【精品解析】2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用(1) 同步练习

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名称 【精品解析】2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用(1) 同步练习
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科目 数学
更新时间 2018-08-25 08:36:05

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2018-2019学年数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用(1) 同步练习
一、选择题
1.如图,从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1m,离地面m,则水流落地点B离墙的距离OB是(  )
A.2m B.3m C.4m D.5m
2.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图,在所给出的平面直角坐标系中,当水位在AB位置时,水面宽度为10m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线的函数关系式为(  )
A.y= B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=
3.(2017九上·邗江期末)如图,在宽为20米,长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分种植草坪,要使草坪的面积为540平方米,设道路的宽为x米,则下列方程正确的是(  )
A.32×20﹣20x﹣30x=540 B.32×20﹣20x﹣30x﹣x2=540
C.(32﹣x)(20﹣x)=540 D.32×20﹣20x﹣30x+2x2=540
4.如图,一边靠校园围墙,其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB为x米,面积为S平方米,要使矩形ABCD面积最大,则x的长为(  )
A.10米 B.15米 C.20米 D.25米
5.如图所示是二次函数y= 的图象在x轴上方的一部分,对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积,你认为可能的值是(  )
A.4 B. C.2π D.8
6.将抛物线 向右平移 个单位,再向下平移 个单位,得到抛物线 , 与 轴交于 、 两点, 的顶点记为 ,则 的面积为(  ).
A. B. C. D.
7.(2017·瑞安模拟)如图,已知等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=1,在BC的延长线上任取一点P,过点P作PD⊥BC,使得PD=2PC,则当点P在BC延长线上向左移动时,△ABD的面积大小变化情况是(  )
A.一直变大 B.一直变小
C.先变小再变大 D.先变大再变小
8.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为(  )
A.14 B.11 C.6 D.3
二、填空题
9.用 的铁丝所围的长方形的面积 与长 的关系   .
10.如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间,按相同间隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为   米.
11.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A在y轴正半轴上,顶点C在x轴正半轴上,抛物线 (a<0)的顶点为D,且经过点A、B.若△ABD为等腰直角三角形,则a的值为   .
12.如图,抛物线 与 轴交于点 ,过点 与 轴平行的直线交抛物线 于点 、 ,则线段 的长为   .
13.如图,菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线 上,其中点O为坐标原点,对角线OB在y轴上,且OB=2.则菱形OABC的面积是   .
14.如图,线段 的长为2, 为 上一个动点,分别以 、 为斜边在 的同侧作两个等腰直角三角形 和 ,那么 长的最小值是   .
三、解答题
15.某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示,单位:m.)
现在其中修建一条观花道(图中阴影部分)供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)若改造后观花道的面积为13m2,求x的值;
(3)若要求 0.5≤ x ≤1,求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
16.有一座抛物线拱型桥,在正常水位时,水面BC的宽为10米,拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米,点O是BC的中点,如图,以点O为原点,直线BC为x,建立直角坐标xOy.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如果水面BC上升3米 即 至水面EF,点E在点F的左侧,求水面宽度EF的长.
17.甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品.图①中折线ABC表示甲公司销售价y1(元/千克)与销售量x(千克)之间的函数关系,图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2(元)与销售量x(千克)之间的函数关系.
(1)分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式;
(2)当该产品销售量为多少千克时,甲、乙两公司获得的利润的差最大?最大值为多少?
18.(2018·亭湖模拟)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥(如图 ),水面宽 时,水面离桥孔顶部 ,因降暴雨水面上升 .
(1)建立适当的坐标系,并求暴雨后水面的宽;(结果保留根号)
(2)一艘装满物资的小船,露出水面的部分高为 ,宽 (横断面如图 所示),暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗
19.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的,为牢固起见,每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管(如图)做成立柱,为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设计人员测得如图所示的数据.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)计算所需不锈钢管的总长度.
