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浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程 培优测试卷2
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、∵方程化为一般式后为6x+1=0，不是一元二次方程，∴A不符合题意；
B、∵方程（a≠0）是一元二次方程，∴B不符合题意；
C、∵方程化为一般式后为x2+3=0，是一元二次方程，∴C符合题意；
D、∵方程不是一元二次方程，∴D不符合题意；
故答案为：C.
2．方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【解析】∵a=1，b=-1，c=3，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，
所以方程没有实数根．
故答案为：C．
3．用公式法解方程3x2+5x+1=0，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】这里a=3，b=5，c=1，
∵△=25-12=13，
∴x= ，
故答案为：A
4．把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A．2、3、﹣1 B．2、﹣3、﹣1 C．2、﹣3、1 D．2、3、1
【答案】B
【解析】原方程可整理为：
2x2﹣3x﹣1=0，
∴a=2，b=﹣3，c=﹣1；
故选B．
5．中国男子篮球职业联赛简称：，分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛常规赛共要赛场，则参加比赛的队共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】设参加比赛的队共有x支，
根据题意可得：x（x-1）=240，
解得：x1=16，x2=-15（舍），
∴参加比赛的队共有16支，
故答案为：D.
6．已知关于方程的两个实数根是，，则方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．；
【答案】D
【解析】设x-4=m，则方程（x-4）2+b（x-4）+c=0变为m2+bm+c=0，
∵x2+bx+c=0的两个根为x1=2，x2=-3，
∴m=2或m=-3，
∴x-4=2或x-4=-3，
解得x=6或x=1，
∴方程（x-4）2+b（x-4）+c=0的两个实数根为x1=6或x2=1.
故答案为：D.
7．已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【解析】由题意可得：m +3m-2022=0
所以
原式=
=
=
=0
故答案为B
8．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】如图，
由题意，得m2=4，4n+4=14，
解得m=2，n=.
故答案为：D.
9．若m是关于x的方程x2-2023x-1＝0的根，则（m2-2023m+3） （m2-2023m+4）的值为（ ）
A．16 B．12 C．20 D．30
【答案】C
【解析】∵ m是关于x的方程x2-2023x-1＝0的根 ，
∴m2-2023m-1=0，
∴m2-2023m=1，
∴ （m2-2023m+3） （m2-2023m+4） =（1+3）（1+4）=20.
故答案为：C.
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写一个一元二次方程： ，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2，.
【答案】
【解析】∵两根分别为2、-3，
∴两根之和为=-1，两根之积为=-6.
∵二次项系数b=2，
∴a=2，c=-12，
∴对应的方程为2x2+2x-12=0.
故答案为：2x2+2x-12=0.
12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1=0的一根为0，则m的值是 ．
【答案】﹣1
【解析】把x=0代入方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1=0得到m2﹣1=0，
解得：m=±1，
∵m﹣1≠0
∴m=﹣1，
故答案为：﹣1．
13．对于任意的实数a，b，定义一种新运算：，若，则的值为 ．
【答案】2或-1
【解析】∵，
∴x（x-1）=2，
∴x2-x-2=0，
∴（x-2）（x+1）=0
解之：x1=2，x2=-1.
故答案为：2或-1.
14．关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ．
【答案】
【解析】 方程 ，
∴，
∴2x-k=x2-2x+1，
∴，
∴
∵关于x的方程有两个不相等的实数解，
∴，即
解得：2≤k＜3，
故答案为：2≤k＜3.
15． 若关于x的一元一次不等式组的解集为，关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】
【解析】
解不等式①得：x≤4
解不等式②得：x
∵不等式组的解集为：x≤4
∴a+5>4，解得a>-1，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴Δ=32-4(a-1)≥0，a-1≠0，
解得a≤且a≠1，
综上所述，-1∴所有满足条件的整数a的值是0、2、3，
∴所有满足条件的整数a的值之和是0+2+3=5，
故答案为：5．
16．有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2中间小正方形的边长x为 ；阴影部分每个正方形的边长为 ．
【答案】1；
【解析】根据题中的方法，可令图中的正方形的四个角位置上的正方形的边长为，则大正方形的边长为（x+3），得到大正形的面积为（x+3）2=x2+6x+9=7+9=16，所以x+3=4，得到x=1；
阴影部分每个正方形的边长为.
故答案为：1；.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）4（x+1）2=1；
（2）x（x-4）+3x=0；
（3）x2-4x-5=0．
【答案】（1）解：∵4（x+1）2=1，
∴2（x+1）=±1，
∴2（x+1）=1或2（x+1）=-1，
整理，解得：x1= ，x2= .
（2）解：∵ x（x-4）+3x=0 ，
∴x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
∴x1=0，x2=1.
（3）解：∵x2-4x-5=0，
∴（x-5）（x+1）=0，
∴x1=5，x2=-1.
