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浙教版2023-2024学年八下数学第1章二次根式 培优测试卷
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x>－1 C．x≥－1 D．x>1
【答案】C
【解析】根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥-1．
故选：C．
2．下列根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵=2，=2，=，=3，
∴与是同类二次根式的是．
故选B．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A. 与 不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B. = ，故不符合题意；
C. = = ，故符合题意；
D. ，故不符合题意。
故答案为：C.
4．下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
A：代数式有意义，则需要x-1>0，∴x>1，A不符合；
B：代数式有意义，则需要，∴x≥1，B符合；
C：代数式有意义，则需要x-2≠0，且x-1≥0，∴x≥1且x≠2 ，C不符合；
D：代数式有意义，则需要，且x-1≠0，∴x>1，D不符合。
故答案为：B
5．若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
6．如果代数式 + 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】∵代数式 +有意义，
∴a≥0且ab＞0，
解得a＞0且b＞0．
∴直角坐标系中点A（a，b)的位置在第一象限．
故选A．
7．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【解析】原式=
=
∵，5=，6=，且，
∴
∴的值在5和6之间.
故答案为：B.
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵
∴
∴
故答案为：A.
9．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
10．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式= ．
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算： = .
【答案】2
【解析】原式=3-1=2.
故答案为：2.
12．对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
【答案】
【解析】根据题意可得：
，
故答案为：.
13．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ．
【答案】3
【解析】化简得，，
∵是整数，n是整数，
∴n取最小值3时，=9，
故答案为：3.
14．已知， ，当x分别取1，2，3，…，2024时，所对应的y值的总和是 .
【答案】2030
【解析】由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：= = ；
故答案为：2030.
15．已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
【答案】2.5
【解析】因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ．
把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5．
所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．
16．已知是正整数，是整数，则的最小值是2．那么若是正整数，是大于1的整数，则的最大值与最小值的差是 ．
【答案】
【解析】∵，
又∵是正整数，是大于1的整数，
∴当b=15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，
当b=60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，
∴的最大值与最小值的差是60-15=45，
故答案为：45.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）()2； （2）()()；
（3）； （4）．
【答案】（1）
（2）= =
（3）=9+ =8-12+9+ =5+．
（4）(2+)(1-)= (1+1+)(1-)=(1-)+(1+)(1-)= 1-+1-=-3-．
18．已知x=2+ ，y=2- ，求下列式子的值：
（1）x2-y2；
（2）x2y-xy2 ；
（3）x2 +y2 +3xy．
【答案】（1）∵x=2+ ，y=2-．∴x+y=4，xy=1，x-y=2，∴x2-y2=(x+y)(x-y)=4×2=8
（2）x2y-xy2 =xy(x-y)= 1×2=2．
（3）x2+y2 +3xy=(x+y)2+xy=42+1=17
19．阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
．
∴．
这种方法称为“构造对偶式”
已知．求的值．
【答案】由题意得：
；
∵，
∴；
20．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根；
（2）若，的算术平方根是5，求的平方根．
【答案】（1）解：由题意知，，
∴，，∴，，∴，
∴的立方根为；
（2）解：由，解得，∴．
∵的算术平方根是5，∴，
∴，
∴的平方根为．
21．（1）如图，若图中小正方形的边长均为1，则△ABC的面积为
（2）思考(1)的解题过程，解决下面的问题：
若，，(其中a，b均为正数)是一个三角形的三条边长，求此三角形的面积．
【答案】（1）
（2）构造如图所示的长方形。
设每个单位长方形的长为b．宽为a，
则AB=，AC= ，BC= ．
则△ABC的面积等于大长方形面积与三个直角三角形面积之差，
故S△ABC=5a×2b- ×3a×b-×5a×b- ×2a×25=4ab．
22．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，）
（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
【答案】（1）解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3m，
∴，
∴，
∴该物品落地的时间为
（2）解：该玩具最低的下落高度为，
∴．
∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
23．观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题：
（1）按照这个规律，写出第④个式子： ；
（2）若式子（为正整数）符合以上规律，则 ；
（3）请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律： ；
（4）请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．
【答案】（1）
（2）4
（3）
（4）解：当时，有．
左边右边．
左边=右边．
当n=20时，对应的式子是正确的．
【解析】（1）根据前边几个式子的规律，可知第④个式子为：
，即；
故第一空答案为：；
24．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成 ，开方，从而使得 化简.
例如：化简
解：∵
∴
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ ，5）的“横负纵变点”为（ ， ）.
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（ ， ）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（ ），点M（ ，m）且 ，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标.
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴
=== ，
∴ ，
∵ ，∴
【解析】（1）∵ ，
∴点 的“横负纵变点”为 ；
故答案为： ；
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浙教版2023-2024学年八下数学第1章二次根式 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x>－1 C．x≥－1 D．x>1
2．下列根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是的选项是（ ）
A． B． C． D．
5．若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
6．如果代数式 + 有意义，那么直角坐标系中点A（a，b）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
8．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．设等式 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算： = .
12．对于任意两个不相等的正数，，定义一种运算，，例如，则 ．
13．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 ．
14．已知， ，当x分别取1，2，3，…，2024时，所对应的y值的总和是 .
15．已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 .
16．已知是正整数，是整数，则的最小值是2．那么若是正整数，是大于1的整数，则的最大值与最小值的差是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）()2； （2）()()；
（3）； （4）．
18．已知x=2+ ，y=2- ，求下列式子的值：
（1）x2-y2；（2）x2y-xy2 ；（3）x2 +y2 +3xy．
19．阅读材料，解答下列问题：
材料：已知，求的值．
李聪同学是这样解答的：
∵
．
∴．
这种方法称为“构造对偶式”
已知．求的值．
20．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根；
（2）若，的算术平方根是5，求的平方根．
21．（1）如图，若图中小正方形的边长均为1，则△ABC的面积为
（2）思考(1)的解题过程，解决下面的问题：
若，，(其中a，b均为正数)是一个三角形的三条边长，求此三角形的面积．
22．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，）
（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
23．观察下列含有规律的式子：①．，②．，③．，…根据你发现的规律，完成下面各题：
（1）按照这个规律，写出第④个式子： ；
（2）若式子（为正整数）符合以上规律，则 ；
（3）请你用含有正整数的式子，表示出你所发现的规律： ；
（4）请你通过计算，验证：当时，对应的式子是正确的．
24．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 进行化简，若能找到两个数m、n，是 且 ，则把 变成 ，开方，从而使得 化简.
例如：化简
解：∵
∴
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ ，5）的“横负纵变点”为（ ， ）.
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点（ ， ）的“横负纵变点”为 ；
（2）化简： ；
（3）已知a为常数（ ），点M（ ，m）且 ，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标.
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