答案解析部分
1.【答案】B
【解析】【解答】解:设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+,由题意,得
10=a+,
a=﹣.
∴抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣1)2+.
当y=0时,
0=﹣(x﹣1)2+,
解得:x1=﹣1(舍去),x2=3.
OB=3m.
故选:B.
【分析】由题意可以知道M(1,),A(0,10)用待定系数法就可以求出抛物线的解析式,当y=0时就可以求出x的值,这样就可以求出OB的值.
2.【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】如图,由题意可设抛物线的解析式为 ,
∵由题意可知点A、B的坐标分别为(-5,-4)、(5,-4),且抛物线过点A、B,
∴ ,解得: ,
∴抛物线的解析式为: 2.
故选C.
【分析】抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,因此设y=ax2,把点A或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式。
3.【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解:设道路的宽为x,根据题意得(32﹣x)(20﹣x)=540,
故选C
【分析】设道路的宽为x,利用“道路的面积”作为相等关系可列方程解答即可.
4.【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形ABCD的边AB为x米,则宽为40-2x,
S=(40-2x)x= -2x2+40x.
要使矩形ABCD面积最大,

即x的长为10m.
故选A.
【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好,如y= -x2-2x+5,y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单.
5.【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】函数与y轴交于(0,2)点,与x轴交于(-2,0)和(2,0)两点,
则三点构成的三角形面积S1=4,
则以半径为2的半圆的面积为S2=π× ×22=2π,
则阴影部分的面积S有:4<S<2π.
因为选项A、C、D均不在S取值范围内.
故选 B
【分析】此题不能直接求出面积,观察图像,求出抛物线与两坐标轴的交点坐标,再求出这三点构成的三角形的面积,再求出以2为半径的半圆的面积,就可得出阴影部分的面积S的取值范围,然后利用排除法可得出答案。
6.【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数y=a(x-h)^2+k的性质;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】根据题意可得,抛物线 的解析式为:
解得:

故选A.
【分析】由y = x 2 向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位,可知平移后的抛物线的顶点坐标为(2,-1),a=1,就可得出平移后的抛物线的解析式,再由y=0,求出点A、B的坐标,就可得出AB的长,再利用三角形的面积公式可解答。
7.【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解:当BD与AC的交点在线段AC上时,如图1所示,
设PC=x,则PD=2x,PB=x+1,
则S△ABD=S梯形ADPC+S△ACB﹣S△PBD= = ,
∴△ABD的面积随x的增大而减小;
当BD与AC的交点在线段CA的延长线上时,如图2所示,
设PC=x,则PD=2x,PB=x+1,
∵△BCE∽△BPD,
∴ ,
即 ,
∴CE= ,
∴AE= ,
∴△ABD的面积是: = ,
∴△ABD的面积随x的增大而增大,
由上可得,△ABD的面积随x的增大先变小后变大,
故选C.
【分析】根据题意和函数图象可以得到ABD的面积大小变化情况,从而可以解答本题.
8.【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵ ,
∴在坐标系中,该二次函数图象的顶点D的坐标为(1,6),
设此时点A、B的坐标分别为 ,则由题意可知,AB= ,而 是关于x的一元二次方程 的解,
∴ ,
∴ ,
又∵AB= =4,
∴ ,解得: ,
∴点A、B的纵坐标为14,
∴DC=14-6=8,
又∵DE=3,
∴CE=DC+DE=11.
故选B.
【分析】利用二次函数解析式求出顶点D的坐标,设此时点A、B的坐标分别为 ( x 1 , m ) 、 ( x 2 , m ) ,利用根与系数的关系及AB=4,可求出点A、B的纵坐标为14,再由DE=3,求出CE的长。
9.【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】 .
故答案为:
【分析】由题意可知:长方形的周长=20,长方形的面积S=长×宽,列出函数解析式。
10.【答案】0.2
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】如图,以C坐标系的原点,OC所在直线为y轴建立坐标系,
设抛物线解析式为y=ax2,
由题知,图象过B(0.6,0.36),
代入得:0.36=0.36a
∴a=1,即y=x2.
