新浙教版九年级上册数学经典训练题六
（第3章 圆的基本性质B）
温馨提示：本卷训练题共38题，选择题20题，填空题10题，解答题8题.
一、选择题
1﹒下列语句中，正确的有（ ）
①三点确定一个圆 ②平分弦的直径垂直于弦
③相等的弦所对的弧相等 ④相等的圆心角所对的弧相等
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2﹒已知A为⊙O上的点，⊙O的半径为1，该平面上另有一点P，且PA＝，那么点P与⊙O的位置关系是（ ）2-1-c-n-j-y
A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定
3﹒下列四个圆形图案中，分别以他们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ） 21*cnjy*com
A. B. C. D.
4﹒已知：四边形ABCD内接于⊙O，且∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A.60° B.80° C.100° D.120°
5﹒如图，AB是⊙O的直径， C、D两点都在⊙O上，AD∥OC，且∠ODA＝55°，则∠BOC的度数为（ ）【出处：21教育名师】
A.105° B.115° C.125° D.135°
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6﹒如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（ ）【版权所有：21教育】
A.25° B.30° C.50° D.65°
7﹒如图，A，B，C，D均为⊙O上的点，且AB＝CD，则下列说法不正确的是（ ）
A.∠AOB＝∠COD B. ∠AOC＝∠BOD C.AC＝BD D.OC＝CD
8﹒如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（ ）
A.2 B.4 C.4 D.8
9﹒如图，AB是⊙O的直径，⊙O的半径cm，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，则弦CD的长为（ ）21教育名师原创作品
A.cm B.3cm C.2cm D.9cm
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10.某小区一处圆柱形输水管道的圆形截面如图所示，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度CD＝4cm，则这个圆形截面的半径为（ ）
A.20cm B.18cm C.12cm D.10cm
11.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（ ）
A.50° B.80° C.100° D.130°
12.如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若∠C＝20°，则∠ABD的度数为（ ）
A.80° B.70° C.50° D.40°
13.如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是（ ）
A.75° B.95° C.105° D.115°
第13题图 第15题图 第16题图 第17题图
14.在Rt△ABC中，AB＝12，BC＝16，那么这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A.10 B.20 C.10或8 D.20或16
15.如图，点P是等边△ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）
A.当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B.当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C.当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D.当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
16.如图，正三角形ABC内接于⊙O，若边长为4cm，则⊙O的半径为（ ）
A.6cm B.4cm C.2cm D.2cm
17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1.将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得Rt△，则点B旋转的路径长为（ ）21教育网
A. B. C. D.
18.一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ）
A.60° B.120° C.150° D.180°
19.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆O
与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.10－ B.8－
C.12－ D.6－
20.已知，点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，弧CD
的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.+
二、填空题
21.如图，AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果BC＝6，那么MN＝__________.21cnjy.com
第21题图 第22题图 第23题图 第24题图
22.如图，AB为⊙O的直径，AB＝8，点C为圆上任意一点，OD⊥AC于D，当点C在⊙O 上运动一周，点D运动的路径长为_________.【来源：21·世纪·教育·网】
23.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝_________.21·世纪*教育网
24.如图，A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B＝55°，则∠BOC的度数为_________.
25.如图，在⊙O中，AB为直径，∠CAB＝60°，则∠D＝_________.
第25题图 第26题图 第27题图 第28题图
26.在△ABC中，BC＝24cm，外心O到BC的距离为6cm，则△ABC外接圆的半径为_____cm.
27.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝140°，则它的一个外角∠DCE＝_______.
28.在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长为_____________.（结果保留）
29.如图，在4×4的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O、A、B都在格点上（小正方形的顶点处），则扇形OAB的弧长等于_______.（结果保留根号及）
30.如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为O，以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是_________.
三、解答题
31.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，且∠PBC＝∠C.www.21-cn-jy.com
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度.
32.如图，过⊙O的直径AB上两点M、N分别作弦CD、EF，若CD∥EF，AC＝BF.
求证：（1）＝；（2）AM＝BN.
33.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于
点E.
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
34.如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°.
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形.
35.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连结BD，CD.21·cn·jy·com
（1）求证：BD＝CD；
（2）请判断B、E、C三点是否在以点D为圆心，以DB长为半径的圆上？并说明理由.
