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浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】 一元二次方程
整理得：
a是二次项系数，故为5；
b是一次项系数，故为-4
；c是常数项，故为-1
故答案为：C
2．将方程配方成（x-m）2=n的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 方程 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D.
3．已知关于x的方程（x-1）[（k-1）x+（k-3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（ ）
A．方程一定有两个不相等的实数根 B．方程一定有两个实数根
C．当k取某些值时，方程没有实数根 D．方程一定有实数根
【答案】D
【解析】化简方程 （x-1）[（k-1）x+（k-3）]=0 得（k-1）x2-2x-k+3=0，
当k=1时，方程为-2x+2=0，是一元一次方程，只有一个实数根为x=1；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
此时b2-4ac=（-2）2-4×（k-1）（-k+3）=4-4(-k2+4k-3)=4-4[-(k-2)2+1]≥0，
∴方程一定有实数根.
故答案为：D.
4．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵x2-8x-1=0
∴x2-8x+42-42-1=0
∴（x-4）2-17=0
∴ （x-4）2=17
故答案为：C.
5．已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】由方程可得，
设，可得，
方程的解是，，
方程的解是，，
，，
解得，，
故答案为：B.
6．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故答案为：A．
7．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①根据根与系数的关系可得：，
∴，
∵，∴b=1-a，
∴，
∴故正确；
②∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，
∴m>0，n>0，
故②正确；
③∵一元二次方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴4-4（a2+b2+ab）≥0，
∴4-4（a2-a+1）≥0，
∴a≥a2，
故③不正确；
④∵a2+b2+ab=a2-a+1，
∴方程x2-2x+a2+b2+ab=0可化简为x2-2x+a2-a+1=0，
即（x-1）2+a2-a=0，
∵方程（x+1）2+a2-a=0可变形为[（x+2）-1]2+a2-a=0，
∴x1=m-2，x2=n-2，
故④正确；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：C.
8．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根x0，则下列关于的值判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根x0，
∴，
∴，
故答案为：B
9．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为x≥[x]，方程变形为2[x]=x2-3，
2x≥x2-3，
解此不等式得：-1≤x≤3.
现将x的取值范围分为5类进行求解
（1）-1≤x＜0，则[x]=-1，
原方程化为x2-1=0，
解得x=-1；
（2）0≤x＜1 则[x]=0，
原方程化为x2-3=0，
无解；
（3）1≤x＜2，则[x]=1，
原方程化为x2-5=0，
无解；
（4）2≤x＜3，则[x]=2，
原方程化为x2-7=0，
解得x= ；
（5）x=3显然是原方程的解.
综合以上，所以原方程的解为-1， ，3.
故答案为：C.
10．如图，某小区有一矩形ABCD空地，AB=8，BC=6，现设计成五块，其中正方形AEFG与正方形CIJK全等，矩形DGHI与矩形BKLE全等，中间为矩形LJHF，当矩形LJHF面积等于1时，设AE长为x，则x的值为（ ）
A．3 B．3.2 C．3.5 D．3.6
【答案】C
【解析】∵正方形AEFG和正方形JKCI全等，矩形GHID和矩形EBKL全等，AB=8，BC=6，
∵AE=x，则DG=BK=6-x，BE=8-x，FL=x-（6-x）=2x-6，LJ=（8-x）-x=8-2x，
∵S矩形LJHF=FL LJ，
∴（2x-6）（8-2x）=1，
解得：x1=x2=，
∴AE=．
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】且m≠0
【解析】∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且m≠0．
故答案为：且m≠0．
12．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是
【答案】74
【解析】设这个两位数的个位数为 ，
则这个两位数为： ，新两位数为
∴ ，整理得：
解得： （不合题意舍去）
∴原两位数为：74
故答案为：74
13．三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
【答案】24或
【解析】∵第三边的长是一元二次方程的一个实数根，
∴，
∴或x=10，
当x=10，三角形的三边为6，8，10，即为直角三角形，
∴三角形的面积为.
当x=6时，三角形的三边为6，6，8，即为等腰三角形，
过点A 作，如图所示，
∴BD=CD=4，
∴，
∴三角形的面积为.
∴三角形的面积为24或.
故答案为：24或.
14．已知m为方程的根，那么的值为 ．
【答案】-4046
【解析】∵ m为方程的根，
∴m2=-3m+2023，
∴m3+2m2-2026m-2023=m（-3m+2023）+2（-3m+2023）-2026m-2023
=-3m2-9m+2023=-3（-3m+2023）-9m+2023=9m-6069-9m+2023=-4046.
