2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.3.1 解直角三角形 同步练习
一、2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.3.1解直角三角形同步练习
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cos A的值是（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，欲求∠A的值，最适宜的做法是（ ）
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出
3．在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则cosB的值是（ ）
A．3 B． C．3 D．2
4．在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若c=6 ，a=6，则b= ，∠B= ，∠A= .
（2）若a=4 ，b=4，则∠A= ，∠B= ，c= .
5．在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若∠B=60°，BC= ，则∠A= ，AC= ，AB= .
（2）若∠A=45°，AB=2，则∠B= ，AC= ，BC= .
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= .(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，cos A= ，则AC等于（ ）
A．36 B． C．4 D．
8．如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，则边BC的长为（ ）
A．30 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
9．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC等于（ ）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
10．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2 ，则AC的长是（ ）
A． B．2 C．3 D．
12．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,点D为BC边上一点,且BD=2AD,∠ADC=60°,求△ABC的周长.(结果保留根号)
13．在△ABC中，AB=AC=2，高BE= ，求∠BAC.已知两边解直角三角形的两种类型：
图1 图2
（1）在Rt△ABC中，已知两直角边a，b，如图1，则c= ，由tanA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
（2）在Rt△ABC中，已知斜边和一直角边，如c，a，如图2，则b= ，由sinA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sin B= ，AD=1.
（1）求BC的长；
（2）求tan ∠DAE的值.
15．如图所示,在△ABC中,AB=1,AC= ,sin B= ,求BC的长.
16．如图，在△ABC中，sin B= ，∠A=105°，AB=2，求△ABC的面积.
17．如图,在△ABC中,∠BCA=90°,BC=1.5,点F,A,C在同一直线上,∠BAC=30°,DE⊥AB于点D,BE与AB的夹角∠EBD=60°,AD=1,过E点作AC的垂线,交AC的反向延长线于F.求BE及EF的长.
18．已知钝角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连结AD，若∠DAB=90°，∠ACB=2∠D.AD=2，AC= ，根据题意画出示意图，并求tanD的值.
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sin A= ，求DE的长度.
20．如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,将BC向BA方向翻折过去,使点C落在BA上的点C',折痕为BE,求EC的长度.
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cos A= .求:
（1）DE、CD的长；
（2）tan∠DBC的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，
由勾股定理得c=，
则cos A=
故答案为：A。
【分析】由勾股定理不难得出斜边c的长度，再根据余弦函数的定义可得cos A=即可求得。
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，
则AB为斜边，且AC为∠A的邻边，
根据余弦函数的定义可得cos A=，
故答案为：C。
【分析】△ABC是直角三角形，则直接运用三角函数的定义；题中AB是斜边，AC是∠A的邻边，则直接求出∠A的余弦值。
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作BC上的高AD，
∵AB=AC=3，
∴BD=BC=1，
在Rt△ABD中，
∴cosB=
故答案为：B。
【分析】∠B所在的三角形中没有直角三角形，则需要构造，可过A作BC上的高AD，根据等腰三角形的“三线合一”定理可得BD=BC=1，则可求出cosB。
4．【答案】（1）6；45°；45°
（2）60°；30°；8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理得b=，
则∠A=∠B=45°。
故答案为：6；45°；45°
(2)由勾股定理得
因为tanA=，即∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=30°。
故答案为：60°；30°；8
【分析】（1）由勾股定理可求得b，从而可得a=b，即而可求出两个锐角的度数；
（2）由a，b的值可求出tanA，从而根据三角函数的特殊值可求得∠A，即而求出∠B的值；由勾股定理可求出c。
5．【答案】（1）30°；；2
（2）45°；；
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°.
∠B=60°，BC=
则∠A=90°-∠B=30°
；c2 a2 √=72 36 √=36 √=6，
AC=BC×tan B= ，
AB= .
故答案为：30°； ；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°.