36.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上.21世纪教育网版权所有
（1）求n的值；
（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由.
37.如图，已知BC是⊙O的直径，P是⊙O上一点，A是的中点，AD⊥BC于点D，BP与AD相交于点E，若∠ACB＝36°，BC＝10.2·1·c·n·j·y
（1）求的长；
（2）求证：AE＝BE.
38.如图1，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连结AC并延长至D，使CD＝CA，连结DB并延长DB交⊙O于点E，连结AE.www-2-1-cnjy-com
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连结EC，⊙O半径为5，AC＝4，求阴影部分的面积之和.（结果保留根号与）
图1 图2
答案与解析6
一、选择题
1﹒【知识点】确定圆的条件；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】本题掌握并理解相关定理与性质是解题的关键．根据“确定圆的条件；垂径定理；以及圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角定理”知识点对各小题进行分析判断，判断时可采用排除法得出正确选项．【版权所有：21教育】
【解答】（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故此选项错误；
（2）平分弦的直径，当被平分的弦是直径时直径就不垂直于弦，故此选项错误；
（3）相等的弦不在同圆或等圆中，所对的弧不一定相等，故此选项错误；
（4）相等的圆心角不在同圆或等圆中所对的弧不一定相等，故此选项错误；
故选：A．
2﹒【知识点】点与圆的位置关系．
【分析】一般情况下，判断点与圆的位置关系是根据这个点到圆心的距离与圆的半径进行大小比较后来确定，但此题不是，告诉的是点P到圆上一定点的距离，所以要特别注意分类讨论.根据题意可知点P可能在圆外也可能在圆上，也可能在圆内，所以无法确定．2·1·c·n·j·y
【解答】∵PA＝，⊙O的半径为2，
∴点P的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内，
故选D．
3﹒【知识点】旋转对称图形．
【分析】根据图形特征求出各旋转对称图形的最小旋转角度，进而判断出符合题意的正确选项．
【解答】A.最小旋转角度＝＝120°；
B.最小旋转角度＝＝90°；
C.最小旋转角度＝＝180°；
D.最小旋转角度＝＝72°；
故选：A．
4﹒【知识点】圆内接四边形的性质；四边形的内角和．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5，设参数后根据四边形的内角和为360°列等式求解或按比例分配的方法求解也可．
【解答】∵圆的内接四边形的对角互补，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠D＝360°×＝100°，
故选：C．
5﹒【知识点】圆的认识；平行线的性质．
【分析】在同圆中，所有的半径都相等，所以OA＝OD，根据等边对等角得∠OAD＝55°，然后根据平行线的性质得∠AOC ＝55°，再根据平角定义即可求出结论．
【解答】如图，∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝55°，
∵AD∥OC，
∴∠AOC＝∠OAD＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝125°．
故选：C．
6﹒【知识点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】连接CD，先根据直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由等腰三角形的性质得出∠CDB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BCD的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论．21·世纪*教育网
【解答】连接CD，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣25°＝65°，
∵BC＝CD，
∴∠CDB＝∠ABC＝65°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠BCD ＝50°．
故选：C．
7﹒【知识点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】由A，B，C，D均为⊙O上的点，且AB＝CD，根据弦与圆心角的关系，即可得∠AOB＝∠COD，继而可得∠AOC＝∠BOD，则可求得AC＝BD．
【解答】∵AB＝CD，
∴∠AOB＝∠COD，故A正确；
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，故B正确；
∴AC＝BD，故C正确；
∵△OCD不一定是等边三角形，
∴OC不一定等于CD，故D错误．
故选：D．
8﹒【知识点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【出处：21教育名师】
【解答】∵∠A＝22.5°，
∴∠BOC＝2∠A＝45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝2，
∴CD＝2CE＝4．
故选：C．
9﹒【知识点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】本题考查的是垂径定理与圆周角定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．先根据圆周角定理求出∠COE的度数，再由弦CD⊥AB于E，得∠OCE＝30°，CD＝2CE，OE＝OC＝，由勾股定理求出CE的长，进而可得出结论．
【解答】∵∠COB与∠CDB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°．
∵弦CD⊥AB于E，
∴∠OCE＝90°－∠COB＝30°，CD＝2CE，
∴OE＝OC＝，
在Rt△OCE中，CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝3cm．
故选：B．
10.【知识点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】由OD垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，求出BD的长，设圆的半径为xcm，由OC﹣CD表示出OD，在Rt△BOD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径．21cnjy.com
【解答】∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝AB＝8cm，
设圆的半径为xcm，在Rt△BOD中，
OD＝OC﹣CD＝（x﹣4）cm，OB＝xcm，BD＝8cm，
根据勾股定理得：x2＝(x﹣4)2+82，
解得：x＝10，
则圆的半径为10cm．
故选：D.