∵F点横坐标为﹣0.4,
∴当x=﹣0.4时,y=0.16,
∴EF=0.36﹣0.16=0.2米
故答案为0.2.
【分析】以C坐标系的原点,OC所在直线为y轴建立坐标系,可知此函数是形如y=ax2的形式,再求出点B的坐标,代入求出a的值,然后求出当x=-0.4时y的值,然后求出E、F两点的纵坐标差的绝对值,就可得出EF的长。
11.【答案】-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】抛物线 的对称轴方程为
即点 的横坐标为1,
△ABD为等腰直角三角形,则点 的横坐标为2,正方形的边长为2,

代入抛物线解析式得: 解得:
故答案为:
【分析】观察函数图象,可知此函数是形如y=a(x-h)2+k的形式,根据函数解析式,可得出对称轴,就可得出AB的长,从而得出正方形的边长,再由△ABD是等腰直角三角形,就可求出点A、D的坐标,利用待定系数法求出a的值。
12.【答案】1
【知识点】二次函数y=ax^2的性质;二次函数y=a(x-h)^2+k的性质
【解析】【解答】由题意得A(0,1),
所以直线BC是y=1,与抛物线 联立知,
B(- ,1),C( ,1),
故BC=1.
故答案为1.
【分析】先求出抛物线y=ax2+1与y轴的交点坐标,就可得出点B、C的纵坐标,将y=1代入y = 4x2,求出x的值,就可得出点B、C的坐标,再求出点B、C的横坐标之差的绝对值,就可得出BC的长。
13.【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线 上,对角线OB在y轴上,且OB=2,
∴由题意可得:A,C点纵坐标为1,故1= ,
解得:x=± ,故A( ,1),C(﹣ ,1),
故菱形OABC的面积是:2×( ×2× )= .
故答案为: .
【分析】利用菱形的性质及OB=2,可得出点A、C的纵坐标为1,将y=1代入函数解析式求出对应的x的值,就可得出点A、C的坐标,再求出AC的长,然后利用菱形的面积=两对角线之积的一半,可求解。
14.【答案】
【知识点】二次函数的最值;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设AC=x,则BC=2-x,
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形,
∴∠DCA=45°,∠ECB=45°,DC= x,CE= (2-x),
∴∠DCE=90°,
故DE2=DC2+CE2= x2+ (2-x)2=x2-2x+2=(x-1)2+1,
当x=1时,DE2取得最小值,DE也取得最小值,最小值为1,
故答案为:1.
【分析】设AC=x,则BC=2-x,用含x的代数式分别表示出DC、CE的长,再在Rt△DCE中,利用勾股定理,可求出DE2与x的函数解析式,可知DE2是x的二次函数,配成顶点式,利用二次函数的性质可解答。
15.【答案】(1)解:y=2×(8-x)(6-x)=x2-14x+48
(2)解:由题意,得x-14x+48=6×8-13,
解得:x=1,x:=13(舍去).
所以x=1
(3)解:y=x2-14x+48=(x-7)2-1
因为a=1>0,所以函数图象开口同上,当x<7时,y随x的增大而减小
所以当x=0.5时,y最大.最大值为41.25
答:改造后油菜花地所占面积的最大值为41.25m3
【知识点】二次函数y=a(x-h)^2+k的性质;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)观察图形结合已知,可得出y=两个三角形的面积之和,列出函数解析式即可。
(2)由y=13,建立关于x的一元二次方程,求解可得出符合题意的x的值。
(3)将(1)中的函数解析式化为顶点式,根据二次函数的性质及0.5≤ x ≤1,求出改造后剩余油菜花地所占面积的最大值。
16.【答案】(1)解:设抛物线解析式为: ,由题意可得图象经过 , ,
则 ,
解得: ,
故抛物线解析为:
(2)解:由题意可得: 时,
解得: ,
故EF ,
答:水面宽度EF的长为5m.