∠A=45°，AB=2，
则∠B=90°-∠A=45°。
AC=BC=AB×sinB=
故答案为：45°； ；
【分析】（1）已知∠B=60°，BC= ，可由∠A=90°-∠B求得∠A的度数；根据∠B的正切值可求得AC，根据∠B的余弦值求得斜边AB；
（2）已知∠A=45°，及斜边长AB=2，可由∠B=90°-∠A求得∠B；根据∠B的余弦值即可求得BC，而AC=BC。
6．【答案】24
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，
则AC=BC×tanB≈32×0.75=24.
故答案为：24.
【分析】由正切函数可得tanB=，代入tanB和BC的值即可求得AC。
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，cos A=，
则AC=AB×cos A=12×=4.
故答案为：C。
【分析】根据余弦函数可得cosA=，代入AB，cosA的值即可求得AC。
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC=，
则BC=AC×tan∠BAC=30×=10cm
故答案为：C。
【分析】根据正切函数可得tan∠BAC=，代入相关值即可得出。
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，
则∠B=90°-∠A=50°，
则AC=
故答案为：D。
【分析】根据正切函数可得tanA=，则AC==.
10．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
则AB=
则3≤AP≤6，AP的长度不可能为7.
故答案为D。
【分析】由特殊角的三角函数值可求出AB的长，而AC≤AP≤AB确定AP的取值范围。
11．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠C=90°，∠DAC=30°，
则tan∠DAC=，
设CD=x，则AC=x，
则BC=CD+BD=x+2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，
则（x）2+(x+2)2=（2）2，
整理得x2+x-2=0，
解得x1=1，x2=-2(舍)，
则AC=
故答案为A。
【分析】由tan∠DAC=，设CD=x，则AC=x，则BC=CD+BD=x+2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，
则（x）2+(x+2)2=（2）2，解出x的值即可。
12．【答案】解:在Rt△ADC中,∵sin∠ADC= ,
∴AD= =2,
∴BD=2AD=4.∵tan∠ADC= ,∴DC= =1,∴BC=BD+DC=5.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB= =2 .
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=2 +5+ .
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ADC中,根据∠ADC=60°,及特殊角的三角函数值，可求得AD，CD的长，而BD=2AD，从而求出BC，再由勾股定理可求得AB，从而求出三角形ABC的周长。
13．【答案】（1）解：当∠BAC为锐角时，如图①所示.
∵sinA= ，∴∠BAC=60°.
（2）解：当∠BAC为钝角时，如图②.
在Rt△ABE中，∵sin∠BAE= ，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=180°-60°=120°.∴∠BAC的度数为60°或120°
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】(1)当∠BAC为锐角时，作高画出图形可得sinA=，根据它的值得到∠BAC的值；
（2）当∠BAC为钝角时，作高画出图形，可得sin∠BAE=，从而求出∠BAE的值，而∠BAC=180°-∠BAE。
14．【答案】（1）解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1.在△ADB中，∵∠ADB=90°，sin B= ，AD=1，∴AB= =3，∴BD= =2 ，
∴BC=BD+DC=2 +1.
