2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练
一、选择题
1．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OB=OC B．OD=OF C．BD=DC D．OA=OB=OC
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵OB是∠ABC的平分线，
OD=OF，
∵OD是BC的垂直平分线，
OB=OC， BD=DC，
不一定垂直平分AC，
∴. OA=OC不成立
∴OA=OB=OC不成立
故答案为：D
【分析】根据角平分线的性质，可知OD=OF，再利用垂直平分线的性质，可证得OB=OC， BD=DC，点O不一定在AC的垂直平分线上，因此OA=OB=OC不成立，可得出答案。
2．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）下面说法中错误的是（ ）
A．有两个角和任一个角的对边对应相等的三角形全等
B．有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．两个等边三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、有两个角和任一个角的对边对应相等的三角形全等，符合AAS，故不符合题意；
B、有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合AAS或ASA，故不符合题意；
C、这两个等边三角形的边不一定相等，故符合题意；
D、符合SSS，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】全等三角形的判定定理有：AAS、ASA、SAS、SSS，利用判定定理对各选项逐一判断。
3．（2017七下·高台期末）如图：AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，则还需添加的一个条件有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】添加的条件可以为：
∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A′C′，共3种．
若添加∠B=∠B′，
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）；
若添加∠C=∠C′，
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）；
若添加AC=A′C′，
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
故答案为：C
【分析】本题要证明△ABC≌△A′B′C′，已知了AB=A′B′，∠A=∠A′，可用的判别方法有ASA，AAS，及SAS，所以可添加一对角∠B=∠B′，或∠C=∠C′，或一对边AC=A′C′，分别由已知与所添的条件即可得证.
4．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，
满足条件的有：
（ 1 ）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（ 2 ）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故答案为：D．
【分析】抓住已知条件：现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等。因此根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知三角形两个内角平分线的交点，共一处；三个外角两两平分线的交点，共三处。可得出答案。
5．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了。（ ）
A．带其中的任意两块 B．带1，4或3，4就可以了
C．带1，4或2，4就可以了 D．带1，4或2，4或3，4均可
【答案】D
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边（AAS），同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故答案为：D．
【分析】观察图形，可知利用全等三角形的判定方法：ASA，可得出答案。
二、填空题
6．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作EG⊥OA于G，
∵EF∥OB，
∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，
∴∠EFG=15°+15°=30°，
∵EG=CE=1，
∴EF=2×1=2．
故答案为2．
【分析】抓住已知条件：∠AOE=∠BOE，EC⊥OB，因此添加辅助线：作EG⊥OA于G，利用角平分线的性质可知CE=GE，再利用平行线的性质及已知求出∠EFG的度数，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EF的长。
7．（2017八上·汉滨期中）如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“AAS”需要添加条件 ．
【答案】∠B=∠C
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：添加条件：∠B=∠C；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
故答案为：∠B=∠C．
【分析】首先根据AD平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD，再加上公共边AD=AD，还缺少一个角相等的条件，因此可添加∠B=∠C．
8．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图中的△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠到的．则图中（包括虚，实线）共有 对全等三角形．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】如图，设BC′与AD的交点为P
①△ABD≌△CBD
∵ABCD是矩形
∴AB=DC，AD=BC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD；
②△BDC′≌△BDC
∵BC=BC′，∠CBD=∠C′BD，BD=BD
∴△BDC′≌△BDC；
③△BDC′≌△DBA
∵△ABD≌△CBD，△BDC′≌△BDC
∴△BDC′≌△DBA；
④△APB≌△C′PD
∵∠A=∠C′，∠APB=∠C′PD，AB=C′D，
∴△APB≌△C′PD．
∴图中（包括虚，实线）共有4对全等三角形．
故填4．
【分析】设BC′与AD的交点为P，利用矩形的性质及全等三角形的判定定理，易证△ABD≌△CBD；再根据折叠的性质，可得出△BDC′≌△BDC；从而可证得△BDC′≌△DBA；然后利用AAS可证△APB≌△C′PD，从而可得出全等三角形的对数。
9．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）1、下列能判断两个三个角形全等的条件是
①已知两角及一边对应相等
②已知两边及一角对应相等
③已知三条边对应相等
④已知直角三角形一锐角及一边对应相等
⑤已知三个角对应相等．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
已知两角及一边对应相等，符合AAS或ASA，能判断两三角形全等，∴①正确；
根据已知两边及一角对应相等不能推出两三角形全等，∴②错误；
已知三条边对应相等，符合SSS，能判断两三角形全等，∴③正确；
已知直角三角形一锐角及一边对应相等，符合AAS或ASA，能推出两直角三角形全等，∴④正确；
根据已知三个角对应相等不能推出两三角形全等，如大、小三角板，∴⑤错误；
故答案为：①③④．
【分析】全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形HL，对各小题逐一判断，可得出答案。
10．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）下列关于两个三角形全等的说法：①面积相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤腰相等的两个等腰三角形一定全等．其中说法正确的是 ．（填写序号）
【答案】②③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵如：在△ABC中，AB=2，AB边上的高是3，则△ABC的面积是3，在△DEF中，DE=3，AB边上的高是2，则△DEF的面积是3，
