【新课堂】华师版数学九年级下册 26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 【新课堂】华师版数学九年级下册 26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 225.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-21 15:07:47 | ||
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文档简介
26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一、单选题
1．抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口方向相同
B．开口大小相同
C．当时，随的增大而增大
D．对称轴相同
2．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是( )
A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③②
3．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图象大致是( )
A． B．
C． D．
4．若抛物线的开口向下，则m的值为( )
A． B． C．3 D．﹣3
5．对于抛物线y＝x2与y＝﹣x2，下列命题中错误的是( )
A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线各自关于y轴对称
D．两条抛物线没有公共点
6．下列函数中,当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A．y= x B．y= C．y=x-1 D．y=x2
7．已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的范围是( )
A．m＜－1 B．m＜1 C．m＞－1 D．m＞－2
8．如图，分别过点Pn(n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数 (x＞0)的图象于点An，交直线 (x＞0)于点Bn，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．抛物线在y轴的左侧部分是________的．（填“上升”或“下降”）
10．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为_____．
11．二次函数，点在函数图象上，当时， (填“﹥”或“﹤”)．
12．二次函数的图象开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是______．
13．二次函数有最低点，则m=__________
三、解答题
14．若二次函数的图象开口向下，求m的值．
晓丽的解题过程如下：
（解）∵是二次函数，（第一步）
∴，解得或．（第二步）
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程．
15．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题：
x … 0 1 …
… …
… …
… …
… …
（1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称；
（3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．
16．已知是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
1
参考答案
1．D
解析：
分别利用二次函数的性质判断开口方向，得出最值以及增减性，进而判断即可．
∵抛物线，，中的＞0,8＞0，-5＜0，不相等，故开口方向和大小不同，A,B错误；
∵中，当时，随的增大而减小，故C错误；
∵抛物线，，的对称轴都是轴，故D正确
故选D.
【点拨】
此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
2．A
解析：
二次函数的解析式中a的绝对值越小，开口方向越大，根据以上特点得出即可．
解：∵1＜|﹣2|＜3，
∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，
故选：A．
【点拨】
本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，a的绝对值越小，开口方向越大．
3．B
解析：
由选项中的二次函数图象可得k＞0，可判定出一次函数的正确图象．
解：由选项中的二次函数图象可得k＞0，
所以y＝kx﹣k过一，三，四象限．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数及一次函数的图象的特征．
4．B
解析：
根据二次函数的二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：的开口向下，
∴且，
∴且m＜﹣3，
∴m＝，
故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数的性质，二次函数开口向下，可得二次项的系数小于0，指数是二次，注意把不符合条件的舍去．
5．D
解析：
把抛物线y=x2沿x轴对称得到抛物线y=-x2；或把抛物线y=x2沿原点旋转180°得到抛物线y=-x2，则可对A.C进行判断；利用二次函数的性质对B.D进行判断．
解：两个函数的顶点坐标都是(0，0)，二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．
故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称．
故选：D．
【点拨】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数决定抛物线的开口方向及大小是解题的关键，注意数形结合．
6．B
解析：
根据题意x＞0时，y值随x值增大而减小，选择合适的函数满足条件即可.
A.、正比例函数y=的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
B.反比例函数y=中的1＞0，所以y随x的增大而减小； 故本选项正确；
C.一次函数y=x-1的图象，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
D.二次函数y=x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时)，y随x的增大而增大；故本选项错误；
故选B．
【点拨】
本题综合考查了二次函数、一次函数、正比例函数及反比例函数的性质．解答此题时，应牢记函数图象的单调性．
7．A
解析：
∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，
∴m+1＜0，
即m＜-1．
故选A．
8．A
解析：
根据题意写出An、Bn 的坐标，然后可得到，从而，然后进行计算即可．
解：由题意可知An、Pn、Bn 的横坐标相同，
∵Pn(n，0)，
∴Bn(n，)，An(n，)，
∴，
，
∴
故选：A．
【点拨】
本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标，代数式的化简，得出是解题的关键．
9．下降
解析：
根据的图象即可求解．
∵a<0，开口向上
∴抛物线在y轴的左侧部分是下降．
故答案为下降．
【点拨】
此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知的图象特点．
10．m＞1．
解析：
直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．
∵抛物线y=（m－1）x2有最低点，∴m－1＞0，解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点拨】
本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．＜
解析：