【知识点】二次函数y=a(x-h)^2+k的性质;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)观察图像,可得出此二次函数是形如y=ax2+c的形式,再利用待定系数法,将(5,0)、(0,4)代入解析式求出二次函数解析式即可。
(2)要求EF的长,由y=0代入函数解析式求出点E、F的坐标,再求出点E、F的横坐标的差的绝对值,即可解答。
17.【答案】(1)解:设y1与x之间的函数表达式为y1=kx+b.
根据题意,当x=0时,y1=120;当x=80时,y1=72.
所以 ,解得
所以,y1与x之间的函数表达式为y1=-0.6x+120.
设y2与x之间的函数表达式为y2=a(x―75)2+2250,
当x=0时,y2=0,解得a=―0.4.
所以,y2与x之间的函数表达式为y2=―0.4(x―75)2+2250.
(2)解:设甲、乙两公司的销售总利润的差为w(元).当0<x≤80时,
w=(y1-40)x―y2= (-0.6x+120―40)x-[(-0.4(x―75)2+2250]
=-0.2x2+20x=-0.2(x-50)2+500.
∵-0.2<0,0<x≤80
∴当x=50时, w有最大值,最大值为500.
当80<x≤84时,
w=(72―40)x―[―0.4(x―75)2+2250]=0.4x2―28x,
∵当80<x≤84时,w随x的增大而增大,
∴当x=84时, 有最大值,最大值为470.4.
综上所述,当销售量为50千克时,甲乙两公司获得的利润的差最大,最大是500元.
【知识点】二次函数y=a(x-h)^2+k的图象;二次函数y=a(x-h)^2+k的性质;二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)分别观察两函数图象所经过的点的坐标,利用待定系数法分别求出两函数解析式。
(2)甲、乙两公司的销售总利润的差为w(元),根据w=(y1-40)x―y2,列出w与x的函数解析式,利用二次函数的性质,结合自变量的取值范围,可求出甲、乙两公司获得的利润的差的最大值。
18.【答案】(1)解:如图,以抛物线的顶点为原点,以桥面为 轴,建立平面直角坐标系,由题意可知抛物线过点 ,设抛物线的函数表达式为: .把 代入 ,可求 ,则抛物线对应的函数表达式为 .
当水面上涨 米后,水面所在的位置为直线 ,
令 得,则 ,解得: , ,
∴此时水面宽为为: (米)
(2)解:由题意 :当船在桥拱的正中心航行时,船的边缘距抛物线对称轴水平距离为 米,在 中,令 得, ,
∵船上货物最高点距拱顶为: (米)且 ,
∴这艘船能从这座拱桥下通过.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】(1)建立适当的直角坐标系,利用待定系数法求出函数解析式,再根据水面上升 1 m ,求出此时的函数值,将此函数值代入解析式求出对应的自变量的值,然后求出它们的差的绝对值,即可求解。
(2)根据小船宽4米,可得出船的边缘距抛物线对称轴水平距离为2米,将x=2代入解析式求出y的值,再根据小船露出水面的部分高为 0.5 m,求出船上货物最高点距拱顶的距离,再比较大小即可判断。
19.【答案】(1)解:由题意得B(0,0.5)、C(1,0)设抛物线的解析式为:y=ax2+c代入得a=﹣0.5,c=0.5,
故解析式为y=﹣0.5x2+0.5
(2)解:如图1所示:∵当x=0.2时,y=0.48,当x=0.6时,y=0.32,∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×(0.48+0.32)=1.6米
∴所需不锈钢管的总长度为:1.6×50=80米.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】(1)根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式,结合图象易求B点和C点坐标,代入解析式解方程组求出a,c的值,可得解析式。
(2)根据对称性求B3、B4的纵坐标后,再求出总长度。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册1.4 二次函数的应用(1) 同步练习
一、选择题
1.如图,从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1m,离地面m,则水流落地点B离墙的距离OB是(  )
A.2m B.3m C.4m D.5m
【答案】B
【解析】【解答】解:设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+,由题意,得
10=a+,
a=﹣.
