2018-2019学年数学浙教版九年级上册3.5 圆周角（1） 同步练习
一、选择题
1．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
2．如图，已知圆周角 ，则圆心角 =（ ）
A．130° B．115° C．100° D．50°
3．如图，AB是 的直径，CD是 的弦，连结AC，AD，BD，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是 的直径，C，D为 上的两点，若 ， ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 内接于 ， ， ，点D在AC弧上，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 的直径CD过弦EF的中点G， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．50°
8．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
二、填空题
9．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=23°，则∠AOB= ．
10．如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为 m．
11．如图，△ABC内接于⊙O，如果∠OAC=35°，那么∠ABC的度数是 ．
12．下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图，（1）作射线AD；（2）在射线AD上任意取一点O（点O不与点A重合）；（3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B；（4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C；（5）作射线AC．
∠DAC即为所求作的30°角．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
13．如图，AB是 圆O的直径，OB=3，BC是圆 O的弦，∠ABC的平分线交圆 O于点 D，连接OD，若∠BAC=20°，弧AD的长等于 ．
14．（2018·乌鲁木齐模拟）如图，△ABC是⊙O的内接锐角三角形，连接AO，设∠OAB=α，∠C=β，则α+β= °。
三、解答题
15．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点(不与A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB.当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数.
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，BD＝2，连接CD，求BC的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
求证：CF＝BF.
18．如图， 是⊙O的一条弦， ，垂足为 ，交⊙O于点D，点 在⊙O上。
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长。
19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
（2）若CD＝2，BA＝8，求半径的长．
20．如图， 的直径AB的长为10，弦AC的长为 的平分线交 于点D．
（1）求BC的长；
（2）求弦BD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴ ，
∴∠E= ∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于： ．
故答案为：C．
【分析】由垂径定理可得弧AC=弧BC，AD=BD=AB，所以根据圆周角定理可得∠E=∠BOC，于是∠BOC=2∠E=45°，则△ODB是等腰直角三角形，用勾股定理即可求OB的长。
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形 内接于⊙ ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的对角互补可求得∠ADB=-∠ACB，再根据圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半可得∠AOB=2∠ADB即可求解。
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 是 的直径，
，
又 （圆周角定理），
．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠CDB=∠CAB，则∠ADC=∠ADB-∠CDB即可求解。
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
， ，且AB为直径，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：C
【分析】连接OC，由已知易得OB=OC=BC，所以三角形OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BOC=60 ° ，由圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半即可求得∠BDC=∠BOC。
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
弧AB对的圆周角是 和 ，
，
故答案为：C．
【分析】由三角形内角和定理可求∠ACB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADB=∠ACB即可求解。
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 的直径CD过弦EF的中点G， ，
弧 =DE，且弧的度数是 ，
，
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得弧DF=弧DE，根据圆周角定理可得弧DE的度数=2∠DCF，则∠DOE=2∠DCF可求解。
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图连接OB，
∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴∠AOB=∠AOC=50°，
则∠ADB= ∠AOB=25°，
故答案为：B．
【分析】连接OB，根据等腰三角形的三线合一可得∠AOB=∠BOC，再由圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半即可求解。
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故答案为：D．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求得∠B的度数，再根据圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半可求∠AOC的度数，由三角形外角的性质即可求得∠C的度数。
9．【答案】92°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB，
∴ ，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠APC=23°，
∴∠AOC=2∠APC=46°，
∴∠BOC=46°，∴∠AOB=46°+46°=92°，
故答案为：92°
【分析】由题意根据垂径定理可得弧AC=弧BC，所以由相等的弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOC，再根据圆周角定理可得∠AOC=2∠APC，所以∠AOB=2∠AOC可求解。
10．【答案】200
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结OA、OB，如下图，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=100m，
∴个人工湖的直径为200m．
故答案为200m．
【分析】连结OA、OB，由圆周角定理和已知条件可得∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△OAB为等边三角形，由等腰三角形的性质即可求解。
11．【答案】55°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：因为，OA=OC，
所以，∠OCA=∠OAC=35°，
所以，∠AOC=180 -∠OCA-∠OAC=110 ，
所以，∠ABC= ∠AOC= ×110 =55 .