11.【知识点】圆周角定理．
【分析】首先在优弧上取点D，连接AD，CD，由圆周角定 理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．21·cn·jy·com
【解答】如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC＝∠AOC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．
故选：D．
12.【知识点】圆周角定理．
【分析】定理：直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠A的度数，继而求得答案．21世纪教育网版权所有
【解答】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠C＝20°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝70°．
故选：B．
13.【知识点】圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】由∠AOD＝30°，得出∠OAD＝75°，再利用圆内接四边形对角互补，得出答案．
【解答】∵∠AOD＝30°，OD＝OA，
∴∠OAD＝75°，
∴∠BCD＝180°﹣75°＝105°．
故选：C．
14.【知识点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．
【分析】这个三角形的外接圆直径是斜边长，有两种情况：（1 ）斜边是BC，即外接圆直径是8；（2 ）斜边是AC，即外接圆直径是斜边的一半．
【解答】根据题意得：
（1）斜边是BC，即外接圆直径是16；
（2 ）斜边是AC，即外接圆直径是＝20；
故选：D．
15.【知识点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；垂径定理；圆周角定理．
【分析】根据直径是圆中最长的弦，可知当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，由圆周角定理得出∠BAP＝90°，再根据等边三角形的性质及圆周角定理得出AP＝CP，则△APC是等腰三角形，判断A正确；
当△APC是等腰三角形时，分三种情况：①PA＝PC；②AP＝AC；③CP＝CA；确定点P的位置后，根据等边三角形的性质即可得出PO⊥AC，判断B正确；
当PO⊥AC时，由垂径定理得出PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；判断C错误；
当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置．如果点P在P1的位置，易求∠BCP1＝90°，△BP1C是直角三角形；如果点P在P2的位置，易求∠CBP2＝90°，△BP2C是直角三角形；判断D正确．
【解答】A.如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴AP＝CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B．当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA＝PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP＝AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP＝CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C．当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．
如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；
故本选项错误，符合题意；
D．当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．
如果点P在P1的位置，∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，△BP1C是直角三角形；21*cnjy*com
如果点P在P2的位置，∵∠ACP2＝30°，
∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，
∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，△BP2C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
16.【知识点】正多边形和圆；勾股定理．
【分析】作OD⊥BC于D，连接OB，构造直角三角形利用勾股定理求得OB的长即可．
【解答】作OD⊥BC于D点，连接OB，
∵正三角形ABC内接于⊙O，BC＝4cm，
∴∠OBD＝∠ABC＝30°，BD＝DC＝BC＝2，
∴OD＝OB，
在Rt△OBD中，OD2+BD2＝OB2，
(OB)2+(2)2＝OB2，
解得：OB＝4，（负值舍去）
故选：B．
17.【知识点】旋转的性质；弧长的计算；勾股定理．
【分析】利用锐角三角函数关系得出BC的长，进而利用旋转的性质得出∠BCB′＝60°，再利用弧长公式求出即可．
【解答】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴AB＝2，
∴BC＝＝ ，
∵将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得Rt△，
∴∠BCB′＝60°，
