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“第3章 圆的基本性质”教材分析
圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识．
圆是一种特殊的图形，它对于培养学生的数学能力，形成数学的思想方法具有重要的价值．由于圆既是中心对称图形又是轴对称图形,学生可以通过多种方式来认识它，这样有助于培养学生的数学能力．同时，圆的有关性质的探索是通过多种方法进行的，这样有助于学生形成基本的数学思想和方法．这些基本的数学思想方法有：
⑴ 对称思想：圆的轴对称性、中心对称性．
⑵ 推理思想：由对称性及其他方法来验证圆的有关结论．
⑶ 分类归纳思想：将圆周角和圆心角之间的关系归结为同弧上圆周角与圆心角的关系，让学生形成分类讨论的思想．
⑷ 算法思想：弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．不仅仅要求学生会计算，而且应该理解公式及其算法的意义．
本章教学时间约需15课时 ，具体安排如下：
3.1 圆 2课时
3.2 圆的对称性 2课时
3.3 圆心角 2课时
3.4 圆周角 2课时
3.5 弧长及扇形的面积 2课时
3.6 圆锥的侧面积和全面积 1课时
复习、评估3课时，机动使用1课时，
合计 15课时
一、教科书内容和课程教学目标
⑴ 本章知识结构框图如下：
⑵ 本章教学要求
①通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形．
②理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系．
③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．
④使学生经历探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
⑤认识圆的轴对称性和中心对称性．
⑥了解三角形的外心．
⑦会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．
⑶ 本章教材分析
本章主要学习圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念．
在“圆”这一节，主要是让学生通过圆的形成归纳出圆的定义．虽然在小学阶段，学生已经具有了圆的有关的知识，但还没有抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念．通过探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．另外，也使学生初步了解三角形的外心等有关知识．本节主要使学生体会圆的概念的形成过程．
圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，这一点在前面学习对称性时，学生已经有所了解．本章安排圆的对称性主要是借助于圆的轴对称性，去探索“垂经定理”；借助于圆的旋转不变性去探索圆中弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系．而且由对称性可以尝试用其他的方法来验证有关的结论．在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系(即圆周角定理)，让学生形成分类讨论的思想．
弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．弧长的公式是类比圆的周长公式而归纳得出，扇形的面积公式是类比圆的面积公式而得；圆锥的侧面积是通过其侧面展开图是一个扇形，而由扇形的计算公式而得出的．因此，“弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积”这两节不仅仅要求学生会计算，而且应该使他们理解公式的意义，理解算法的意义．
二、本章编写特点
⑴ 体现数学来源于生活，展示丰富多彩的几何世界
人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．其中包含了大量与圆有关的现实物体、现实问题等内容，反映数学在建筑、机械、艺术等方面的广泛应用，体现数学丰富的文化价值的内容，既可以很好地体现圆作为联系数学与现实生活、科技发展的桥梁作用，也可以很好地呈现它丰富的数学内涵．
