2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定（1） 同步练习
一、选择题.
1．如图，在平行四边形 中，E是AB延长线上一点，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
2．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=9：16，则DE：BC为（ ）
A．2：3 B．3：4 C．9：16 D．1：2
4．如图， 是矩形 的 边上任意一点， 是 边上一点， ，图中一定相似的三角形是（ ）
A．①与② B．③与④ C．②与③ D．①与④
5．（2017九上·临沭期末）如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2017九上·温江期末）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
8．（2018·云南）如图，已知AB∥CD，若 ，则 = ．
9．如图，E为 ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，连接DE交BC于点F，则CF：AD= ．
10．（2018·邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形： ．
11．如图，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，线段DE⊥AB，且△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，那么，线段BD长为 ．
三、解答题
12．如图，四边形 是正方形，点 在 上， 于 ，求证：△DAF∽△AEB．
13．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F，求证：OE=OF．
14．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
15．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）如AF=3，AG=5，求△ADE与△ABC的周长之比．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA，
∴△EFB∽△EAD；
同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，可证得∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA，从而可证△EFB∽△EAD，再利用同样的方法，可找出图中所有的相似三角形。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
B、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
C、∵△AEF∽△EDC，∴ ，∵AE∥BC，∴ ，∴ ，此选项符合题意；
D、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由△AEF∽△EDC以及AE∥BC，得出C符合题意。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DOE∽△BOC，
∴ =（ ）2
∴
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的面积比是对应边比的平方求解。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°
∵∠EFC=90°
∴∠AEF+∠AFE=90°，∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AEF=∠DFC
所以△AFE∽△DFC，
故答案为：A
【分析】根据矩形的性质，可得出∠A=∠D=∠EFC=90°，再根据同角的余角相等证明∠AEF=∠DFC，利用两组对应角相等的两三角形相似，即△AFE∽△DFC，就可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC中，AD是中线，BC=4，
∴DC=2.
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴ ，即： .
∴AC= .
故答案为：A.
【分析】根据已知∠B=∠DAC及图形中的隐含条件∠C=∠C，易证得△ADC∽△BAC，得出AC2=BC DC，计算即可得出AC的长。
6．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 ，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE= BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2 ，
∴AB=3，
∴ ，
∴ ，
∴DF= BD= ×2 = ，
故答案为：D．
【分析】利用直角三角形的性质，可求出BD的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及角平分线，去证明∠ABD=∠BDE，就可得出DE∥AB，然后证明△DEF∽△BAF，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，从而可求出DF的长。
7．【答案】AB∥DE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
8．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出答案。
9．【答案】3：5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知：CD∥AE，CD=AB
∴△CDF∽△BEF
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∵AD=BC，
∴ = ，
故答案为：3：5
【分析】根据平行四边形的性质，可证CD∥AE，CD=AB，利用平行线分线段成比例的推论，可证明△CDF∽△BEF，结合已知BE：AB=2：3，得出CF：CB的比值，再由AD=BC，可得出CF：AD的值。
10．【答案】△ADF∽△ECF
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF，
故答案为：△ADF∽△ECF．
【分析】利用平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可（答案不唯一）。
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴三角形ABC为直角三角形，
∴∠C=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴△ABC∽△EDB，
∴（ ）2= ，
∵△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，
∴BD= ，
故答案为：
【分析】根据条件求出△ABC∽△EDB，利用相似三角形的面积比等于边长比的平方，求出△BDE的面积，在求出BD的长。
12．【答案】解： ∵四边形 是正方形，∴ ，∵ 于 ，∴ ，∴ ，又∵ ，∴△DAF∽△AEB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用正方形的性质及垂直的定义，可证出∠DAF+∠BAE=90° ，∠DAF+∠ADF=90° ，再利用同角的余角相等，推出∠ADF=∠BAE，然后利用两组对应角相等的三角形相似，可证得结论。
13．【答案】证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴OA：OC=OA：OB，∴OA：AC=OD：BD，∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE：BC=OA：AC，OF：BC=OD：BD，∴OE：BC=OF：BC，∴OE=OF．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据对应边成比例，求得△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，然后通过对应边的比列，解得OE=OF。
14．【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再证明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去证明∠DAF=∠DBA，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
15．【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC
（2）解：由（1）可得△ADE∽△ABC，
又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴△ADE与△ABC的周长之比= =
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两个三角形的对应角相等，得出△ADE∽△ABC。（2）根据相似三角形的周长比等于边长比求解。
1 / 12018-2019学年数学浙教版九年级上册4.4 两个三角形相似的判定（1） 同步练习
一、选择题.