根据二次函数确定抛物线对称轴，开口方向，增减性，再结合已知条件即可求解．
解：由二次函数得，
抛物线对称轴为y轴，开口向下，y轴左侧，y随x增大而增大，再y轴右侧，y随x增大而减小，
∴当时，＜．
故答案为：＜
【点拨】
本题考查了二次函数的性质，熟知特殊二次函数的性质是解题关键．
12．开口向下 y轴 (0，0)
解析：
根据二次函数的性质：当时，抛物线的开口向下，顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，对称轴为：．
解：函数中，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∵，
∴对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，
故答案为：开口向下，y轴，(0，0)．
【点拨】
此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
13．2
解析：
根据函数为二次函数求出m，再根据函数有最低点，确定m取值范围，进而求出m即可．
解：∵函数是二次函数，
∴，
∴，
∵二次函数有最低点，
∴m＞0，
∴．
故答案为：2
【分析】
本题考查了二次函数的概念和性质，熟知概念和性质是解题关键．
14．晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．正确的解题过程见解析．
解析：
根据二次函数的定义及开口方向进行求解判断即可．
解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．
正确的解题过程如下：
∵是二次函数，
∴，解得或，
∵抛物线图象开口向下，
∴，解得，
∴．
【点拨】
本题考查二次函数的定义与图象性质，熟练掌握定义及图象性质是解题的关键．
15．列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上 y轴 向下 y轴 ；（2）x；（3）≠ > 低 > 高．
解析：
根据画函数图象的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图象；
（1）根据所画的与图象可得答案；
（2）根据所画的与图象可得答案；
（3）根据所画的与图象可得答案；
列表如下：
x … 0 1 …
… 4 0 4 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点．
连线：用平滑的曲线连接，如图所示：
（1）根据所画的函数与的图象可得：
抛物线的开口方向向上，对称轴是轴，顶点坐标是．抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是；
故答案为：向上 y轴 向下 y轴
（2）由图象可得：
抛物线与抛物线的图象关于轴对称；
故答案为：x．
（3）由图象可得：
抛物线，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点．
故答案为：≠ > 低 > 高．
【点拨】
本题考查的是画函数的图象，及根据图象总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
16．(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.
解析：
（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；
（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；
（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．
(1) 根据二次函数的定义得 解得k=±2.
∴当k=±2时，原函数是二次函数.
(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.
∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.
(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.
∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)，
∴当k=-2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小.
【点拨】
此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．
一、单选题
1．抛物线，，共有的性质是（ ）
A．开口方向相同
B．开口大小相同
C．当时，随的增大而增大
D．对称轴相同
2．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是( )
A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③②
3．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图象大致是( )
A． B．
C． D．
4．若抛物线的开口向下，则m的值为( )
A． B． C．3 D．﹣3
5．对于抛物线y＝x2与y＝﹣x2，下列命题中错误的是( )
A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线各自关于y轴对称
D．两条抛物线没有公共点
6．下列函数中,当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A．y= x B．y= C．y=x-1 D．y=x2
7．已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的范围是( )
A．m＜－1 B．m＜1 C．m＞－1 D．m＞－2
8．如图，分别过点Pn(n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数 (x＞0)的图象于点An，交直线 (x＞0)于点Bn，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．抛物线在y轴的左侧部分是________的．（填“上升”或“下降”）
10．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为_____．
11．二次函数，点在函数图象上，当时， (填“﹥”或“﹤”)．
12．二次函数的图象开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是______．
13．二次函数有最低点，则m=__________
三、解答题
14．若二次函数的图象开口向下，求m的值．
晓丽的解题过程如下：
（解）∵是二次函数，（第一步）
∴，解得或．（第二步）
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程．
15．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题：
x … 0 1 …
… …
… …
… …
… …
（1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；
（2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称；
（3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．
16．已知是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的k的值；
(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？
(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？
1
参考答案
1．D
解析：
分别利用二次函数的性质判断开口方向，得出最值以及增减性，进而判断即可．
∵抛物线，，中的＞0,8＞0，-5＜0，不相等，故开口方向和大小不同，A,B错误；
∵中，当时，随的增大而减小，故C错误；
∵抛物线，，的对称轴都是轴，故D正确
故选D.