故答案为：55°
【分析】由三角形内角和定理可求得∠AOC的度数，再根据圆周角定理可得∠ABC= ∠AOC。
12．【答案】答案不唯一，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．
【知识点】等边三角形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，BC，
由做法知，OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴∠BOC=60°（等边三角形的三个内角都等于60°），
∴∠DAC= （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）.
【分析】依据是等边三角形的定义三边相等的三角形是等边三角形，圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠ABC=90° 20°=70°，
∵∠ABC的平分线交圆O于点D，
∴∠ABD= ∠ABC= ×70°=35°，
∴∠AOD=2∠ABD=2×35°=70°，
∴弧AD的长=== .
故答案为： .
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，由题意根据三角形内角和定理可求得∠ABC的度数，根据角平分线的性质可得∠ABD=∠ABC，再根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD，则弧AD的长=.
14．【答案】90
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA（等角对等边）．
又∵∠OAB=α，∠C=β，∠AOB=2∠C（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴2α+2β=180°（三角形内角和定理），
∴α+β=90°．
故答案为：90．
【分析】连接OB．根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA，又根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得出∠AOB=2∠C，根据三角形的内角和得出2α+2β=180°，从而得出答案。
15．【答案】解：连接OA，∵OA=OB=OD，∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OA，由半径都相等可得OA=OB=OD，于是∠OAD=∠ADC，∠OAB=∠OBC，则∠DAC=∠DAO+∠OAB，根据圆周角定理即可得∠BOD=2∠DAC。
16．【答案】解：在⊙O中，∵∠A＝45°，
∴∠D＝45°.
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝BD·sin45°＝2× ＝
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCD＝90°，在等腰直角三角形BCD中用勾股定理即可求解。
17．【答案】解：如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB﹦90°，∴∠2﹦90°-∠3﹦∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A，∴∠1﹦∠2，∴CF﹦BF．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB﹦90°，而CE⊥AB，所以∠CEB﹦90°，根据同角的余角相等可得∠ECB﹦∠A，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CBD=∠A，所以可得∠CBD=∠ECB，再由等角对等边即可求解。
18．【答案】（1）解：∵ OD⊥AB，OD为半径，
∴ ，
∴ ∠AOD= 52°，
∴∠DEB = ∠AOD = 26°
（2）解：∵ OD⊥AB，OD为半径 ，
∴AC =BC= AB，
在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，
由勾股定理求得AC=4.
∴AB=8
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得弧AD=弧BD，再根据圆周角定理可得∠DEB= ∠AOD；
（2）由垂径定理可得AC=BC= AB，在Rt△AOC中，用勾股定理即可求解。
19．【答案】（1）解：∵OD⊥AB，∴ ，
∵∠AOD=52°，
∴∠DEB= ×52°=26°
（2）解：设⊙O的半径为x，
则OC=OD-CD=x-2，
∵OD⊥AB，
∴AC= AB= ×8=4，
在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，
∴x2=42+（x-2）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得弧AD=弧BD，再根据圆周角定理可得∠DEB=∠AOD；
（2）由垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△AOC中，用勾股定理可得关于半径的方程，解方程即可求解。
20．【答案】（1）解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴BC= = =5
（2）解：如图，连接BD，
同理可知∠ADB=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD．∵AD2+BD2=AB2，∴2BD2=100，解得：BD=5 ．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得BC的长；
（2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°．由相等的圆周角所对的弦相等可得AD=BD，于是在等腰直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册3.5 圆周角（1） 同步练习
一、选择题
1．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴ ，
∴∠E= ∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于： ．
故答案为：C．
【分析】由垂径定理可得弧AC=弧BC，AD=BD=AB，所以根据圆周角定理可得∠E=∠BOC，于是∠BOC=2∠E=45°，则△ODB是等腰直角三角形，用勾股定理即可求OB的长。
2．如图，已知圆周角 ，则圆心角 =（ ）
A．130° B．115° C．100° D．50°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，