在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的立体图形到平面图形，立足学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关数学内容，分别从观察和分析生活中大量存在的圆入手，来探索一种特殊的曲线形——圆的有关性质．学生在已有的大量的空间与图形经验的基础上，通过折纸、对称、平移、旋转、推理等认识图形的性质．在本章设计中，在探索圆的垂径定理、弧、弦、圆心角的关系、圆周角和圆心角之间的关系时，充分利用多种方式来认识、验证有关圆的性质．
⑵ 从学生的已有知识和经验出发，引导学生探索发现圆的性质等知识，培养学生的探究习惯
本章在内容的编排上都力图提供生动有趣、便于学生活动、交流的问题情境，并通过深入观察、分析、探究等活动，进一步丰富学生对圆的正确理解和准确把握，形成有关对圆比较全面的认识．
《数学课程标准》(实验稿)对圆的性质的要求是：使学生经历探索圆的性质．即通过实例去探索，以达到理解的目的．比如，① 通过探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．② 通过折纸，让学生探索圆的对称性，并在此基础上，让学生再通过折纸探索出圆的有关性质（垂径定理）等有关内容．③ 利用圆的旋转不变性探索圆中弧、弦、圆心角之间的关系．而在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系．④ 利用“合作学习”“做一做”等让学生自己探索有关的结论，比如通过学生自己合作，把圆锥沿母线剪开、铺平，并探索出圆锥侧面积和全面积的计算公式等等．
整个设计意图，不仅在于引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展．从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平．
⑶ 转换学习方式，强调学生的动手操作和主动参与
学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情．在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法．
《数学课程标准》中指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”．本章非常重视向学生提供充分从事数学活动的机会．课本通过“合作学习”“探究活动”“想一想”“做一做”等栏目中安排了大量的数学活动题材，其中一些重要的数学概念及数学方法，都是需要学生通过数学活动获得．例如，圆的定义、圆的对称性、圆锥的侧面积等等．学生在亲身体验和探索中认识数学解决问题，理解和掌握数学知识和方法．并通过与他人的合作，学会交流思想，学会表达自己的观点，学会质疑，学会倾听，学会尊重他人，学会评价信息．这种“过程”会改变数学学习的过程和结果，对促进学生的发展具有非常重要的意义．另外，通过这些“探究点”，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想象能力．
三、教学建议
⑴ 注意与前两个学段的衔接
这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别．
⑵ 在教学中要注意如下几点：
① 要使学生从事观察、测量、折叠、平移、旋转、推理等活动，帮助他们有意识地积累活动经验，获得成功的体验．教学中，应鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的合作交流．
② 充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质．尽可能地设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．
③ 本章的一个特点是由圆的旋转不变性、轴对称性导出圆的有关性质（如圆心角定理、垂径定理等），体现了利用运动观点来研究图形的思想和方法．也让学生通过本章的学习，体验用运动观点来研究图形的思想和方法．因此，在圆的对称性、圆周角与圆心角的关系等内容中，要有意识地满足学生多样化的学习要求．
④ 在观察、探究和推理活动中，使学生有意识地归纳数学思想方法，发展学生的有条理地思考，并能清晰地表达自己的发现．教学中，教师一方面应充分运用好课本已提供的丰富的素材，另一方面也应该选取一些学生身边的、熟悉的材料，丰富教学内容，以帮助学生对圆的概念的认识和圆的性质的理解．
⑤ 从学习方式上，通过合作学习、探究活动这种形式，促进学生相互交流，从而最大限度获得数学能力的培养和体验数学思想．教学中应积极鼓励学生，当学生在探究过程中遇到困难时，应给予诱导启发，或给予必要的阶梯．让学生在这过程中体验如何学会学习，千万不能包办代替，过早给学生答案．应鼓励合作学习，从多角度思考，采用多种解决问题的办法，创造积极合作、讨论氛围．