∴点B旋转的路径长为：＝．
故选：B．
18.【知识点】弧长的计算．
【分析】首先设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：l＝，再解方程即可．
【解答】设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：＝，
解得：n＝120，
故选：B．
19.【知识点】扇形面积的计算．
【分析】连接OE．求得弓形AE的面积，△ADC的面积与弓形AE的面积的差就是阴影部分的面积．
【解答】连接OE．
∵S△ADC＝AD﹒CD＝×4×4＝8，
S扇形OAE＝×22＝，
S△AOE＝×2×2＝2，
∴S弓形AE＝﹣2，
∴阴影部分的面积为8﹣(﹣2)＝10﹣．
故选：A．
20.【知识点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．
【解答】连接OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
∵弧CD的长为，
∴＝，
解得：r＝1，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
在△OAC和△OCD中，，
∴△OAC≌△OCD（SSS），
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．
故选：A．
二、填空题
21.【知识点】垂径定理；三角形中位线定理．
【分析】由OM⊥AB，ON⊥AC，利用垂径定理得到M与N分别为AB、AC的中点，即MN为△ABC的中位线，利用中位线定理得到MN等于BC的一半，即可求出MN的长．
【解答】∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴M、N分别为AB、AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∵BC＝6，
∴MN＝BC＝3．
故答案为：3．
22.【知识点】垂径定理；运动轨迹．
【分析】根据题意可得点D运动的路径是以AO中点为圆心，AO一半的长为半径的圆，然后计算出半径长，再计算出周长即可．www.21-cn-jy.com
【解答】点D运动的路径是以AO中点为圆心，AO一半的长为半径的圆，
∵AB为⊙O的直径，AB＝8，
∴AO＝AB＝4，
∴点D运动的路径长为：2×2＝4，
故答案为：4．
23.【知识点】圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质．
【分析】首先由AD∥OC可以得到∠BOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．2-1-c-n-j-y
【解答】∵AD∥OC，
∴∠BOC＝∠DAO＝70°，
又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40°.
24.【知识点】圆周角定理．
【分析】根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，再利用互余的定义计算出∠A＝90°﹣∠B＝35°，然后根据圆周角定理求解．21教育名师原创作品
【解答】∵AC⊥BO，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOC＝2∠A＝70°．
故答案为：70°．
25.【知识点】圆周角定理．
【分析】利用了直径所对的圆周角是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先求出∠B的度数，再利用圆周角定理即可求出∠D＝∠B．
【解答】∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝60°
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°，
根据圆周角定理∠D＝∠B＝30°．
故答案为：30°．
26.【知识点】三角形的外接圆与外心；勾股定理．
【分析】要求△ABC外接圆的半径，应把△ABC中BC边当弦，过O作OD⊥BC，则可由已知条件及勾股定理求解．
【解答】过O作OD⊥BC，由垂径定理得，
BD＝BC＝12cm，
在Rt△OBD中，OD＝6cm，BD＝12cm，
∴OB＝＝ 6cm，
即△ABC外接圆的半径为6cm．
故答案为：6．
27.【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】先根据圆周角定理求出∠BAD的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数，由补角的定义即可得出结论．21教育网
【解答】∵∠BOD与∠BAD是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOD＝140°，
∴∠BAD＝∠BOD＝×140°＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70°．
28.【知识点】弧长的计算；等边三角形的判定与性质．
【分析】连结OA、OB，根据等边三角形的判定与性质得出圆心角∠AOB的度数，再代入弧长公式求出结论即可． 21*cnjy*com
【解答】连结OA、OB，
∵OA＝OB＝AB＝2，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴的长为： ＝，
故答案为：.
29.【知识点】弧长的计算．
【分析】根据正方形的性质，得扇形所在的圆心角是90°，扇形的半径是2．
【解答】根据图形中正方形的性质，得
∠AOB＝90°，OA＝OB＝2．
∴扇形OAB的弧长＝＝2，
故答案为：2.