∴抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣1)2+.
当y=0时,
0=﹣(x﹣1)2+,
解得:x1=﹣1(舍去),x2=3.
OB=3m.
故选:B.
【分析】由题意可以知道M(1,),A(0,10)用待定系数法就可以求出抛物线的解析式,当y=0时就可以求出x的值,这样就可以求出OB的值.
2.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图,在所给出的平面直角坐标系中,当水位在AB位置时,水面宽度为10m,此时水面到桥拱的距离是4m,则抛物线的函数关系式为(  )
A.y= B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】如图,由题意可设抛物线的解析式为 ,
∵由题意可知点A、B的坐标分别为(-5,-4)、(5,-4),且抛物线过点A、B,
∴ ,解得: ,
∴抛物线的解析式为: 2.
故选C.
【分析】抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,因此设y=ax2,把点A或点B的坐标代入即可确定抛物线解析式。
3.(2017九上·邗江期末)如图,在宽为20米,长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分种植草坪,要使草坪的面积为540平方米,设道路的宽为x米,则下列方程正确的是(  )
A.32×20﹣20x﹣30x=540 B.32×20﹣20x﹣30x﹣x2=540
C.(32﹣x)(20﹣x)=540 D.32×20﹣20x﹣30x+2x2=540
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解:设道路的宽为x,根据题意得(32﹣x)(20﹣x)=540,
故选C
【分析】设道路的宽为x,利用“道路的面积”作为相等关系可列方程解答即可.
4.如图,一边靠校园围墙,其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB为x米,面积为S平方米,要使矩形ABCD面积最大,则x的长为(  )
A.10米 B.15米 C.20米 D.25米
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设矩形ABCD的边AB为x米,则宽为40-2x,
S=(40-2x)x= -2x2+40x.
要使矩形ABCD面积最大,

即x的长为10m.
故选A.
【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好,如y= -x2-2x+5,y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单.
5.如图所示是二次函数y= 的图象在x轴上方的一部分,对于这段图象与x轴所围成的阴影部分的面积,你认为可能的值是(  )
A.4 B. C.2π D.8
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】函数与y轴交于(0,2)点,与x轴交于(-2,0)和(2,0)两点,
则三点构成的三角形面积S1=4,
则以半径为2的半圆的面积为S2=π× ×22=2π,
则阴影部分的面积S有:4<S<2π.
因为选项A、C、D均不在S取值范围内.
故选 B
【分析】此题不能直接求出面积,观察图像,求出抛物线与两坐标轴的交点坐标,再求出这三点构成的三角形的面积,再求出以2为半径的半圆的面积,就可得出阴影部分的面积S的取值范围,然后利用排除法可得出答案。
6.将抛物线 向右平移 个单位,再向下平移 个单位,得到抛物线 , 与 轴交于 、 两点, 的顶点记为 ,则 的面积为(  ).
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换;二次函数y=a(x-h)^2+k的性质;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】根据题意可得,抛物线 的解析式为:
解得:

故选A.
【分析】由y = x 2 向右平移 2 个单位,再向下平移 1 个单位,可知平移后的抛物线的顶点坐标为(2,-1),a=1,就可得出平移后的抛物线的解析式,再由y=0,求出点A、B的坐标,就可得出AB的长,再利用三角形的面积公式可解答。
7.(2017·瑞安模拟)如图,已知等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=1,在BC的延长线上任取一点P,过点P作PD⊥BC,使得PD=2PC,则当点P在BC延长线上向左移动时,△ABD的面积大小变化情况是(  )
A.一直变大 B.一直变小
C.先变小再变大 D.先变大再变小
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解:当BD与AC的交点在线段AC上时,如图1所示,
设PC=x,则PD=2x,PB=x+1,
则S△ABD=S梯形ADPC+S△ACB﹣S△PBD= = ,
∴△ABD的面积随x的增大而减小;
当BD与AC的交点在线段CA的延长线上时,如图2所示,
设PC=x,则PD=2x,PB=x+1,
∵△BCE∽△BPD,
∴ ,
即 ,
∴CE= ,
∴AE= ,
∴△ABD的面积是: = ,
∴△ABD的面积随x的增大而增大,
由上可得,△ABD的面积随x的增大先变小后变大,
故选C.