⑥ 评价时要关注学生思考方式的多样化，注重对学生观察、操作、探索圆的性质、推理等活动进行评价，包括学生在活动中的主动性、参与程度、与同学合作与交流的意识、思考与表达的条理性等；比如，对有关圆的概念的评价应侧重于通过实例是否理解概念；对于圆的有关性质的评价应看学生是否借助于具体的思考方法去理解．对与圆有关的计算的评价，着重看学生是否懂得了基本的算理．
⑦ 在日常教学中，不仅仅关注学生是否计算或推出某个结论，而且应该关注学生在各种数学活动中的情感和态度，特别是学生在小组活动中的表现．对于学生在探索过程中出现的新的方法、新的思想，教师要及时帮助学生解决问题过程中的创意．
(徐鸿斌)
生活中的例子
圆
概念
圆周角定理
弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积
对称性
轴对称性
圆的旋转不变性,中心对称性
确定圆的条件
点与圆的位置关系
直径与弦、弧，圆心角与弦、弧、弦心距之间的相互关系
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第二章二次函数
本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。 二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
本章教学时间约需13课时 ，具体安排如下：
2．1节 二次函数…………………………1课时
2．2节 二次函数的图象…………………3课时
2．3节 二次函数的性质…………………1课时
2．4节 二次函数的应用…………………3课时
复习、评价3课时，机动2课时，合计13课时。
一、教科书内容和课程教学目标
（1）本章知识结构框图如下：
（2）本章教学目标如下：
目标类别 知识点及 目标层次相关技能 知识性目标 过程性目标
了解 理解 掌握 灵运活用 经感历受 体体验会 探索
二次函数的概念 二次函数概念的形成过程 √ √
二次函数的概念 √ √ √
二次函数的解析式 √ √ √
待定系数法 √ √ √
二次函数的定义域和函数值 √ √ √
二次函数图象 描点法画二次函数图象 √ √ √
二次函数图象的特点 √ √ √ √
二次函数图象的变换 √ √ √ √
二次函数图象的性质 √ √ √ √
二次函数性质 二次函数的最大值、最小值 √ √ √
二次函数的增减性 √ √ √ √
二次函数的对称性 √ √ √
二次函数应用 建立二次函数模型 √ √ √ √
二次函数性质的应用 √ √ √
二次函数与二次方程的关系 √ √ √ √
（3）本章教学要求
①经历描点法画函数图象的过程。
②学会观察、归纳、概括函数图象的特点。
③经历二次函数图象平移的过程。
④了解y=ax2，y=a(x＋m)2，y=a(x＋m)2＋n三类二次函数图象之间的关系。
⑤归纳数学平移变换的特征并加以总结。
⑥经历二次函数解析式恒等变形的过程。
⑦会根据二次函数的解析式，确定二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。
⑧能运用配方法将变换成的的形式。
⑨了解二次函数与二次方程的相互关系。探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值、最小值及函数的增减性的概念及方法。
⑩体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。经历数学建模的基本过程。感受数学的应用价值。发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
(4)本章教材分析
1．教材注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。
2. 教材注重与学生已有知识的联系，引导学生与原有的知识联系、比较，经历对知识拓展、归纳、更新的过程。
3. 教材注意内容的呈现方式，让学生参与知识的发生、发展过程。注重在具体二次函数的研究中掌握方法，理解原理（如图象的变换）。
4. 教材注意沟通二次函数和一元二次方程、不等式的联系和相互转化，提供学生进行探究性学习的题材，重视学生对知识综合应用能力的培养。
（5）本章教学目标
1． 正确理解二次函数的概念，了解函数产生的背景，在原有的函数知识的基础上学习和掌握二次函数的概念和性质，能利用二次函数刻画事物的变化规律。
2． 理解二次函数的意义，掌握二次函数的概念、图象和性质，知道二次函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