30.【知识点】扇形面积的计算；三角形的面积．
【分析】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．如图，连接CE．图中S阴影＝S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE．根据已知条件易求得OB＝OC＝OD＝2，BC＝CE＝4．∠ECB＝60°，OE＝2，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
【解答】如图，连接CE．
∵AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，
∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝2，BC＝CE＝4．
又∵OE∥AC，
∴∠ACB＝∠COE＝90°．
∴在直角△OEC中，OC＝2，CE＝4，
∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝2，
∴S阴影＝S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE
＝﹣×22﹣×2×2＝﹣2，
故答案为：﹣2．
三、解答题
31.【知识点】垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．
【分析】（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC＝∠D，再由等量代换得出∠C＝∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC＝2∠PBC＝45°，再根据邻补角定义求出∠AOC＝135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．
【解答】（1）∵∠PBC＝∠D，∠PBC＝∠C，
∴∠C＝∠D，
∴CB∥PD；
（2）连结OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵∠PBC＝∠DCB＝22.5°，
∴∠BOC＝∠BOD＝2∠C＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，
∴的长＝＝．
32.【知识点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）证∠BFC＝∠ACF，即可得＝，；（2）证△ACM≌△BFN，即可得AM＝BN．
【解答】证明：（1）连接OC、OF，
∴OC＝OF，OA＝OB，
∵AC＝BF，
∴△COA≌△FOB，
∴∠CAO＝∠OBF，∠ACO＝∠BFO，
∴AC∥BF，
连接CF，则∠BFC＝∠ACF，
∴＝．
（2）∵AC∥BF，
∴∠BFC＝∠ACF．
∵CD∥EF，
∴∠EFC＝∠DCF．
∴∠ACM＝∠BFN．
又CD∥EF，
∴∠CMA＝∠BNF．
∵AC＝BF，
∴△ACM≌△BFN．
∴AM＝BN．
33.【知识点】圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
【解答】（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝(180°－∠AOD)＝ (180°－70°)＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在Rt△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
34.【知识点】圆周角定理；菱形的判定；垂径定理．
【分析】（1）根据垂径定理得出＝，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数；
（2）根据等边三角形的判定得出BC＝BO＝CO，进而利用（1）中结论得出AO＝BO＝AC＝BC，即可证明结论．www-2-1-cnjy-com
【解答】（1）∵点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，
∴＝，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠BOC的度数为60°；
（2）证明：∵＝，
∴AC＝BC，AO＝BO，
∵∠BOC的度数为60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴BC＝BO＝CO，
∴AO＝BO＝AC＝BC，
∴四边形AOBC是菱形．
35.【知识点】确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD＝∠CBD，由等量代换得出∠DBE＝∠DEB，从而证明DB＝DE＝DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：＝，
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD．
（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB长为半径的圆上．
理由：由（1）知：＝，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4＝∠5，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
由（1）知：BD＝CD，
∴DB＝DE＝DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB长为半径的圆上．
36.【知识点】旋转性质；含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．
【分析】此题主要考查了菱形的判定及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．（1）利用旋转的性质得出AC＝CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；（2）利用直角三角形的性质得出FC＝DF，进而得出AD＝AC＝FC＝DF，即可得出答案．
【解答】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，【来源：21·世纪·教育·网】
∴AC＝DC，∠A＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴n的值是60；
（2）四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE＝∠ACB＝90°，F是DE的中点，
∴FC＝DF＝FE，
∵∠CDF＝∠A＝60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF＝DC＝FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC＝DC，
∴AD＝AC＝FC＝DF，
∴四边形ACFD是菱形．
37.【知识点】弧长的计算；圆周角定理．
【分析】本题主要考查了弧长公式和等弧所对的圆周角相等的性质．（1）要求的长，就要连结OA，求出圆心角，利用弧长公式计算；（2）连接AB，点A是的中点，所以＝，则利用等弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠ABP，在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用同一角的余角相等可得∠BAD＝∠C，则∠ABP＝∠BAD，所以AE＝BE．
【解答】（1）连接OA，
∵∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝72°，
又∵OB＝BC＝5，
∴的长l＝＝＝2；
（2）证明：连接AB，
∵点A是的中点，
∴＝，
∴∠C＝∠ABP．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，即∠BAD+∠CAD＝90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴∠ABP＝∠BAD，
∴AE＝BE．
38.【知识点】扇形面积的计算；勾股定理；圆周角定理．
【分析】（1）连接CB，AB，CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CB＝CA，再根据CD＝CA，得AC＝CD＝BC，易得△ABD为直角三角形，可得出∠ABE为直角，根据90°的圆周角所对的弦为直径，从而证出AE是⊙O的直径；（2）由（1）得△ACE为直角三角形，根据勾股定理得出CE的长，阴影部分的面积等于半圆面积减去△ACE的面积即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】（1）证明：连接CB，AB，CE，
∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CB＝CA，
又∵CD＝CA，
∴AC＝CD＝BC，
∴∠CBD＝∠D，∠BAC＝∠ABC，
∵∠CBD+∠D+∠BAC+∠ABC＝180°，
∴∠CBD+∠ABC＝90°，
即∠ABD＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵AE＝10，AC＝4，
∴由勾股定理，得：CE＝2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5﹣×4×2＝12.5﹣4．