（2）解：∵AE是BC边上的中线，∴CE= BC= + ，∴DE=CE-CD= - ，
∴tan ∠DAE= = - .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ADC中，由∠C=45°，AD=1，可得DC=AD=1.在Rt△ADB中，由sin B= ，AD=1，可求得AB，再由勾股定理可得BD，从而BC=BD+DC；
（2）在Rt△ADE中，tan∠DAE=，而AD=1，DE=CE-CD=BC-CD，代入BC和CD的值即可求出DE，从而得到tan∠DAE。
15．【答案】解:过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=1,sin B= ,
∴AD=AB·sinB=1× = ,DB= = = ,CD= = = .∴BC=CD+BD= + = .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】已知sinB的值，则需要构造直角三角形，过点A作AD⊥BC于点D,则在Rt△ADB中，由AD=AB·sinB,求得AD；由勾股定理分别求出BD和CD的值，而BC=CD+BD。
16．【答案】解：过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，易得∠B=45°，又AB=2，∴∠DAB=∠B=45°，AD=BD=2× ∴∠CAD=105°-45°=60°.在Rt△CAD中，tan∠CAD= ，∴CD=AD·tan∠CAD= ×tan 60°= .∴BC=CD+BD= + .∴S△ABC= ·BC·AD= ( + )× = +1
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】已知sinB，需要构造直角三角形，则过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，易得∠DAB=∠B=45°，而AB=2，求得AD=BD=；由∠A=105°，∠DAB=45°，得∠CAD=105°-45°=60°，在Rt△CAD中，由AD=，可求得CD，从而可得BC=BD+CD。
17．【答案】解:如图,过点B作BH⊥EF于H.∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=1.5,∴AB=3.又∵AD=1,∴BD=2.∵ED⊥AB,∠DBE=60°,∴在Rt△DBE中,cos ∠DBE= ∴BE=4.∵∠BCA=∠BHF=∠HFC=90°,∴四边形HFCB为矩形.∴HF=BC=1.5,CF∥BH.∴∠HBA=∠BAC=30°.∴∠EBH=∠EBD-∠HBA=30°.∴在Rt△EBH中,EH=BE=2.∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】此类题通常做法，是将EF分成两段，故可过点B作BH⊥EF于H.则EF=EH +FH，分别求出EH和FH即可。
18．【答案】解：正确画图如图所示.∵∠ACB=∠D+∠CAD，∠ACB=2∠D.∴∠CAD=∠D，∴CA=CD.∵∠BAD=90°，∴∠B+∠D=90°.∵∠BAC+∠CAD=90°，∴∠B=∠BAC.∴CB=CA，∴BD=2AC，∵AC= ，∴BD=3， 在Rt△BAD中，∵AD=2，∴AB= .∴tanD= =
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】因为∠DAB=90°，则∠BAC是锐角，根据题意画出示意图，根据外角的性质得∠ACB=∠D+∠CAD，又∠ACB=2∠D.则∠CAD=∠D，即CA=CD.两根据∠B+∠D=90°和∠BAC+∠CAD=90°，可得∠B=∠BAC.则CB=CA，从而可求得BD，再由勾股定理求出AB，由tanD=可求得。
19．【答案】解：在Rt△ABC中，∵BC=6，sin A= ，∴AB=10，∴AC= =8.∵D是AB的中点
∴AD= AB=5，∵∠A=∠A，∠ADE=∠C=90°，∴△ADE∽△ACB，
∴ = ，即 = ，解得：DE=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由BC=6，sinA=，可得AB=，再由勾股定理求出AC，和AD；由∠A=∠A，∠ADE=∠C=90°，得△ADE∽△ACB，则求得DE。
20．【答案】解:作ED⊥BC于D,由折叠的性质可知∠DBE=∠ABE=45°,设所求的EC为x,则CD= x,BD=ED= x,∵∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,∴BC=AC×cos C=5,∴CD+BD= x+ x=5,∴CE=x=5 -5
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由折叠的性质可知∠DBE=∠ABE=45°,而又因为∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,所以BC=5，要求EC，可作ED⊥BC于D,可设EC=x，则用x表示出CD和BD的长，由CD+BD=BC列方程解答即可。
21．【答案】（1）解：∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.在Rt△AED中,cos A= ,即 = .∴AD=10.
根据勾股定理得DE= = =8.
又∵DE⊥AB,DC⊥BC,BD平分∠ABC,∴DC=DE=8.
（2）解：由(1)可得AC=AD+DC=10+8=18,在Rt△ABC中,cos A= ,即 = ,∴AB=30.根据勾股定理得BC= = =24.