∵四边形 内接于⊙ ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∵ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】在优弧AB上任取一点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的对角互补可求得∠ADB=-∠ACB，再根据圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半可得∠AOB=2∠ADB即可求解。
3．如图，AB是 的直径，CD是 的弦，连结AC，AD，BD，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 是 的直径，
，
又 （圆周角定理），
．
故答案为：B．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠CDB=∠CAB，则∠ADC=∠ADB-∠CDB即可求解。
4．如图，AB是 的直径，C，D为 上的两点，若 ， ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
， ，且AB为直径，
，
为等边三角形，
，
，
故答案为：C
【分析】连接OC，由已知易得OB=OC=BC，所以三角形OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BOC=60 ° ，由圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半即可求得∠BDC=∠BOC。
5．如图， 内接于 ， ， ，点D在AC弧上，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
弧AB对的圆周角是 和 ，
，
故答案为：C．
【分析】由三角形内角和定理可求∠ACB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ADB=∠ACB即可求解。
6．如图， 的直径CD过弦EF的中点G， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 的直径CD过弦EF的中点G， ，
弧 =DE，且弧的度数是 ，
，
故答案为：C
【分析】由垂径定理可得弧DF=弧DE，根据圆周角定理可得弧DE的度数=2∠DCF，则∠DOE=2∠DCF可求解。
7．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．50°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图连接OB，
∵OA⊥BC，∠AOC=50°，
∴∠AOB=∠AOC=50°，
则∠ADB= ∠AOB=25°，
故答案为：B．
【分析】连接OB，根据等腰三角形的三线合一可得∠AOB=∠BOC，再由圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半即可求解。
8．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（ ）
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故答案为：D．
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可求得∠B的度数，再根据圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半可求∠AOC的度数，由三角形外角的性质即可求得∠C的度数。
二、填空题
9．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=23°，则∠AOB= ．
【答案】92°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC是⊙O的半径，AB是弦，OC⊥AB，
∴ ，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠APC=23°，
∴∠AOC=2∠APC=46°，
∴∠BOC=46°，∴∠AOB=46°+46°=92°，
故答案为：92°
【分析】由题意根据垂径定理可得弧AC=弧BC，所以由相等的弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOC，再根据圆周角定理可得∠AOC=2∠APC，所以∠AOB=2∠AOC可求解。
10．如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为 m．
【答案】200
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连结OA、OB，如下图，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=100m，
∴个人工湖的直径为200m．
故答案为200m．
【分析】连结OA、OB，由圆周角定理和已知条件可得∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形可得△OAB为等边三角形，由等腰三角形的性质即可求解。
11．如图，△ABC内接于⊙O，如果∠OAC=35°，那么∠ABC的度数是 ．
【答案】55°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：因为，OA=OC，
所以，∠OCA=∠OAC=35°，
所以，∠AOC=180 -∠OCA-∠OAC=110 ，
所以，∠ABC= ∠AOC= ×110 =55 .
故答案为：55°
【分析】由三角形内角和定理可求得∠AOC的度数，再根据圆周角定理可得∠ABC= ∠AOC。
12．下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图，（1）作射线AD；（2）在射线AD上任意取一点O（点O不与点A重合）；（3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B；（4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C；（5）作射线AC．
∠DAC即为所求作的30°角．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
【答案】答案不唯一，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．
【知识点】等边三角形的判定；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，BC，
由做法知，OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴∠BOC=60°（等边三角形的三个内角都等于60°），
∴∠DAC= （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）.