【分析】根据题意和函数图象可以得到ABD的面积大小变化情况,从而可以解答本题.
8.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感为“2017北京·房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为(  )
A.14 B.11 C.6 D.3
【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵ ,
∴在坐标系中,该二次函数图象的顶点D的坐标为(1,6),
设此时点A、B的坐标分别为 ,则由题意可知,AB= ,而 是关于x的一元二次方程 的解,
∴ ,
∴ ,
又∵AB= =4,
∴ ,解得: ,
∴点A、B的纵坐标为14,
∴DC=14-6=8,
又∵DE=3,
∴CE=DC+DE=11.
故选B.
【分析】利用二次函数解析式求出顶点D的坐标,设此时点A、B的坐标分别为 ( x 1 , m ) 、 ( x 2 , m ) ,利用根与系数的关系及AB=4,可求出点A、B的纵坐标为14,再由DE=3,求出CE的长。
二、填空题
9.用 的铁丝所围的长方形的面积 与长 的关系   .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】 .
故答案为:
【分析】由题意可知:长方形的周长=20,长方形的面积S=长×宽,列出函数解析式。
10.如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB间,按相同间隔0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.36米,则立柱EF的长为   米.
【答案】0.2
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】如图,以C坐标系的原点,OC所在直线为y轴建立坐标系,
设抛物线解析式为y=ax2,
由题知,图象过B(0.6,0.36),
代入得:0.36=0.36a
∴a=1,即y=x2.
∵F点横坐标为﹣0.4,
∴当x=﹣0.4时,y=0.16,
∴EF=0.36﹣0.16=0.2米
故答案为0.2.
【分析】以C坐标系的原点,OC所在直线为y轴建立坐标系,可知此函数是形如y=ax2的形式,再求出点B的坐标,代入求出a的值,然后求出当x=-0.4时y的值,然后求出E、F两点的纵坐标差的绝对值,就可得出EF的长。
11.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A在y轴正半轴上,顶点C在x轴正半轴上,抛物线 (a<0)的顶点为D,且经过点A、B.若△ABD为等腰直角三角形,则a的值为   .
【答案】-1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】抛物线 的对称轴方程为
即点 的横坐标为1,
△ABD为等腰直角三角形,则点 的横坐标为2,正方形的边长为2,

代入抛物线解析式得: 解得:
故答案为:
【分析】观察函数图象,可知此函数是形如y=a(x-h)2+k的形式,根据函数解析式,可得出对称轴,就可得出AB的长,从而得出正方形的边长,再由△ABD是等腰直角三角形,就可求出点A、D的坐标,利用待定系数法求出a的值。
12.如图,抛物线 与 轴交于点 ,过点 与 轴平行的直线交抛物线 于点 、 ,则线段 的长为   .
【答案】1
【知识点】二次函数y=ax^2的性质;二次函数y=a(x-h)^2+k的性质
【解析】【解答】由题意得A(0,1),
所以直线BC是y=1,与抛物线 联立知,
B(- ,1),C( ,1),
故BC=1.
故答案为1.