∴在Rt△BCD中,tan ∠DBC== = .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△AED中,cos A= ,可求出AD，再由勾股定理求出DE，根据角平分线的性质可得CD=DE；
（2）根据（1）可得AC=AD+DC，求出AC，而在Rt△ABC中,cos A=求出AB，再由勾股定理求出BC，而在Rt△BCD中,tan ∠DBC= ，代入DC，BC的值即可求出。
1 / 12017-2018学年数学浙教版九年级下册1.3.1 解直角三角形 同步练习
一、2017-2018学年数学浙教版九年级下册1.3.1解直角三角形同步练习
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则cos A的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，
由勾股定理得c=，
则cos A=
故答案为：A。
【分析】由勾股定理不难得出斜边c的长度，再根据余弦函数的定义可得cos A=即可求得。
2．在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，欲求∠A的值，最适宜的做法是（ ）
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，
则AB为斜边，且AC为∠A的邻边，
根据余弦函数的定义可得cos A=，
故答案为：C。
【分析】△ABC是直角三角形，则直接运用三角函数的定义；题中AB是斜边，AC是∠A的邻边，则直接求出∠A的余弦值。
3．在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，则cosB的值是（ ）
A．3 B． C．3 D．2
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作BC上的高AD，
∵AB=AC=3，
∴BD=BC=1，
在Rt△ABD中，
∴cosB=
故答案为：B。
【分析】∠B所在的三角形中没有直角三角形，则需要构造，可过A作BC上的高AD，根据等腰三角形的“三线合一”定理可得BD=BC=1，则可求出cosB。
4．在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若c=6 ，a=6，则b= ，∠B= ，∠A= .
（2）若a=4 ，b=4，则∠A= ，∠B= ，c= .
【答案】（1）6；45°；45°
（2）60°；30°；8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理得b=，
则∠A=∠B=45°。
故答案为：6；45°；45°
(2)由勾股定理得
因为tanA=，即∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=30°。
故答案为：60°；30°；8
【分析】（1）由勾股定理可求得b，从而可得a=b，即而可求出两个锐角的度数；
（2）由a，b的值可求出tanA，从而根据三角函数的特殊值可求得∠A，即而求出∠B的值；由勾股定理可求出c。
5．在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若∠B=60°，BC= ，则∠A= ，AC= ，AB= .
（2）若∠A=45°，AB=2，则∠B= ，AC= ，BC= .
【答案】（1）30°；；2
（2）45°；；
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°.
∠B=60°，BC=
则∠A=90°-∠B=30°
；c2 a2 √=72 36 √=36 √=6，
AC=BC×tan B= ，
AB= .
故答案为：30°； ；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°.
∠A=45°，AB=2，
则∠B=90°-∠A=45°。
AC=BC=AB×sinB=
故答案为：45°； ；
【分析】（1）已知∠B=60°，BC= ，可由∠A=90°-∠B求得∠A的度数；根据∠B的正切值可求得AC，根据∠B的余弦值求得斜边AB；
（2）已知∠A=45°，及斜边长AB=2，可由∠B=90°-∠A求得∠B；根据∠B的余弦值即可求得BC，而AC=BC。
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC= .(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
【答案】24
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，
则AC=BC×tanB≈32×0.75=24.
故答案为：24.
【分析】由正切函数可得tanB=，代入tanB和BC的值即可求得AC。
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，cos A= ，则AC等于（ ）
A．36 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，cos A=，
则AC=AB×cos A=12×=4.
故答案为：C。
【分析】根据余弦函数可得cosA=，代入AB，cosA的值即可求得AC。
8．如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，则边BC的长为（ ）
A．30 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC=，
则BC=AC×tan∠BAC=30×=10cm
故答案为：C。
【分析】根据正切函数可得tan∠BAC=，代入相关值即可得出。
9．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC等于（ ）
A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，
则∠B=90°-∠A=50°，
则AC=
故答案为：D。
【分析】根据正切函数可得tanA=，则AC==.
10．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
则AB=
则3≤AP≤6，AP的长度不可能为7.