【分析】依据是等边三角形的定义三边相等的三角形是等边三角形，圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
13．如图，AB是 圆O的直径，OB=3，BC是圆 O的弦，∠ABC的平分线交圆 O于点 D，连接OD，若∠BAC=20°，弧AD的长等于 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠ABC=90° 20°=70°，
∵∠ABC的平分线交圆O于点D，
∴∠ABD= ∠ABC= ×70°=35°，
∴∠AOD=2∠ABD=2×35°=70°，
∴弧AD的长=== .
故答案为： .
【分析】由圆周角定理可得∠ACB=90°，由题意根据三角形内角和定理可求得∠ABC的度数，根据角平分线的性质可得∠ABD=∠ABC，再根据圆周角定理可得∠AOD=2∠ABD，则弧AD的长=.
14．（2018·乌鲁木齐模拟）如图，△ABC是⊙O的内接锐角三角形，连接AO，设∠OAB=α，∠C=β，则α+β= °。
【答案】90
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OB．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA（等角对等边）．
又∵∠OAB=α，∠C=β，∠AOB=2∠C（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴2α+2β=180°（三角形内角和定理），
∴α+β=90°．
故答案为：90．
【分析】连接OB．根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA，又根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得出∠AOB=2∠C，根据三角形的内角和得出2α+2β=180°，从而得出答案。
三、解答题
15．如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点(不与A，B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB.当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数.
【答案】解：连接OA，∵OA=OB=OD，∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】连接OA，由半径都相等可得OA=OB=OD，于是∠OAD=∠ADC，∠OAB=∠OBC，则∠DAC=∠DAO+∠OAB，根据圆周角定理即可得∠BOD=2∠DAC。
16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BD是直径，BD＝2，连接CD，求BC的长．
【答案】解：在⊙O中，∵∠A＝45°，
∴∠D＝45°.
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝BD·sin45°＝2× ＝
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCD＝90°，在等腰直角三角形BCD中用勾股定理即可求解。
17．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
求证：CF＝BF.
【答案】解：如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB﹦90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB﹦90°，∴∠2﹦90°-∠3﹦∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1﹦∠A，∴∠1﹦∠2，∴CF﹦BF．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠ACB﹦90°，而CE⊥AB，所以∠CEB﹦90°，根据同角的余角相等可得∠ECB﹦∠A，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CBD=∠A，所以可得∠CBD=∠ECB，再由等角对等边即可求解。
18．如图， 是⊙O的一条弦， ，垂足为 ，交⊙O于点D，点 在⊙O上。
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的长。
【答案】（1）解：∵ OD⊥AB，OD为半径，
∴ ，
∴ ∠AOD= 52°，
∴∠DEB = ∠AOD = 26°
（2）解：∵ OD⊥AB，OD为半径 ，
∴AC =BC= AB，
在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，
由勾股定理求得AC=4.
∴AB=8
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得弧AD=弧BD，再根据圆周角定理可得∠DEB= ∠AOD；
（2）由垂径定理可得AC=BC= AB，在Rt△AOC中，用勾股定理即可求解。
19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；
（2）若CD＝2，BA＝8，求半径的长．
【答案】（1）解：∵OD⊥AB，∴ ，
∵∠AOD=52°，
∴∠DEB= ×52°=26°
（2）解：设⊙O的半径为x，
则OC=OD-CD=x-2，
∵OD⊥AB，
∴AC= AB= ×8=4，
在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，
∴x2=42+（x-2）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得弧AD=弧BD，再根据圆周角定理可得∠DEB=∠AOD；
（2）由垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△AOC中，用勾股定理可得关于半径的方程，解方程即可求解。
20．如图， 的直径AB的长为10，弦AC的长为 的平分线交 于点D．
（1）求BC的长；
（2）求弦BD的长．
【答案】（1）解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴BC= = =5
（2）解：如图，连接BD，
同理可知∠ADB=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD．∵AD2+BD2=AB2，∴2BD2=100，解得：BD=5 ．
【知识点】圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，在直角三角形ABC中，用勾股定理可求得BC的长；
（2）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°．由相等的圆周角所对的弦相等可得AD=BD，于是在等腰直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的长。
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