【分析】先求出抛物线y=ax2+1与y轴的交点坐标,就可得出点B、C的纵坐标,将y=1代入y = 4x2,求出x的值,就可得出点B、C的坐标,再求出点B、C的横坐标之差的绝对值,就可得出BC的长。
13.如图,菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线 上,其中点O为坐标原点,对角线OB在y轴上,且OB=2.则菱形OABC的面积是   .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵菱形OABC的顶点O、A、C在抛物线 上,对角线OB在y轴上,且OB=2,
∴由题意可得:A,C点纵坐标为1,故1= ,
解得:x=± ,故A( ,1),C(﹣ ,1),
故菱形OABC的面积是:2×( ×2× )= .
故答案为: .
【分析】利用菱形的性质及OB=2,可得出点A、C的纵坐标为1,将y=1代入函数解析式求出对应的x的值,就可得出点A、C的坐标,再求出AC的长,然后利用菱形的面积=两对角线之积的一半,可求解。
14.如图,线段 的长为2, 为 上一个动点,分别以 、 为斜边在 的同侧作两个等腰直角三角形 和 ,那么 长的最小值是   .
【答案】
【知识点】二次函数的最值;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设AC=x,则BC=2-x,
∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形,
∴∠DCA=45°,∠ECB=45°,DC= x,CE= (2-x),
∴∠DCE=90°,
故DE2=DC2+CE2= x2+ (2-x)2=x2-2x+2=(x-1)2+1,
当x=1时,DE2取得最小值,DE也取得最小值,最小值为1,
故答案为:1.
【分析】设AC=x,则BC=2-x,用含x的代数式分别表示出DC、CE的长,再在Rt△DCE中,利用勾股定理,可求出DE2与x的函数解析式,可知DE2是x的二次函数,配成顶点式,利用二次函数的性质可解答。
三、解答题
15.某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示,单位:m.)
现在其中修建一条观花道(图中阴影部分)供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.
(1)求y与x的函数表达式;
(2)若改造后观花道的面积为13m2,求x的值;
(3)若要求 0.5≤ x ≤1,求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.
【答案】(1)解:y=2×(8-x)(6-x)=x2-14x+48
(2)解:由题意,得x-14x+48=6×8-13,
解得:x=1,x:=13(舍去).
所以x=1
(3)解:y=x2-14x+48=(x-7)2-1
因为a=1>0,所以函数图象开口同上,当x<7时,y随x的增大而减小
所以当x=0.5时,y最大.最大值为41.25
答:改造后油菜花地所占面积的最大值为41.25m3
【知识点】二次函数y=a(x-h)^2+k的性质;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)观察图形结合已知,可得出y=两个三角形的面积之和,列出函数解析式即可。
(2)由y=13,建立关于x的一元二次方程,求解可得出符合题意的x的值。
(3)将(1)中的函数解析式化为顶点式,根据二次函数的性质及0.5≤ x ≤1,求出改造后剩余油菜花地所占面积的最大值。
16.有一座抛物线拱型桥,在正常水位时,水面BC的宽为10米,拱桥的最高点D到水面BC的距离DO为4米,点O是BC的中点,如图,以点O为原点,直线BC为x,建立直角坐标xOy.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如果水面BC上升3米 即 至水面EF,点E在点F的左侧,求水面宽度EF的长.
【答案】(1)解:设抛物线解析式为: ,由题意可得图象经过 , ,
则 ,
解得: ,
故抛物线解析为:
(2)解:由题意可得: 时,
解得: ,
故EF ,
答:水面宽度EF的长为5m.
【知识点】二次函数y=a(x-h)^2+k的性质;二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)观察图像,可得出此二次函数是形如y=ax2+c的形式,再利用待定系数法,将(5,0)、(0,4)代入解析式求出二次函数解析式即可。
(2)要求EF的长,由y=0代入函数解析式求出点E、F的坐标,再求出点E、F的横坐标的差的绝对值,即可解答。
17.甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品.图①中折线ABC表示甲公司销售价y1(元/千克)与销售量x(千克)之间的函数关系,图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2(元)与销售量x(千克)之间的函数关系.
