据车座点E到地面的距离是EF的长＋轮半径的长求解即可；
（2）作DF⊥AB于点F，CG∥AB，CG与DF交与点G，先求得DG的长，然后再求得GF的长即可.
22．【答案】（1）证明：，
四边形是平行四边形．
是边上的中线，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：过点C作于F．
平行四边形
设
则
在中，；
．
，
，
，
是边上的中线，
，
在中，，
．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是菱形；
（2）过点C作于F，设结合，求出，再求出，最后利用正弦的定义可得。
23．【答案】（1）解：∵AD=CD.
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB，
∵∠ECA=∠ECA，
∴△CEF∽△CAE，
∴ ，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE= ，
∵CA= ，
∴ ，
∴CF= ；
（2）解：∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，
∴△CEA∽△BFA，
∴ （0＜x＜2）
（3）解：由（2）知，△CEA∽△BFA，
∴ ，
∴ ，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是 ，
∴tan∠ABE= ，
∴x= ，
∴AB=x+2= .
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△CEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由∠ABE的正切值求解.
一、单选题
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．在 中， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．如图，在Rt△ABC中，直角边BC的长为m，∠A＝40°，则斜边AB的长是（ ）
A．msin40° B．mcos40° C． D．
4．如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是（ ）米．
A．75 sin55° B．75 cos55° C．75 tan55° D．
5．比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（ ）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
6．已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， 则cosB的值是
A．0.6 B．0.75 C．0.8 D．
7．如图，在矩形 中， ，垂足为E，设 ，且 ，则 的长为（ ）
A．3 B． C． D．
8．如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要 ( )
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
9．在湖边高出水面50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其在湖中之像的俯角为60°．则飞艇离开湖面的高度（ ）
A．25+75 B．50+50 C．75+75 D．50+100
10．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．sin30°+cos60°＝ ，tan45°+cos60°＝ .
12．如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为 米．
13．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1： （i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为 米．
14．圆的半径为4，AB、CD是的两条弦，且，则最大为 ．
三、解答题
15．如图，直立在 处的标杆 ，直立在 处的观测者从 处看到标杆顶 、树顶 在同一条直线上（点 ， ， 也在同一条直线上）已知 ， ，人高 ，求树高 ．
16．如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin10°≈0.17， cos10°≈0.98， tan10°≈0.18， ≈1.41， ≈1.73）
17．为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东方向，在点D的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．
18．如图，国家规定休渔期间，我国渔政船在A处发现南偏西50°方向距A处20海里的点B处有一艘可疑船只，可疑船只正沿北偏西25°方向航行，我国渔政船立即沿北偏西70°方向前去拦截，经过1.5小时刚好在C处拦截住可疑船只，求该可疑船只航行的平均速度．
（结果精确到个位，参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
四、综合题
19．中原福塔，又名“河南广播电视塔”，是郑州市著名地标之一．小明和小亮利用卷尺和自制的测角仪测量福塔的高度．如图，小明站在点 处测得福塔顶端 的仰角为 ，小亮站在点 处测得福塔顶端 的仰角为 ．已知测角仪高度为 ，两人相距 （点 ， ， 在一条直线上）．
（1）求中原福塔 的高度；(结果精确到 ．参考数据： ， ， ， )
（2）“景点简介”显示，中原福塔总高 ．请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
20．如图，一个五角星ABCDEFGHIJ，已知A，B，D，E四点共线，A，J，H，G四点共线，C，B，J，I四点共线，C，D，F，G四点共线，E，F，H，I四点共线，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=H=IJ=JA，∠A=∠C=∠DEF=∠I36°，现测得AB=2m。
(参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°=0.8090，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511)
（1）求BJ的长(精确到0.01)
（2）作直线EG，求点A到EG的距离(精确到0.1)
21．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具．如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，车轮半径28cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2
（1）求车座点E到地面的距离；（结果精确到1cm）
（2）求车把点D到车架档直线AB的距离．（结果精确到1cm）．
22．如图，在中，是边上的中线，分别过点C，点D作的平行线交于E点，与交于点连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值．
23．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x.