3． 了解二次函数与二次方程之间的关系，会利用函数图象求一些简单二次方程的近似解，了解二次函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会用二次函数知识分析问题，解决问题，使学生了解函数与方程是研究事物变化的重要工具。
4． 培养学生的理性思维能力，辩证思维能力，分析问题和解决问题的能力，创新意识与探究能力，数学建模能力以及数学交流能力。
5． 通过现代信息技术的合理应用，教师在教学中适度地使信息技术描绘函数图象，动态地变换函数图象，让学生体会到信息技术是认识世界的有效手段和工具。
6． 要使学生体验数学的文化价值，使学生感受数学美，培养学生利用运动变化的观点观察事物，进一步树立科学的人生观，价值观和辩证唯物主义世界观。
（6）本章内容安排
1．本章通过章前图中的问题以及三个现实问题引入二次函数的概念，通过例1使学生理解和掌握二次函数的解析式、自变量的取值范围和自变量与函数值的对应关系，表2—1是函数的列表表示法。
2．由于二次函数的概念的引入避免了抽象的函数定义，因此利用待定系数法是确定二次函数的基本方法。
3．二次函数图象是本章的重点之一，二次函数的图象是它性质的直观体现，函数图象是函数的直观表示，图象法也是表示函数的基本方法。函数图象对于了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，要使学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
4．函数图象的特征是函数性质的几何体现，教科书通过变换的观点，强调变与不变的辨证关系，重点是同一坐标系中具有相同二次项系数的二次函数图象间的位置关系的变换规律。利用配方法研究二次函数解析式与二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标之间的关系，使学生认识二次函数的本质。
5．教科书通过是通过实例来归纳二次函数的性质，目的是通过直观的图示理解抽象的函数性质，通过二次函数图象使学生了解抛物线与x轴交点的横坐标，即当y=0时对应的x值就是方程的根，利用这个二次方程根的判别式，可以判定抛物线与x轴交点的个数，并且由此确定二次函数的的特征点，通过这些特征点可以方便画出其草图。
6．教科书从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情景—数学活动—数学应用—回顾反思”的顺序编制教材，通过实例巩固学生所学的知识。试图发挥学生学习的主动性，引导学生联系自己的生活经历，使学生感受到函数就在身边，体会到数学知识的广泛性、应用性。
7．利用二次函数图象求方程的近似值，可以把方程的解看作是函数与x轴的交点的横坐标，也可以看成是两函数图象交点的横坐标，引导学生不断创新，可以结合信息技术的使用，如几何画板等软件的应用，不断地优化教学过程。
二、本章编写特点
有关函数的内容是中学数学中的一条主线，也是中学数学中的一个稳定的内容。因此，如何有助于教师和学生利用教材这一课程资源，丰富教与学的方式，帮助学生更好地认识和理解函数概念，了解函数与其它内容的联系，初步运用函数这一描述现实世界中变量之间依赖关系的重要数学模型去解决一些实际问题，关注信息技术与数学内容的有机整合，体现新课程的理念，是我们在编写教材时着力研究的问题。在对上述各方面问题研究的基础上，我们在教材的体例、结构、呈现方式等方面作了新的尝试和努力，力求体现以下特点：
（一）强调背景，展现过程，改进学习方式
任何一个数学概念和结论的引入，总有它的现实或数学理论发展的背景或数学发展历史上的背景，因此，我们在教材的编排和内容的选择上，强调背景，展现过程，让学生感到概念和结论的得出是水到渠成的，自然的，而不是强加于人的。以便有利于学生认识数学内容的实际背景。具体地，针对本书中的数学概念，在教材编写过程中，我们力求选取贴近学生生活、具有时代气息的实例，创设学习数学概念和结论的背景情境。
例如在函数的相关内容中，通过典型的、丰富的具体实例（涉及运动变化、经济生活等），展示函数概念产生的背景，使学生理解如何用函数来刻画现实世界中变量之间的相互依赖关系，通过实例（最佳设计、销售方案、物体运动等），帮助学生理解二次函数模型。
在丰富的背景中，教科书在恰当的采用“合作学习”、“节前问题思考”、“设计题”及“章前问题”等形式提出问题，引导学生思考、经历知识发生发展的过程，经历观察、归纳、概括、交流、反思的思维过程；通过留白、留空等方式鼓励学生积极参与这个过程，主动思考、自主探索；等等。
例如在函数概念学习中，教科书通过观察实例、归纳共性、逐层分析概念，让学生将正比例函数、一次函数与二次函数学习相联系，通过比较、讨论，交流感受函数概念发生发展的过程，提升的过程。
（二）突出联系，体现应用，培养应用意识