故答案为：4046
15．若实数a，b满足，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵实数a，b满足，
∴2ab2-2ab+a+4=0
∴Δ = -2a 2 -4×2a a+4 =-4 a 2 -32a≥0
解得：，
故答案为：．
16．设，是方程的两个根，则 ．
【答案】
【解析】∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：10
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．按照指定方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）解：，，，，，；
（2）解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得：，；
（3）解：方程整理得：，分解因式得：，可得或，解得：，．
18．关于x的一元二次方程x2-mx+2m-4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为x=1 ，求m的值和另一个根．
【答案】（1）x2-mx+2m-4=0，b2-4ac=( -m)2-4×1×(2m-4)=m2-8m+16=(m-4)2，∵不论m为何值， (m-4)2≥0，∴b2-4ac≥0，∴方程总有两个实数根．
（2）把x=1代人关于x的一元二次方程x2 -mx+2m-4=0，得1-m+2m-4=0，解得m=3，∴原方程为x2-3x+2=0，
(x-2)(x-1)=0，x1=1，x2=2，∴另一个根为x=2．
19．我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利1950元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利1950元．
20． 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角阴影部分，两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边．
（1）若花园的面积为平方米，求的长；
（2）若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积能否为平方米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设的长为米，则的长为米，
由题意得：，
解得：，，
即的长为米或米；
（2）解：花园的面积不能为米，
理由如下：
设的长为米，则的长为米，
由题意得：
，
解得：，
当时，，
即当米，米米，
花园的面积不能为米．
21． 若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
（1）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
（2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求该方程的根．
【答案】（1）解：设这个方程的两个根分别为和，
则，
解得，
即这个方程的一个根为，
将代入方程得：，
解得．
（2）解：设这个方程的两个根分别为和，
由题意得：，
整理得：，
，
将代入得：，
解得，
，
所以该方程的根为或．
22．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别是．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）解：方程有两个实数根，
，
，，，
，
解得：；
（2）解：根据题意得，，
，
，
23．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点．
（1）根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前 行的点数和；
（2）请直接写出三角点阵中前行的点数和 ；
（3）三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出，如果不能，请说明理由；
（4）如果把图的三角点阵中各行的点数依次换为，，，，，，你能探究出前行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出，如
果不能，请说明理由．
【答案】（1）4
（2）36
（3）解：能，理由如下：
根据题意可得前行的点数和为
令，
解得：，或舍去，
；
能；
（4）解：能，理由如下：
根据题意可得前行的点数和为
令
解得：，或舍
，
能．
【解析】（1）1+2+3+4=10，故10是三角点阵中前4行的点数和，
故答案为：4；
（2）1+2+3+4+5+6+7+8=36，故三角点阵中前8行的点数和36，
故答案为：36；
24．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒后，的长度为；
（2）几秒后，的面积为；
（3） 的面积能否为？请说明理由．
【答案】（1）解：设点 运动的时间为 ，则 ， ， ，
根据勾股定理，得 ，
即 ，解得t＝3或 （舍去），
故 后， 的长度为 ．
（2）解：由 ，得 ，解得 或 ，
故 或 后， 的面积等于 ．
（3）解：不能，理由如下：
当 时，即 ，
，整理，得 ，
∵ ，
∴方程没有实数根，
∴ 的面积不可能等于 ．
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浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．将方程配方成（x-m）2=n的形式，下列配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的方程（x-1）[（k-1）x+（k-3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（ ）
A．方程一定有两个不相等的实数根 B．方程一定有两个实数根
C．当k取某些值时，方程没有实数根 D．方程一定有实数根
4．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程的解是，，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（ ）
①；②，；③；④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
8．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根x0，则下列关于的值判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．用[x]表示不大于x的最大整数，则方程 的解的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，某小区有一矩形ABCD空地，AB=8，BC=6，现设计成五块，其中正方形AEFG与正方形CIJK全等，矩形DGHI与矩形BKLE全等，中间为矩形LJHF，当矩形LJHF面积等于1时，设AE长为x，则x的值为（ ）
A．3 B．3.2 C．3.5 D．3.6
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
12．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是
13．三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是 ．
14．已知m为方程的根，那么的值为 ．
15．若实数a，b满足，则a的取值范围是 ．
16．设，是方程的两个根，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）； （2）； （3）
18．关于x的一元二次方程x2-mx+2m-4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为x=1 ，求m的值和另一个根．
19．我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
20． 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角阴影部分，两边足够长，用米长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边．
（1）若花园的面积为平方米，求的长；
（2）若在直角墙角内点处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是米，米，要将这棵树围在矩形花园内含边界，不考虑树的粗细，则花园的面积能否为平方米？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
21． 若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”．
（1）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
（2）若关于的一元二次方程是“倍根方程”，求该方程的根．
22．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别是．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
23．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点．
（1）根据上面的内容，请直接写出是三角点阵中前 行的点数和；
（2）请直接写出三角点阵中前行的点数和 ；
（3）三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出，如果不能，请说明理由；
（4）如果把图的三角点阵中各行的点数依次换为，，，，，，你能探究出前行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前行的点数和能是吗？如果能，请求出，如
果不能，请说明理由．
24．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒后，的长度为；
（2）几秒后，的面积为；
（3） 的面积能否为？请说明理由．
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