（1）用含x的代数式表示线段CF的长；
（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设 ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当∠ABE的正切值是 时，求AB的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，
∴tanA= = ．
故选B．
【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵sinA＝，
∴AB＝，
故答案为：C．
【分析】根据正弦的定义可得sinA＝，再求出AB＝即可。
4．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且 ，
则AB＝AC×tan55°＝75 tan55°，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ABC，根据正切函数的定义，由tanC=即可得出AB＝AC×tan55°。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵cos29°=sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故答案为：D．
【分析】根据锐角三角函数的增减性可比较大小。
6．【答案】C
【解析】利用勾股定理易得AB的值，cosB=，把相关数值代入即可．
【解答】∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴cosB==0.8，
故选C．
【点评】考查锐角三角函数的定义；掌握一个角的余弦值等于这个角的邻边与斜边之比是解决本题的关键
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠ADE=α，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵cosα= ， ，
∴AC= ．
故答案为：C．
【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC．
8．【答案】C
【解析】【解答】
如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC=150°，
∴∠DAB=30°，
∵AB=20米，
∴BD=20sin30°=10米，
∴S△ABC=×30×10=150（米2)．
已知这种草皮每平方米a元，
所以一共需要150a元．
故选C．
【分析】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：设AE=xm，在Rt△AEP中∠PAE=45°，则∠P=45°，
∴PE=AE=x，
∵山顶A处高出水面50m，
∴OE=50m，
∴OP′=OP=PE+OE=x+50，
∵∠P′AE=60°，
∴P′E=tan60° AE=x，
∴OP′=P′E﹣OE=x﹣50，
∴x+50=x﹣50，
解得：x=50（+1）（m），
∴PO=PE+OE=50（+1+50=50+100（m），
即飞艇离开湖面的高度是（50+100）m；
故选：D．
【分析】设AE=x，则PE=AE=x，根据山顶A处高出水面50m，得出OE=50，OP′=x+50，根据∠P′AE=60°，得出P′E=x，从而列出方程，求出x的值即可．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设 ⊙A与x轴负半轴交于D点，连接CD，过A作AH⊥x轴，作AQ⊥y轴，连接OA，
则∠ODC=∠OBC，OA=3，Q为OC的中点，H为OD的中点，∠AHO=∠AQO=90°，
∵∠HOQ=90°，
∴四边形AHOQ为矩形，
∴AH=OQ，
∵OC=2，
∴OQ=1，
∴AH=1，
∵∠AHO=90°，OA=3，
∴OH===2，
∴OD=4，
∴tan∠ODC=，
∵∠ODC=∠OBC，
∴tan∠OBC=，
故答案为：D.
【分析】设⊙A与x轴负半轴交于D点，连接CD，利用同弧的圆周角相等，把∠OBC转化为∠ODC，
过A作AH⊥x轴，作AQ⊥y轴，连接OA，可得四边形AHOQ为矩形，从而求出AH的长，利用勾股定理求出OH的长，则知OD的长，在Rt△CDO中，求出∠ODC的正切值，则知∠OBC的正切值.
11．【答案】1；
【解析】【解答】解：sin30°+cos60°＝ ，
tan45°+cos60°＝ .
故答案为：1； .
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算，得到答案.
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作公路于点，
则，，，米，
，，
，
米，
在中，，
（米），
故答案为：．
【分析】先求出，再求出BC=20米，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
13．【答案】12
【解析】【解答】∵AE⊥BC、DF⊥BC，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°，∠AEF=∠DFE=∠DFC=90°，
∴四边形AEFD是矩形，∴DF=AE，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=6 ，∠ABE=45°，∴AE=AB·sin∠ABE=6，
∴DF=6，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，DF：FC=i=1： =tanC， ∴∠C=30°，∴CD=2DF=12，
即背水坡CD的坡长为12米，
故答案为：12.
【分析】根据题意得到四边形AEFD是矩形，得到对边相等，根据三角函数求出DF的长，根据坡度求出背水坡CD的坡长.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OA，OB，OC，OD，过点O作OH⊥AB于点H，
∴AH=，
又OA=4，∴，
∴∠AOH=60°，∴∠AOB=120°，
∵AB=CD，∴∠COD=120°，∴∠AOD+∠BOC=120°。
把∠AOD绕点O顺时针旋转至OD与OC重合，点A的对应点为点A'，连接A'C，则∠A'OC=∠AO，
∴∠A'OB=120°，
且S△A'OC=S△AOD，∴S△AOD+S△BOC=S△A'OC+S△BOC=S四边形OBCA'，
当OC平分角∠A'OB时，S四边形OBCA'最大，此时△BOC和△A'OC为两个全等的等边三角形，
S△BOC=
∴S△A'OC=，∴S△AOD+S△BOC最大值为：
故第1空答案为：
【分析】根据垂径定理，求得AH的值，然后利用三角函数的定义，求出∠AOH的读数，旋转△AOD到△A'OC的位置，把△AOD和△BOC拼成一个四边形，且∠BOA'为120°，当BA'⊥OC时，即OC平分∠BOA'时，面积最大，根据等边三角形的性质求出最大值即可。
15．【答案】解：如图：过 作 交 于 点，交 于点 ，
由已知得， ， ，
，