1．如图，在平行四边形 中，E是AB延长线上一点，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA，
∴△EFB∽△EAD；
同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质，可证得∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA，从而可证△EFB∽△EAD，再利用同样的方法，可找出图中所有的相似三角形。
2．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
B、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
C、∵△AEF∽△EDC，∴ ，∵AE∥BC，∴ ，∴ ，此选项符合题意；
D、∵△AEF∽△EDC，∴ ，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由△AEF∽△EDC以及AE∥BC，得出C符合题意。
3．如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=9：16，则DE：BC为（ ）
A．2：3 B．3：4 C．9：16 D．1：2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DOE∽△BOC，
∴ =（ ）2
∴
故答案为：B
【分析】根据相似三角形的面积比是对应边比的平方求解。
4．如图， 是矩形 的 边上任意一点， 是 边上一点， ，图中一定相似的三角形是（ ）
A．①与② B．③与④ C．②与③ D．①与④
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°
∵∠EFC=90°
∴∠AEF+∠AFE=90°，∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AEF=∠DFC
所以△AFE∽△DFC，
故答案为：A
【分析】根据矩形的性质，可得出∠A=∠D=∠EFC=90°，再根据同角的余角相等证明∠AEF=∠DFC，利用两组对应角相等的两三角形相似，即△AFE∽△DFC，就可得出答案。
5．（2017九上·临沭期末）如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵△ABC中，AD是中线，BC=4，
∴DC=2.
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC，
∴ ，即： .
∴AC= .
故答案为：A.
【分析】根据已知∠B=∠DAC及图形中的隐含条件∠C=∠C，易证得△ADC∽△BAC，得出AC2=BC DC，计算即可得出AC的长。
6．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2 ，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CE= BC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2 ，
∴AB=3，
∴ ，
∴ ，
∴DF= BD= ×2 = ，
故答案为：D．
【分析】利用直角三角形的性质，可求出BD的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及角平分线，去证明∠ABD=∠BDE，就可得出DE∥AB，然后证明△DEF∽△BAF，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，从而可求出DF的长。
二、填空题
7．（2017九上·温江期末）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【答案】AB∥DE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
8．（2018·云南）如图，已知AB∥CD，若 ，则 = ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出答案。
9．如图，E为 ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，连接DE交BC于点F，则CF：AD= ．
【答案】3：5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知：CD∥AE，CD=AB
∴△CDF∽△BEF
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∵AD=BC，
∴ = ，
故答案为：3：5
【分析】根据平行四边形的性质，可证CD∥AE，CD=AB，利用平行线分线段成比例的推论，可证明△CDF∽△BEF，结合已知BE：AB=2：3，得出CF：CB的比值，再由AD=BC，可得出CF：AD的值。
10．（2018·邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形： ．
【答案】△ADF∽△ECF
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF，
故答案为：△ADF∽△ECF．
【分析】利用平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可（答案不唯一）。
11．如图，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，线段DE⊥AB，且△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，那么，线段BD长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴三角形ABC为直角三角形，
∴∠C=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴△ABC∽△EDB，
∴（ ）2= ，
∵△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，
∴BD= ，
故答案为：
【分析】根据条件求出△ABC∽△EDB，利用相似三角形的面积比等于边长比的平方，求出△BDE的面积，在求出BD的长。
三、解答题
12．如图，四边形 是正方形，点 在 上， 于 ，求证：△DAF∽△AEB．
【答案】解： ∵四边形 是正方形，∴ ，∵ 于 ，∴ ，∴ ，又∵ ，∴△DAF∽△AEB．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用正方形的性质及垂直的定义，可证出∠DAF+∠BAE=90° ，∠DAF+∠ADF=90° ，再利用同角的余角相等，推出∠ADF=∠BAE，然后利用两组对应角相等的三角形相似，可证得结论。
13．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F，求证：OE=OF．
【答案】证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴OA：OC=OA：OB，∴OA：AC=OD：BD，∵EF∥BC，∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，∴OE：BC=OA：AC，OF：BC=OD：BD，∴OE：BC=OF：BC，∴OE=OF．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据对应边成比例，求得△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，然后通过对应边的比列，解得OE=OF。
14．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
【答案】（1）证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质，可证得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再证明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可证得结论。
（2）利用全等三角形的性质，可证得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去证明∠DAF=∠DBA，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
15．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）如AF=3，AG=5，求△ADE与△ABC的周长之比．
【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC
（2）解：由（1）可得△ADE∽△ABC，
又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴△ADE与△ABC的周长之比= =
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两个三角形的对应角相等，得出△ADE∽△ABC。（2）根据相似三角形的周长比等于边长比求解。
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