但是△ABC和△DEF不全等，∴①错误；
∵根据全等三角形的判定定理SSS可以推出两三角形全等，∴②正确；
∵根据全等三角形的判定定理AAS可以推出两三角形全等，∴③正确；
如图，
已知AD=AC，AB=AB，∠B=∠B，
但是△ABD和△ABC不全等，∴④错误；
∵如图，
等腰三角形ACB和等腰三角形DEF，AB=AC=DE=DF，
但是两三角形不全等，∴⑤错误；
故答案为：②③．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，利用定理逐一判断，也可以列举反例进行判断。
三、证明题
11．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）已知：如图，E、F是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，∠C=∠D；求证：CF=DE。
【答案】证明：∵AC∥BD ∴∠A=∠B∵AE=BF ∴AE+EF=BF+EF，即 AF=BE在△ACF和△BDE中∴△ACF≌△BDE(AAS)∴CE=CF
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质证明∠A=∠B，再根据AE=BF，可证得AF=BE，利用AAS证明△ACF≌△BDE，然后利用全等三角形的性质可证得结论。
12．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF。
求证：AD平分∠BAC。
【答案】证明：∵D是BC的中点∴BD=CD，又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∵点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC。
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】利用线段中点的定义得出BD=CD，再利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得出DE=DF，然后利用角平分线的判定，可证得结论。
四、探究题
13．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥CE，AE⊥CE，垂足分别为D、E，猜想图中线段DE、AE、DB之间的关系，并说明理由．
【答案】解：DE+AE=DB∵∠ACB=90°，BD⊥CE∴∠ACE+∠ECB=90°，∠ECB+∠CBD=90°∴∠ACE=∠CBD又∵AE⊥CE∴∠AEC=90°在Rt△AEC和Rt△CDB中∠AEC=∠CDB=90°，∠ACE=∠CBD ，AC=BC，∴Rt△AEC≌Rt△CDB∴AE=CD，EC=DB又∵DE+DC=EC∴DE+AE=DB．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直的定义证明∠AEC=∠CDB，利用同角的余角相等，可证得∠ACE=∠CBD，再根据AAS证明是△AEC≌△CDB，可得出AE=CD、EC=DB，就可证得结论。
1 / 12018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练
一、选择题
1．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，在△ABC中，点O是∠ABC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．OB=OC B．OD=OF C．BD=DC D．OA=OB=OC
2．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）下面说法中错误的是（ ）
A．有两个角和任一个角的对边对应相等的三角形全等
B．有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．两个等边三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
3．（2017七下·高台期末）如图：AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，则还需添加的一个条件有（ ）种．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
5．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了。（ ）
A．带其中的任意两块 B．带1，4或3，4就可以了
C．带1，4或2，4就可以了 D．带1，4或2，4或3，4均可
二、填空题
6．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．
7．（2017八上·汉滨期中）如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“AAS”需要添加条件 ．
8．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图中的△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠到的．则图中（包括虚，实线）共有 对全等三角形．
9．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）1、下列能判断两个三个角形全等的条件是
①已知两角及一边对应相等
②已知两边及一角对应相等
③已知三条边对应相等
④已知直角三角形一锐角及一边对应相等
⑤已知三个角对应相等．
10．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）下列关于两个三角形全等的说法：①面积相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤腰相等的两个等腰三角形一定全等．其中说法正确的是 ．（填写序号）
三、证明题
11．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）已知：如图，E、F是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，∠C=∠D；求证：CF=DE。
12．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF。
求证：AD平分∠BAC。
四、探究题
13．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册1.5三角形全等的判定（4） 同步训练）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥CE，AE⊥CE，垂足分别为D、E，猜想图中线段DE、AE、DB之间的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵OB是∠ABC的平分线，
OD=OF，
∵OD是BC的垂直平分线，
OB=OC， BD=DC，
不一定垂直平分AC，
∴. OA=OC不成立
∴OA=OB=OC不成立
故答案为：D
【分析】根据角平分线的性质，可知OD=OF，再利用垂直平分线的性质，可证得OB=OC， BD=DC，点O不一定在AC的垂直平分线上，因此OA=OB=OC不成立，可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、有两个角和任一个角的对边对应相等的三角形全等，符合AAS，故不符合题意；
B、有一个锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合AAS或ASA，故不符合题意；
C、这两个等边三角形的边不一定相等，故符合题意；
D、符合SSS，故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】全等三角形的判定定理有：AAS、ASA、SAS、SSS，利用判定定理对各选项逐一判断。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】添加的条件可以为：
∠B=∠B′；∠C=∠C′；AC=A′C′，共3种．
若添加∠B=∠B′，
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）；
若添加∠C=∠C′，
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）；
若添加AC=A′C′，
证明：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
故答案为：C
【分析】本题要证明△ABC≌△A′B′C′，已知了AB=A′B′，∠A=∠A′，可用的判别方法有ASA，AAS，及SAS，所以可添加一对角∠B=∠B′，或∠C=∠C′，或一对边AC=A′C′，分别由已知与所添的条件即可得证.