数学学习本身和新课程模块式的结构，都需要我们充分关注知识内容间的联系。集合作为一种语言，它的使用几乎渗透到了数学的各个领域；而函数的基础知识在现实生活、科技、经济和许多学科中都有着广泛的应用。因此，本册教科书非常注重体现知识之间的联系、知识与实际的联系、知识的广泛应用，等等。以使学生能够感受到不同知识间的联系，从整体上把握所学的数学知识，加强学生的应用意识，提高学生的数学创造力。
对于二次函数函数，教科书安排了较多的实际应用问题，如储蓄问题、种植面积问题、最佳设计问题、船只运动问题、销售问题等等，并专门设置了第4节介绍函数的应用，其中就包括函数与方程的联系、函数模型及其应用，让学生体会运用函数观点解决实际问题的作用，让学生初步体验建立函数模型的过程和方法。
（三）重视数学思想方法
数学的学习不仅是单纯的知识学习，更应注意提炼和逐渐掌握其中蕴含的数学思想方法。本章中蕴含了丰富的数学思想方法，主要有数形结合、用函数观点研究问题、数学建模的思想方法。数形结合的思想方法贯穿了本章的始末，在研究二次函数性质过程中函数图象、表格与解析式的相互结合使用；根据实际问题的数据画图、建立拟合函数的解析式、估计事物发展趋势等等。用函数观点研究问题、数学建模的思想方法主要反映在第4节建立实际问题的二次函数模型的过程中。
（四）注重信息技术与数学课程的整合
信息技术是一种有效的认知工具，能够为学生进行自主探究提供强有力的平台，呈现以往教材和其他教学手段难以呈现的内容，帮助学生更好地理解数学本质，从而主动地探索和研究数学。在本章的编写中，我们在教学参考书中适宜与信息技术整合的内容用，都建议或提示使用信息技术，如在讨论函数的图象与性质的叙述中都做出了相应的建议或提示；此外，专门设置了“用计算机画二次函数图象”的阅读材料，介绍了用计算机画函数图象的方法。
三、教学建议
（一）注意由浅入深、循序渐进地理解二次函数的概念
二次函数的解析式是函数形式化、符号化的重要特征，教材中二次函数的概念是直接用形式化的方式给出的，这种表述简洁明了，便于学生理解和掌握，二次函数的解析式不仅形式简单，而且可以加深学生对二次函数本质的理解。对二次函数的概念有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容。第一步，从学生熟悉问题背景引入相应的二次函数入手，由具体到一般，建立二次函数的概念。第二步，利用变换的观点研究二次函数的图象，通过函数图象研究二次函数的性质，体现函数解析式与图象的关系。第三步，在二次函数模型的应用过程中，通过建立二次函数模型以及模型的求解，更全面地体会二次函数的本质。
（二）注意函数与实际问题的联系，体现数学建模的思想
我们生活在一个充满变化的多彩世界，其中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数模型得到解决，这就为函数的应用的教学提供了大量的实际背景．在本章中，实际问题情境贯穿于教科书的始终，无论是对几种不同增长的函数模型的研究，还是对函数模型的应用举例的学习，都是在解决实际问题的过程中进行的，本章大多数内容都是围绕实际问题的讨论而展开的，反映了函数与现实之间的关系，能提高学生对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识．
二次函数的应用是学习二次函数的目的之一，也是二次函数学习的深化阶段，要使学生感受到二次函数是探索自然现象、社会现象的基本规律的工具和语言。对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
（三）注意以函数模型的应用为主线，带动相关知识的展开
利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面．教材还注意选择贴近学生生活实际的各种问题，引导学生用已学过的函数模型分析和解决它们，使函数的学习与实际问题紧密联系，并在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，从更高的层面上认识函数与实际问题的关系。本章除了函数模型的应用之外，还要介绍函数的零点与方程的根的关系，用函数图象求方程的近似解，以二次函数模型的应用这一内容为主线，将各部分内容紧密结合起来，使之成为一个系统的整体．教学中应当注意贯彻教科书的这个意图，是学生经历二次函数概念与应用的完整过程。
（四）恰当使用信息技术
本章的教学中应当充分使用信息技术。实际上，本章的一些内容，因为涉及二次函数作图，如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中应当加强信息技术的使用力度。