四边形 为矩形，
米， 米， 米，
米，
， ，
，
，
解得： 米，
（米）．
答：树高 为 米．
【解析】【分析】过 作 交 于 点，交 于点 ，先证明四边形EFDH为矩形，可得HD、EF、GB、EG、FB、GH、BD的长：再证明 ，可求得CH的长，最后求CD的长即可．
16．【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠1= ， ∠1=30°，∴AE=DE× tan∠1=40×tan30°=40× ≈40×1.73× ≈23.1在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tan∠2= ， ∠2=10°，∴BE=DE× tan∠2=40×tan10°≈40×0.18=7.2∴AB=AE+BE≈23.1+7.2=30.3米．
【解析】【分析】根据已知底端B的俯角为10°，添加辅助线过点D作DE⊥AB于点E，先在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△DEB中，利用∠2的正切求出BE的长，然后根据AB=AE+BE，求出AB的长即可。
17．【答案】解：过D作于于E，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴在中，，
∵米，，
∴（米），
∵，
∴在中，，
∵四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：的长和的长分别约为米和米．
【解析】【分析】过D作于于E，先利用解直角三角形的方法求出，，再利用线段的和差求出即可。
18．【答案】解：如图，作BD⊥AC于点D，
∵∠CBA=25°+50°=75°，∠CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=60°，
∴∠ABD=30°，∠CBD=45°，
在Rt△ABD中，BD=AB sin∠CAB=20×sin60°=20× =10 ，
在Rt△BCD中，BC=BD÷cos∠CBD=10 ÷cos45°=10 ÷ =10 ，
∴可疑船只航行的平均速度 ≈16（海里/小时）
【解析】【分析】作BD⊥AC于点D，由方向角得出∠ABD=30°、∠CBD=45°，在Rt△ABD中得BD=AB sin∠CAB=10 ，在Rt△BCD中求得BC=BD÷cos∠CBD=10 ，再除以时间即可得．
19．【答案】（1）解：如图，延长 交 于点 ．
由题意知，四边形 和四边形 均为矩形．
， ， ．
设 ，则 ．
在 中，
，
，
在 中，
，
，
．
解得 ．
答：中原福塔 的高度约为 ；
（2）解：误差为 ．
减小误差可多次测量，去测量数据的平均值．
【解析】【分析】（1）根据题意可得：∠AEG=60°，∠AFG=72.3°，EF=AB=100，AE=BF=CG=1，再根据锐角三角函数表示出DG的长，结合图形列出方程，解方程得到答案；（2）结合（1）误差为0.2m，进而可得减小误差的建议：多次测量，求平均值．
20．【答案】（1）解：连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K，
∵AB＝AJ＝2m，∠BAJ＝36°，
∴∠BAK＝∠BAJ=18°．
∴BK＝AB sin18°≈2×0.31＝0.62，
∵AB=AJ，
∴BJ＝2BK=1.24，
∴BJ的长为1.24cm.
（2）解：连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，
∴BD＝BJ＝1.24，
∴AE＝2＋1.24＋2＝5.24，
在Rt△AEL中，
AL＝AE cos18°＝5.24×0.95＝5.0.
答：点A到地面MN的距离为5.0cm．
【解析】【分析】（1）连接BJ，过点A作AK⊥BJ于点K，可求出∠BAK的度数，再利用解直角三角形求出BK的长，再利用等腰三角形的性质可求出BJ的长.
（2）连接BD，过点A作AL⊥MN于点L，可得到BD的长，从而可求出AE的长；再利用解直角三角形求出AL的长.
21．【答案】（1）解：作EF⊥AB于点F，如右图所示，
∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，
∴EF=AE sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，
即车座点E到车架档AB的距离是63cm，
∵车轮半径28cm，
∴车座点E到地面的距离是63+28=91cm
（2）解：作EF⊥AB于点F，如右图所示，
∵AC=45cm，EC=20cm，∠EAB=75°，
∴EF=AE sin75°=（45+20）×0.9659≈63cm，
即车座点E到车架档AB的距离是63cm．
【解析】【分析】作EF⊥AB于点F，先求得AE的长度，然后依据锐角三角函数的定义可求得EF的长，最后，依据车座点E到地面的距离是EF的长＋轮半径的长求解即可；
（2）作DF⊥AB于点F，CG∥AB，CG与DF交与点G，先求得DG的长，然后再求得GF的长即可.
22．【答案】（1）证明：，
四边形是平行四边形．
是边上的中线，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：过点C作于F．
平行四边形
设
则
在中，；
．
，
，
，
是边上的中线，
，
在中，，
．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可得到四边形是菱形；
（2）过点C作于F，设结合，求出，再求出，最后利用正弦的定义可得。
23．【答案】（1）解：∵AD=CD.
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∵∠CEB=45°，
∴∠DAC=∠CEB，
∵∠ECA=∠ECA，
∴△CEF∽△CAE，
∴ ，
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE= ，
∵CA= ，
∴ ，
∴CF= ；
（2）解：∵∠CFE=∠BFA，∠CEB=∠CAB，
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA，
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB，
∴∠ECA=∠ABF，
∵∠CAE=∠ABF=45°，
∴△CEA∽△BFA，
∴ （0＜x＜2）
（3）解：由（2）知，△CEA∽△BFA，
∴ ，
∴ ，
∴AB=x+2，
∵∠ABE的正切值是 ，
∴tan∠ABE= ，
∴x= ，
∴AB=x+2= .
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求得∠DAC=∠ACD=45°，进而根据两角对应相等的两三角形相似，可得△CEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和勾股定理可求解；（2）根据相似三角形的判定与性质，由三角形的周长比可求解；（3）由（2）中的相似三角形的对应边成比例，可求出AB的关系，然后可由∠ABE的正切值求解.