4．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，
满足条件的有：
（ 1 ）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（ 2 ）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故答案为：D．
【分析】抓住已知条件：现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等。因此根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可知三角形两个内角平分线的交点，共一处；三个外角两两平分线的交点，共三处。可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边（AAS），同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故答案为：D．
【分析】观察图形，可知利用全等三角形的判定方法：ASA，可得出答案。
6．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作EG⊥OA于G，
∵EF∥OB，
∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，
∴∠EFG=15°+15°=30°，
∵EG=CE=1，
∴EF=2×1=2．
故答案为2．
【分析】抓住已知条件：∠AOE=∠BOE，EC⊥OB，因此添加辅助线：作EG⊥OA于G，利用角平分线的性质可知CE=GE，再利用平行线的性质及已知求出∠EFG的度数，然后利用30°所对的直角边等于斜边的一半，可求出EF的长。
7．【答案】∠B=∠C
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：添加条件：∠B=∠C；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
故答案为：∠B=∠C．
【分析】首先根据AD平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD，再加上公共边AD=AD，还缺少一个角相等的条件，因此可添加∠B=∠C．
8．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】如图，设BC′与AD的交点为P
①△ABD≌△CBD
∵ABCD是矩形
∴AB=DC，AD=BC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD；
②△BDC′≌△BDC
∵BC=BC′，∠CBD=∠C′BD，BD=BD
∴△BDC′≌△BDC；
③△BDC′≌△DBA
∵△ABD≌△CBD，△BDC′≌△BDC
∴△BDC′≌△DBA；
④△APB≌△C′PD
∵∠A=∠C′，∠APB=∠C′PD，AB=C′D，
∴△APB≌△C′PD．
∴图中（包括虚，实线）共有4对全等三角形．
故填4．
【分析】设BC′与AD的交点为P，利用矩形的性质及全等三角形的判定定理，易证△ABD≌△CBD；再根据折叠的性质，可得出△BDC′≌△BDC；从而可证得△BDC′≌△DBA；然后利用AAS可证△APB≌△C′PD，从而可得出全等三角形的对数。
9．【答案】①③④
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
已知两角及一边对应相等，符合AAS或ASA，能判断两三角形全等，∴①正确；
根据已知两边及一角对应相等不能推出两三角形全等，∴②错误；
已知三条边对应相等，符合SSS，能判断两三角形全等，∴③正确；
已知直角三角形一锐角及一边对应相等，符合AAS或ASA，能推出两直角三角形全等，∴④正确；
根据已知三个角对应相等不能推出两三角形全等，如大、小三角板，∴⑤错误；
故答案为：①③④．
【分析】全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形HL，对各小题逐一判断，可得出答案。
10．【答案】②③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】∵如：在△ABC中，AB=2，AB边上的高是3，则△ABC的面积是3，在△DEF中，DE=3，AB边上的高是2，则△DEF的面积是3，
但是△ABC和△DEF不全等，∴①错误；
∵根据全等三角形的判定定理SSS可以推出两三角形全等，∴②正确；
∵根据全等三角形的判定定理AAS可以推出两三角形全等，∴③正确；
如图，
已知AD=AC，AB=AB，∠B=∠B，
但是△ABD和△ABC不全等，∴④错误；
∵如图，
等腰三角形ACB和等腰三角形DEF，AB=AC=DE=DF，
但是两三角形不全等，∴⑤错误；
故答案为：②③．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS、ASA、AAS、SSS，利用定理逐一判断，也可以列举反例进行判断。
11．【答案】证明：∵AC∥BD ∴∠A=∠B∵AE=BF ∴AE+EF=BF+EF，即 AF=BE在△ACF和△BDE中∴△ACF≌△BDE(AAS)∴CE=CF
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质证明∠A=∠B，再根据AE=BF，可证得AF=BE，利用AAS证明△ACF≌△BDE，然后利用全等三角形的性质可证得结论。
12．【答案】证明：∵D是BC的中点∴BD=CD，又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∵点D在∠BAC的平分线上，∴AD平分∠BAC。
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】利用线段中点的定义得出BD=CD，再利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得出DE=DF，然后利用角平分线的判定，可证得结论。
13．【答案】解：DE+AE=DB∵∠ACB=90°，BD⊥CE∴∠ACE+∠ECB=90°，∠ECB+∠CBD=90°∴∠ACE=∠CBD又∵AE⊥CE∴∠AEC=90°在Rt△AEC和Rt△CDB中∠AEC=∠CDB=90°，∠ACE=∠CBD ，AC=BC，∴Rt△AEC≌Rt△CDB∴AE=CD，EC=DB又∵DE+DC=EC∴DE+AE=DB．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据垂直的定义证明∠AEC=∠CDB，利用同角的余角相等，可证得∠ACE=∠CBD，再根据AAS证明是△AEC≌△CDB，可得出AE=CD、EC=DB，就可证得结论。
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