本章在信息技术应用方面提供了阅读材料可以与课堂教学相结合，这就需要教师凝入自己的创造力，开发出适合于学生情况的使用信息技术的课堂教学情境。在函数图象、函数性质、函数应用等知识的学习中就可以充分利用信息技术，使学生将更多的精力集中于理解知识、体会思想方法上；研究二次函数的性质时，可以让学生置身于信息技术提供的交互环境，在图象动态变化的过程中寻求“不变性”，发现二次函数的性质，体现新课程自主、探索的学习方式，发展学生的创新意识和创造精神。
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“第1章 反比例函数”教材分析
1、 教材分析
根据《数学课程课标》(实验稿)，与原教材相比本章内容要求有所提高，主要表现在：（1）性质的探索过程——根据图象和解析式探索并理解其性质；（2）在实际问题中的应用．这是符合新课改的理念，总的来说是探讨知识发生的过程，培养学生自己探索问题，同时联系实际，提高学生分析解决问题的能力．与原浙江版相比，降低的地方是删去了反比例函数图象的性质：图象的两个分支都无限接近但永远达不到x轴和y轴．因为从教学实践看，学生对此不易理解，这条性质实际应用意义也不大．假如学生程度较好，老师在这方面也可以适当拓展．从编排顺序来看，原来浙江版中，本章内容放在初二下的“函数及其图象”一章中，编排顺序是平面直角坐标系—函数—正比例函数—反比例函数．本套教科书采用分步到位、穿插编排的方式．在八年级上册安排了 “图形与坐标”、 “一次函数”．到九年级上册一开始就学习“反比例函数”．这样编排的好处是因为反比例函数思维要求比较高，图象分两支，且又是曲线，学生理解相对困难，略放后面与学生接受能力、认知水平相当，为学生探索理解反比例函数创造条件．缺点是与前面知识连贯性较差．
本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础．
2、 重点难点
反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法．反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学的重点．
反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点．
3、 课时安排
1.1 反比例函数 2课时
1.2 反比例函数的图象和性质 2 课时
1.3 反比例函数的应用 1课时
复习、评价2课时，机动使用2课时，合计9课时．
4、 教学建议
（1）反比例函数概念和形成过程，应充分利用学生的生活经验和背景知识．生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念，建立反比例函数离不开反比例关系这个基础；背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”．所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容，对扫清障碍，理解接受新概念很有益处．
（2）注重数学思想的渗透，从数学自身发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想方法，对学生分析问题解决问题是十分有益的．教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想，建模思想等．
（3）本章是实践性、应用性很强的内容，联系“科学”的知识特别多．这一方面体现教材的横向联系，又体现本章内容的实用价值．如密度、压强与体积、杠杆原理、欧姆定理、电功率计算等．若学生在这方面有缺陷，则直接影响到本章的学习．建议老师在教前在同学中广泛了解学生的基础，若有问题应给予补充说明．
（4）本章1.2节安排“合作学习”．在画反比例函数的图象时充分发挥“自主探索—合作学习” 这种学习方式的作用．在按课本顺序指导学生画完图后，让学生回顾画图的全过程．体现课标要求“性质的探索过程——根据图象和解析表达式探索并理解其性质”．引导学生分清：①两个分支是一个函数的图象，不是函数有两个图象．②画曲线时，必须将自变量从小到大的顺序在各个象限里用光滑曲线连结起来，不能跨象限连结．③在图象所在的每个象限内，当k＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大．
（5）本套教科书在七年级下册就安排了“图形的变换”，目的是作为今后研究图形的工具．所以在教学中应充分利用，注意各章节之间的内在联系．在这里就尽量用图形变换的思想叙述性质、用图形变换的角度观察、分析图形之间的联系．如反比例函数的图象是关于原点成中心对称，利用这一性质可以简化画图过程；的图象与的图象关于坐标轴对称，我们可以通过图形变换来作另一函数的图象．