故答案为D。
【分析】由特殊角的三角函数值可求出AB的长，而AC≤AP≤AB确定AP的取值范围。
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2 ，则AC的长是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠C=90°，∠DAC=30°，
则tan∠DAC=，
设CD=x，则AC=x，
则BC=CD+BD=x+2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，
则（x）2+(x+2)2=（2）2，
整理得x2+x-2=0，
解得x1=1，x2=-2(舍)，
则AC=
故答案为A。
【分析】由tan∠DAC=，设CD=x，则AC=x，则BC=CD+BD=x+2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，
则（x）2+(x+2)2=（2）2，解出x的值即可。
12．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC= ,点D为BC边上一点,且BD=2AD,∠ADC=60°,求△ABC的周长.(结果保留根号)
【答案】解:在Rt△ADC中,∵sin∠ADC= ,
∴AD= =2,
∴BD=2AD=4.∵tan∠ADC= ,∴DC= =1,∴BC=BD+DC=5.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB= =2 .
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=2 +5+ .
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ADC中,根据∠ADC=60°,及特殊角的三角函数值，可求得AD，CD的长，而BD=2AD，从而求出BC，再由勾股定理可求得AB，从而求出三角形ABC的周长。
13．在△ABC中，AB=AC=2，高BE= ，求∠BAC.已知两边解直角三角形的两种类型：
图1 图2
（1）在Rt△ABC中，已知两直角边a，b，如图1，则c= ，由tanA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
（2）在Rt△ABC中，已知斜边和一直角边，如c，a，如图2，则b= ，由sinA= 可求∠A，则∠B=90°-∠A.
【答案】（1）解：当∠BAC为锐角时，如图①所示.
∵sinA= ，∴∠BAC=60°.
（2）解：当∠BAC为钝角时，如图②.
在Rt△ABE中，∵sin∠BAE= ，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=180°-60°=120°.∴∠BAC的度数为60°或120°
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】(1)当∠BAC为锐角时，作高画出图形可得sinA=，根据它的值得到∠BAC的值；
（2）当∠BAC为钝角时，作高画出图形，可得sin∠BAE=，从而求出∠BAE的值，而∠BAC=180°-∠BAE。
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sin B= ，AD=1.
（1）求BC的长；
（2）求tan ∠DAE的值.
【答案】（1）解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1.在△ADB中，∵∠ADB=90°，sin B= ，AD=1，∴AB= =3，∴BD= =2 ，
∴BC=BD+DC=2 +1.
（2）解：∵AE是BC边上的中线，∴CE= BC= + ，∴DE=CE-CD= - ，
∴tan ∠DAE= = - .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ADC中，由∠C=45°，AD=1，可得DC=AD=1.在Rt△ADB中，由sin B= ，AD=1，可求得AB，再由勾股定理可得BD，从而BC=BD+DC；
（2）在Rt△ADE中，tan∠DAE=，而AD=1，DE=CE-CD=BC-CD，代入BC和CD的值即可求出DE，从而得到tan∠DAE。
15．如图所示,在△ABC中,AB=1,AC= ,sin B= ,求BC的长.
【答案】解:过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=1,sin B= ,
∴AD=AB·sinB=1× = ,DB= = = ,CD= = = .∴BC=CD+BD= + = .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】已知sinB的值，则需要构造直角三角形，过点A作AD⊥BC于点D,则在Rt△ADB中，由AD=AB·sinB,求得AD；由勾股定理分别求出BD和CD的值，而BC=CD+BD。
16．如图，在△ABC中，sin B= ，∠A=105°，AB=2，求△ABC的面积.
【答案】解：过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，易得∠B=45°，又AB=2，∴∠DAB=∠B=45°，AD=BD=2× ∴∠CAD=105°-45°=60°.在Rt△CAD中，tan∠CAD= ，∴CD=AD·tan∠CAD= ×tan 60°= .∴BC=CD+BD= + .∴S△ABC= ·BC·AD= ( + )× = +1
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】已知sinB，需要构造直角三角形，则过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，易得∠DAB=∠B=45°，而AB=2，求得AD=BD=；由∠A=105°，∠DAB=45°，得∠CAD=105°-45°=60°，在Rt△CAD中，由AD=，可求得CD，从而可得BC=BD+CD。
17．如图,在△ABC中,∠BCA=90°,BC=1.5,点F,A,C在同一直线上,∠BAC=30°,DE⊥AB于点D,BE与AB的夹角∠EBD=60°,AD=1,过E点作AC的垂线,交AC的反向延长线于F.求BE及EF的长.