18．已知关于的方程有两个不相等的实数根，
（1）求的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值．
【答案】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴且，
∴且
（2）解：∵方程的一个根是，
，
解得，
∴方程为：，即，
解得．
即另一个根为．
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若满足，求a的值．
【答案】（1）解：由题意知，
解得
（2）解：，
，
．
20．随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加，某小区物业统计2024年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2022年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．
（1）求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；
（2）若2024年春节小区内停放新能源汽车数量为490辆，且增长率保持不变，请估计到2025年春节该小区停放新能源汽车的数量．
【答案】（1）解：设这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为
则
解得：，（舍去）
答：这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为40%
（2）解：（辆）
答：估计到2024年春节该小区停放新能源汽车的数量约为686辆
21．为了美化校阳环境，某校准备用长的栅栏，围成一个长方形花圃．
（1）若花圃的面积为，求长方形的长和宽；
（2）若要用完栅栏（不考虑损耗），求出围成的花圃面积的最大值；
（3）如图．现需要用一部分栅栏在花圃内围成两个长方形栽种区，学校决定将花圃背靠两面互相垂直的墙面而建，其它区域修成宽为的走道．如图所示，若此时长方形花圃的面积为，求此时长方形花圃的长和宽．
【答案】（1）解：设长为，则宽为，
由题意可知，，
解得或，
∴当花圃长为，宽为时，花圃面积为
（2）解：设长为，
∴矩形的面积，
∵，
∴，
∴，
∴当时，花圃面积的最大值为
（3）解：设长为，宽为，
由题意可得，，
整理得，，
∴，
解得或，
当时，，
当时，，
∴长方形花圃的长为，宽为或长为，宽为．
22．请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
化简得，，
这个一元二次方程为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程，
得，
去分母得，，
若，则，于是方程有一根为0，不符合题意，
，
所求方程为：．
23．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明：∵Δ＝[-2（n-1）]2-4（n2-2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100-20（n-1）+n2-2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2-22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2-18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n-1），AB AC＝n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）＝100，
解得n＝8或-6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8-1）＝14，符合题意，
当n＝-6时，AB+AC＝2×（-6-1）＝-14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
24．如图， 是边长为 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时，P，Q两点停止运动，设点 的运动时间为 ，解答下列问题：
（1）求 的面积.
（2）当 为何值时， 是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻 ，使四边形APQC的面积是 面积的 ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图1，过点 作 于点 ，
则 .
∵ .
∴在Rt 中， ，
∴
（2）解：设经过 秒， 是直角三角形，
则 .
在 中， ，
∴ .
若 是直角三角形，则分两种情况：
①当 时， ，
即 ，解得
②当 时， ，
即 ，解得 .
综上所述，当 或 时， 是直角三角形.
（3）解：不存在这样的 .
理由：如图2，作 于 ，
则 ，
∴ ，
∴= ，
当四边形APQC的面积是 面积的 时， 的面积是 面积的 ，
即 ，化简得 . ，
∴不存在这样的 ，使四边形APQC的面积是 面积的 .
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浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程 培优测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
3．用公式法解方程3x2+5x+1=0，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）=3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）其中a、b、c分别为（ ）
A．2、3、﹣1 B．2、﹣3、﹣1 C．2、﹣3、1 D．2、3、1
5．中国男子篮球职业联赛简称：，分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛常规赛共要赛场，则参加比赛的队共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．已知关于方程的两个实数根是，，则方程的两个实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．；
7．已知m为方程的根，那么的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
8．我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法以方程，即为例说明，方图注中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此小明用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．若m是关于x的方程x2-2023x-1＝0的根，则（m2-2023m+3） （m2-2023m+4）的值为（ ）
A．16 B．12 C．20 D．30
10．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写一个一元二次方程： ，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2，.
12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1=0的一根为0，则m的值是 ．
13．对于任意的实数a，b，定义一种新运算：，若，则的值为 ．
14．关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ．
15． 若关于x的一元一次不等式组的解集为，关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
16．有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和的矩形，再把它补充成一个边长为的大正方形，我们得到大正方形的面积为（因为）．所以大正方形边长为，得到．思考：当我们用这种方法寻找的解时，如图2中间小正方形的边长x为 ；阴影部分每个正方形的边长为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）4（x+1）2=1； （2）x（x-4）+3x=0； （3）x2-4x-5=0．
18．已知关于的方程有两个不相等的实数根，
（1）求的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值．
19．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若满足，求a的值．
20．随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加，某小区物业统计2022年春节小区内停放新能源汽车数量正好是2020年春节小区内停放新能源汽车数量的1.96倍．
（1）求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；
（2）若2022年春节小区内停放新能源汽车数量为490辆，且增长率保持不变，请估计到2023年春节该小区停放新能源汽车的数量．
21．为了美化校阳环境，某校准备用长的栅栏，围成一个长方形花圃．
（1）若花圃的面积为，求长方形的长和宽；
（2）若要用完栅栏（不考虑损耗），求出围成的花圃面积的最大值；
（3）如图．现需要用一部分栅栏在花圃内围成两个长方形栽种区，学校决定将花圃背靠两面互相垂直的墙面而建，其它区域修成宽为的走道．如图所示，若此时长方形花圃的面积为，求此时长方形花圃的长和宽．
22．请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
23．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
24．如图， 是边长为 的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是 ，当点 到达点 时，P，Q两点停止运动，设点 的运动时间为 ，解答下列问题：
（1）求 的面积.
（2）当 为何值时， 是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻 ，使四边形APQC的面积是 面积的 ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由.
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