（6）本章还渗透了建模的思想．具体过程可概括为：由实验获得数据---用描点法画出图象---根据图象和数据判断或估计函数的类别---用待定系数法求出函数的关系式---用实验数据验证．随着社会的发展和科学技术的不断进步，数学的应用已越来越被人们所重视，培养学生分析问题、解决实际问题的能力已成为当今数学教育的主流．中学数学建模正顺应了这一时代发展的潮流，是对陈旧的数学教育观下的数学教育的有力冲击．中学数学建模从学生所经历，所接触到的客观实际中提出问题，对学生了解社会，认识社会都有积极作用．通过数学建模，对数学的广泛应用有了进一步认识，促使学生在积极思考中，在问题的解决中发现数学的价值与美．同时数学建模的复杂性，决不是凭个人的力量可以完美解决的，因此强调群体的协作．通过实际考察、实验统计、演义推理、总结提炼，最后又相互交流，共同探讨，共同解决．解决问题过程中充分体现高度的协作精神．教科书中的渗透正是体现了这种思想．
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“第4章 相似三角形”教材分析
相似形是指两个在形状、大小方面具有某种特殊关系的图形，在本套教科书中，它以全等三角形和相似变换为基础，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化．相似多边形、图形的位似则是相似三角形的推广和应用．相似三角形的知识又为进一步学习直线与圆、圆与圆的位置关系做准备，它是空间与图形领域中的重要内容，对前后各部分知识起到纽带的作用．
本章内容主要包括比例线段，相似三角形，相似三角形的条件、性质及其应用，相似多边形，图形的位似，精彩的分形等．这些内容是以比例线段为基础，以相似三角形为中心展开并进行学习和讨论的．本章内容重视对知识的探究和运用，重视与实际问题的联系及运用相似知识解决实际问题能力的培养．
一、教科书内容和课程教学目标
1、本章的教学要求
（1）了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
（2）通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．
（3）了解两个相似三角形的概念，探索两个三角形相似的条件．
（4）了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．
（5）通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．
2、本章教材分析
4.1 比例线段
本节安排3个课时：比例的基本性质、比例线段、黄金分割．研究相似三角形离不开研究比例线段，比例线段又是以比例的基本性质为依托，因此课本首先介绍比例的基本性质，利用比例的基本性质进行一些简单的变形．这里主要要求学生理解并初步掌握两种基本方法（或技能）：一是利用比例的基本性质进行变形或求值；二是用“设比值”的方法进行变形或求值．课本安排两个例题的目的是让学生理解这两种方法（或技能）．
成比例线段与线段的积之间有着内在的联系，利用线段的积相等来找成比例线段是一条很好的途径；计算线段的比以及根据比例尺进行计算，是比例线段的具体应用，课本通过计算图形的面积、计算线段的长度、计算比例尺等问题来介绍和运用比例线段，为后面进一步学习相似三角形做准备．
黄金分割在建筑、艺术等方面有较多的运用，与自然界也有着密切的联系，课本从比例中项出发，通过一些具体的例子让学生感受黄金分割的作用，并通过作图让学生感受到黄金分割点的存在．本节课本所选取的问题是黄金分割应用的部分例子，从中说明其应用的广泛性．
4.2 相似三角形
从相似变换引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示相似三角形所要研究的本质就是两个三角形边角之间的关系．通过与全等三角形的比较，突出全等与相似的相互关系：既有相同之处，更有不同之处．本节的学习应突出一种对应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点，课本通过“做一做”“课内练习”“作业题”等来加深学生对“对应”的理解．安排的两个例题是对定义所包含的性质和判定两方面运用，这也是本节的另一个重点．
4.3 两个三角形相似的判定
课本把探索两个三角形相似的条件通过两节课来学习．对每一种情形，都让学生经历“画图——猜想——验证（量一量、算一算）——归纳”等过程，使学生从直觉上接受具备这些条件的两个三角形是相似的．教材安排的三个例题是从运用这些条件的角度出发的，但有区别．例1是通过相似来解决实际问题；例2是第二个条件的直接运用；例3通过计算来判断这两个三角形是否具备第三个条件．这样既体现了几个相似三角形条件的运用，又体现了选题的多样性，以及教学中的多种功能．