【答案】解:如图,过点B作BH⊥EF于H.∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=1.5,∴AB=3.又∵AD=1,∴BD=2.∵ED⊥AB,∠DBE=60°,∴在Rt△DBE中,cos ∠DBE= ∴BE=4.∵∠BCA=∠BHF=∠HFC=90°,∴四边形HFCB为矩形.∴HF=BC=1.5,CF∥BH.∴∠HBA=∠BAC=30°.∴∠EBH=∠EBD-∠HBA=30°.∴在Rt△EBH中,EH=BE=2.∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】此类题通常做法，是将EF分成两段，故可过点B作BH⊥EF于H.则EF=EH +FH，分别求出EH和FH即可。
18．已知钝角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连结AD，若∠DAB=90°，∠ACB=2∠D.AD=2，AC= ，根据题意画出示意图，并求tanD的值.
【答案】解：正确画图如图所示.∵∠ACB=∠D+∠CAD，∠ACB=2∠D.∴∠CAD=∠D，∴CA=CD.∵∠BAD=90°，∴∠B+∠D=90°.∵∠BAC+∠CAD=90°，∴∠B=∠BAC.∴CB=CA，∴BD=2AC，∵AC= ，∴BD=3， 在Rt△BAD中，∵AD=2，∴AB= .∴tanD= =
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】因为∠DAB=90°，则∠BAC是锐角，根据题意画出示意图，根据外角的性质得∠ACB=∠D+∠CAD，又∠ACB=2∠D.则∠CAD=∠D，即CA=CD.两根据∠B+∠D=90°和∠BAC+∠CAD=90°，可得∠B=∠BAC.则CB=CA，从而可求得BD，再由勾股定理求出AB，由tanD=可求得。
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sin A= ，求DE的长度.
【答案】解：在Rt△ABC中，∵BC=6，sin A= ，∴AB=10，∴AC= =8.∵D是AB的中点
∴AD= AB=5，∵∠A=∠A，∠ADE=∠C=90°，∴△ADE∽△ACB，
∴ = ，即 = ，解得：DE=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由BC=6，sinA=，可得AB=，再由勾股定理求出AC，和AD；由∠A=∠A，∠ADE=∠C=90°，得△ADE∽△ACB，则求得DE。
20．如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,将BC向BA方向翻折过去,使点C落在BA上的点C',折痕为BE,求EC的长度.
【答案】解:作ED⊥BC于D,由折叠的性质可知∠DBE=∠ABE=45°,设所求的EC为x,则CD= x,BD=ED= x,∵∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,∴BC=AC×cos C=5,∴CD+BD= x+ x=5,∴CE=x=5 -5
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由折叠的性质可知∠DBE=∠ABE=45°,而又因为∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,所以BC=5，要求EC，可作ED⊥BC于D,可设EC=x，则用x表示出CD和BD的长，由CD+BD=BC列方程解答即可。
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cos A= .求:
（1）DE、CD的长；
（2）tan∠DBC的值.
【答案】（1）解：∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.在Rt△AED中,cos A= ,即 = .∴AD=10.
根据勾股定理得DE= = =8.
又∵DE⊥AB,DC⊥BC,BD平分∠ABC,∴DC=DE=8.
（2）解：由(1)可得AC=AD+DC=10+8=18,在Rt△ABC中,cos A= ,即 = ,∴AB=30.根据勾股定理得BC= = =24.
∴在Rt△BCD中,tan ∠DBC== = .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△AED中,cos A= ,可求出AD，再由勾股定理求出DE，根据角平分线的性质可得CD=DE；
（2）根据（1）可得AC=AD+DC，求出AC，而在Rt△ABC中,cos A=求出AB，再由勾股定理求出BC，而在Rt△BCD中,tan ∠DBC= ，代入DC，BC的值即可求出。
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