【点拨】
此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
2．A
解析：
二次函数的解析式中a的绝对值越小，开口方向越大，根据以上特点得出即可．
解：∵1＜|﹣2|＜3，
∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，
故选：A．
【点拨】
本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，a的绝对值越小，开口方向越大．
3．B
解析：
由选项中的二次函数图象可得k＞0，可判定出一次函数的正确图象．
解：由选项中的二次函数图象可得k＞0，
所以y＝kx﹣k过一，三，四象限．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数及一次函数的图象的特征．
4．B
解析：
根据二次函数的二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：的开口向下，
∴且，
∴且m＜﹣3，
∴m＝，
故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数的性质，二次函数开口向下，可得二次项的系数小于0，指数是二次，注意把不符合条件的舍去．
5．D
解析：
把抛物线y=x2沿x轴对称得到抛物线y=-x2；或把抛物线y=x2沿原点旋转180°得到抛物线y=-x2，则可对A.C进行判断；利用二次函数的性质对B.D进行判断．
解：两个函数的顶点坐标都是(0，0)，二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．
故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称．
故选：D．
【点拨】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数决定抛物线的开口方向及大小是解题的关键，注意数形结合．
6．B
解析：
根据题意x＞0时，y值随x值增大而减小，选择合适的函数满足条件即可.
A.、正比例函数y=的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
B.反比例函数y=中的1＞0，所以y随x的增大而减小； 故本选项正确；
C.一次函数y=x-1的图象，y随x的增大而增大； 故本选项错误；
D.二次函数y=x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时)，y随x的增大而增大；故本选项错误；
故选B．
【点拨】
本题综合考查了二次函数、一次函数、正比例函数及反比例函数的性质．解答此题时，应牢记函数图象的单调性．
7．A
解析：
∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，
∴m+1＜0，
即m＜-1．
故选A．
8．A
解析：
根据题意写出An、Bn 的坐标，然后可得到，从而，然后进行计算即可．
解：由题意可知An、Pn、Bn 的横坐标相同，
∵Pn(n，0)，
∴Bn(n，)，An(n，)，
∴，
，
∴
故选：A．
【点拨】
本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标，代数式的化简，得出是解题的关键．
9．下降
解析：
根据的图象即可求解．
∵a<0，开口向上
∴抛物线在y轴的左侧部分是下降．
故答案为下降．
【点拨】
此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知的图象特点．
10．m＞1．
解析：
直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．
∵抛物线y=（m－1）x2有最低点，∴m－1＞0，解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点拨】
本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．＜
解析：
根据二次函数确定抛物线对称轴，开口方向，增减性，再结合已知条件即可求解．
解：由二次函数得，
抛物线对称轴为y轴，开口向下，y轴左侧，y随x增大而增大，再y轴右侧，y随x增大而减小，
∴当时，＜．
故答案为：＜
【点拨】
本题考查了二次函数的性质，熟知特殊二次函数的性质是解题关键．
12．开口向下 y轴 (0，0)
解析：
根据二次函数的性质：当时，抛物线的开口向下，顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，对称轴为：．
解：函数中，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∵，
∴对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，
故答案为：开口向下，y轴，(0，0)．
【点拨】
此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
13．2
解析：
根据函数为二次函数求出m，再根据函数有最低点，确定m取值范围，进而求出m即可．
解：∵函数是二次函数，
∴，
∴，
∵二次函数有最低点，
∴m＞0，
∴．
故答案为：2
【分析】
本题考查了二次函数的概念和性质，熟知概念和性质是解题关键．
14．晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．正确的解题过程见解析．
解析：
根据二次函数的定义及开口方向进行求解判断即可．
解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．
正确的解题过程如下：
∵是二次函数，
∴，解得或，
∵抛物线图象开口向下，
∴，解得，
∴．
【点拨】
本题考查二次函数的定义与图象性质，熟练掌握定义及图象性质是解题的关键．
15．列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上 y轴 向下 y轴 ；（2）x；（3）≠ > 低 > 高．
解析：
根据画函数图象的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图象；
（1）根据所画的与图象可得答案；
（2）根据所画的与图象可得答案；
（3）根据所画的与图象可得答案；
列表如下：
x … 0 1 …
… 4 0 4 …
… 0 …
… 0 …
… 0 …
描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点．
连线：用平滑的曲线连接，如图所示：
（1）根据所画的函数与的图象可得：
抛物线的开口方向向上，对称轴是轴，顶点坐标是．抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是；
故答案为：向上 y轴 向下 y轴
（2）由图象可得：
抛物线与抛物线的图象关于轴对称；
故答案为：x．
（3）由图象可得：
抛物线，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点．
故答案为：≠ > 低 > 高．
【点拨】
本题考查的是画函数的图象，及根据图象总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
16．(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.
解析：
（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；
（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；
（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．
(1) 根据二次函数的定义得 解得k=±2.
∴当k=±2时，原函数是二次函数.
(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，
∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.
∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.
(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.
∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)，
∴当k=-2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小.
【点拨】
此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．