4.4 相似三角形的性质及其应用
相似三角形的性质主要指周长比和面积比．课本首先让学生选择合适的方法进行探索和归纳，然后运用相似三角形的性质、通过计算给出证明．例题1是相似三角形性质的一个简单应用；例题2是运用相似三角形的性质解决实际问题；例3是一个集方案设计、问题解决于一体的情境问题，能较好地培养学生分析问题、解决问题的能力及思维的发散性和灵活性．本节的练习题中会涉及到相似三角形的对应高的比等于形似比的性质，关于这个性质在证明面积比等于相似比的平方时已经可以得到，课本作了总结，但不作为黑体字出现．并在下面的“做一做”具体体现，学生应能够理解．
4.5 相似多边形
相似多边形是相似三角形的延伸和扩展，它与相似三角形有着必然的联系．其判定方法课本没有单独给出，只要求学生能依据定义作出判断即可，其性质与相似三角形类似，课本通过“做一做”，把四边形的问题转化为三角形来处理，这也是研究多边形问题的一种常用方法．
4.6 图形的位似
位似的两个图形具有一种特殊的位置关系，这种关系是通过位似中心来联系的，位似中心的位置决定了两个位似图形的位置，其关键是抓住对应点的连线都经过位似中心；而相似图形只研究它们的形状和大小，与这两个图形的位置无关．本节的位似只要求学生理解位似图形、利用位似将一个图形放大或缩小．
课题学习 精彩的分形
本课题从雪花的形状出发，通过雪花曲线的形成过程，提出在自然界中广泛存在着这种分形的情形，让学生欣赏分形的美感，引导学生探究数学上分形，借助计算机等工具尝试进行分形，既开阔学生的视野，又丰富数学与生活的联系，同时培养学生的探究欲望和探究能力．
二、本章编写特点
1、既重视了数学知识的系统学习，又体现了数学的应用价值．
相似三角形是空间与图形领域中的一块重要内容，在七年级下册安排相似变换的基础上，比较系统地介绍了比例线段、相似三角形的识别、性质及其应用、相似多边形、图形的位似等知识，使学生能从中体验到知识间的前后联系、前因后果，也反应了数学知识的一种递进和发展．另一方面，在知识的产生和发展过程中，时时离不开实际问题．由解决实际问题的需要引发出新的知识，用新的知识去解决遇到的实际问题．比如根据比例尺求两地的实际距离，测河宽、测楼房的高度、测树高，黄金分割的作用，为墙报镶边设计纸条的宽度等等．
2、为学生创设动手实践的情境，体现探索与开放．
情境的创设是课堂教学的需要，也是教材编写的一种追求目标．无论是概念的引入（如比例线段、相似多边形、位似等概念），还是相似三角形条件的探索，相似三角形性质的得出等都离不开问题情境的创设和学生的主动参与．无论是以“合作学习”的栏目出现，还是简单的几句话，都意在引起学生的思考．画一画，量一量，想一想，都需要学生的实践和探索．另外，在例题的选编、习题的编排、问题的设计等方面，课本都能体现一种探索和开放．如添加条件使两个三角形相似，根据条件找出相似三角形，根据提供的方案再设计不同的方案测量树的高度等等．
3、体现知识的横向联系，重视思想方法的渗透．
相似三角形安排在九年级学习，学生已经具备了一定的综合分析能力，已初步形成了数学的思想和方法，教科书的编排也充分考虑到了学生这些特点．由相似三角形的概念和性质通过类比得出相似多边形的概念和性质，运用比例的基本性质和设比值的方法来求比值，利用图形的面积求比例线段，与圆、函数、方程、相似变换等建立横向联系，通过黄金分割、精彩的分形、位似、相似多边形及其应用、古代数学问题等知识，把数学与自然、科学、建筑、艺术等有机地结合起来．所有这些都体现了一种联系，学习也应是在某种联系的状态下进行的，这样才能有效地构建知识．
4、继续借助方格纸，提高学习的有效性．
方格纸似乎是一种简单的辅助图纸，但恰恰是这种图纸在学生的学习过程中能发挥积极的作用．在方格纸中，学生能比较方便地探索图形的性质、发现点的坐标、画出符合要求的图形．比如本章中探索相似三角形的条件、探索相似图形的性质、画相似图形、画位似图形、探索位似的性质等，都少不了这种工具．它为学生的学习架设了一座桥梁．
三、教学建议
1、抓住对应关系．与全等三角形相比，相似三角形更体现了边的变化，这种变化由原先的相等到现在的成比例，这就给学生的直观判断带来了难度．要突破这一难点，一种有效的方法就是抓住对应关系，特别是抓住对应角，由对应角去找对应边，养成学生良好的书写习惯和看图习惯．
2、重视推理能力的培养．本套教科书从八年级下册开始学习证明，有效地促进学生形成良好的思维习惯和思维品质．在九年级的相似三角形和圆两章中，学生证明方面的要求略有降低，但这并不意味着不出现证明，仍采用证明、说理相结合的方式处理，教学时应认真领会这些编写意图．
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