(1)分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式;
(2)当该产品销售量为多少千克时,甲、乙两公司获得的利润的差最大?最大值为多少?
【答案】(1)解:设y1与x之间的函数表达式为y1=kx+b.
根据题意,当x=0时,y1=120;当x=80时,y1=72.
所以 ,解得
所以,y1与x之间的函数表达式为y1=-0.6x+120.
设y2与x之间的函数表达式为y2=a(x―75)2+2250,
当x=0时,y2=0,解得a=―0.4.
所以,y2与x之间的函数表达式为y2=―0.4(x―75)2+2250.
(2)解:设甲、乙两公司的销售总利润的差为w(元).当0<x≤80时,
w=(y1-40)x―y2= (-0.6x+120―40)x-[(-0.4(x―75)2+2250]
=-0.2x2+20x=-0.2(x-50)2+500.
∵-0.2<0,0<x≤80
∴当x=50时, w有最大值,最大值为500.
当80<x≤84时,
w=(72―40)x―[―0.4(x―75)2+2250]=0.4x2―28x,
∵当80<x≤84时,w随x的增大而增大,
∴当x=84时, 有最大值,最大值为470.4.
综上所述,当销售量为50千克时,甲乙两公司获得的利润的差最大,最大是500元.
【知识点】二次函数y=a(x-h)^2+k的图象;二次函数y=a(x-h)^2+k的性质;二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)分别观察两函数图象所经过的点的坐标,利用待定系数法分别求出两函数解析式。
(2)甲、乙两公司的销售总利润的差为w(元),根据w=(y1-40)x―y2,列出w与x的函数解析式,利用二次函数的性质,结合自变量的取值范围,可求出甲、乙两公司获得的利润的差的最大值。
18.(2018·亭湖模拟)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥(如图 ),水面宽 时,水面离桥孔顶部 ,因降暴雨水面上升 .
(1)建立适当的坐标系,并求暴雨后水面的宽;(结果保留根号)
(2)一艘装满物资的小船,露出水面的部分高为 ,宽 (横断面如图 所示),暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗
【答案】(1)解:如图,以抛物线的顶点为原点,以桥面为 轴,建立平面直角坐标系,由题意可知抛物线过点 ,设抛物线的函数表达式为: .把 代入 ,可求 ,则抛物线对应的函数表达式为 .
当水面上涨 米后,水面所在的位置为直线 ,
令 得,则 ,解得: , ,
∴此时水面宽为为: (米)
(2)解:由题意 :当船在桥拱的正中心航行时,船的边缘距抛物线对称轴水平距离为 米,在 中,令 得, ,
∵船上货物最高点距拱顶为: (米)且 ,
∴这艘船能从这座拱桥下通过.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】(1)建立适当的直角坐标系,利用待定系数法求出函数解析式,再根据水面上升 1 m ,求出此时的函数值,将此函数值代入解析式求出对应的自变量的值,然后求出它们的差的绝对值,即可求解。
(2)根据小船宽4米,可得出船的边缘距抛物线对称轴水平距离为2米,将x=2代入解析式求出y的值,再根据小船露出水面的部分高为 0.5 m,求出船上货物最高点距拱顶的距离,再比较大小即可判断。
19.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的,为牢固起见,每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管(如图)做成立柱,为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设计人员测得如图所示的数据.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)计算所需不锈钢管的总长度.
【答案】(1)解:由题意得B(0,0.5)、C(1,0)设抛物线的解析式为:y=ax2+c代入得a=﹣0.5,c=0.5,
故解析式为y=﹣0.5x2+0.5
(2)解:如图1所示:∵当x=0.2时,y=0.48,当x=0.6时,y=0.32,∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×(0.48+0.32)=1.6米
∴所需不锈钢管的总长度为:1.6×50=80米.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】(1)根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式,结合图象易求B点和C点坐标,代入解析式解方程组求出a,c的值,可得解析式。
(2)根据对称性求B3、B4的纵坐标后,再求出总长度。
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