【精彩练习】浙教版数学八年级上册B本微素养专题突破四勾股定理及其逆定理的应用
一、类型１ 实际问题中求长度(高度或深度)——【例1】
1．下图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走捷径AC，于是在草坪内走出了一条不该有的路AC，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了 米长的草坪，只为少走 米的路.
二、【变式1】
2．（2019八上·沙坪坝月考）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=1.5米.竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米
三、【变式2】
3．如图，一架长2.5米的梯子斜立在一面竖直的墙上，梯子底端距离墙底0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底端将向左滑动 米．
四、类型2 利用勾股定理求面积——【例2】
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（ ）
A．2π B．3π C．4π D．8π
五、【变式1】
5．如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
六、【变式2】
6．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（ ）
A．144 B．49 C．64 D．25
七、【变式3】
7．如图，在Rt△ABC中，两直角边BC和AB的长分别为3和4，以斜边AC为边作一个正方形ACDE，再以正方形的边AE为斜边作Rt△AFE，然后依次以两直角边AF和EF为边分别作正方形AHGF和EFMN，则图中阴影部分的面积为 .
八、【变式4】
8．（2022八上·渭滨月考）如图，，，，，求四边形的面积．
九、类型3 勾股定理与最值问题结合——【例3】
9．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点P是BC边的中垂线MN上任一点，则PC+PD的最小值为 .
十、【变式1】
10．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
十一、【变式2】
11．如图，∠AOB=30°，点P在OB上且OP=2，点M，N分别是OA，OB上的动点，则PM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
十二、【变式3】
12．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=4，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．3
十三、【变式4】
13．如图，在△ABC中，∠A=45°，AC=2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，求CF+EF的最小值．
答案解析部分
1．【答案】50；20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC==50 m；
∴ 少走的路为40+30-50=20 m.
故答案为：50；20.
【分析】根据勾股定理即可求得踩坏的草坪长度，再用斜边减去直角边的和即可求得少走的路.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：若假设水渠深BD设为x米，则竹竿BC的长(x+0.5)米，由题意得，
x2+1.52=(x+0.5)2，
解之得：x=2.
故答案为：A.
【分析】经分析知：可以放到一个直角三角形中计算.此直角三角形的一条直角边CD是1.5米，另一条直角边是水渠深BD设为x米，斜边BC是竹竿的长（x+0.5）米.根据勾股定理得x2+1.52=(x+0.5)2，即可解答.
3．【答案】0.8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△AOB中，AO=0.7m，AB=2.5m，
∴ BO==2.4m，
∵ DO=BO-0.4=2m，CD=AB=2.5m，
∴ 在Rt△COD中，CO==1.5m，
∴ AC=CO-AO=1.5-0.7=0.8m，
故答案为：0.8.
【分析】根据勾股定理分别求出BO，CO，向左滑动的距离即为CO-AO.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵S1= π（ ）2= πAC2，S2= πBC2，
∴S1+S2= π（AC2+BC2）= πAB2=2π．
故选A．
【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；圆的面积
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB==9，
∴ 圆的半径为，
∴ 半圆的面积为.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求得AB的长度，即直径，再根据圆的面积公式即可求得.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：直角三角形的另一个直角边==12，
∴ 小正方形的边长=12-5=7，
∴ 中间小正方形的面积=72=49.
故答案为：49.
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一个直角边推出小正方形的边长，即可求得小正方形的面积.
7．【答案】25
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：S阴影=S正方形AHGF+S正方形EFMN=AF2+EF2，
∵ △AEF为直角三角形，
∴ AF2+EF2=AE2，
即S阴影=S正方形ACDE，
∵ 在Rt△ABC中，BC=3，AB=4，
∴ AC=5，
∴ S阴影=S正方形ACDE=AC2=25.
故答案为：25.
【分析】根据分析可知阴影面积即为正方形ACDE的面积，再根据勾股定理求出正方形ACDE的边长即可.
8．【答案】解：如图，连接
∵，，，
∴
∵， ，
∴
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可得AC、AD的值，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行计算.
9．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BD交直线MN于点P1，连接P1C，如图，
根据题意得：点C关于直线MN对称的点为B，连接BD交直线MN于点P1，则PC+PD的最小值即为P1C+P1D=P1B+P1D=BD，
∵ △ABC为边长为2的等边三角形，点D为AC的中点，
∴ BD⊥AC，BC=2，CD=1，
∴ BD==.
故答案为：.
【分析】根据最短路径得PC+PD的最小值即为BD的长度，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过作，交于N，
是BC边上的中线，是等边三角形，
，
.
，
和关于AD对称.
连结CM交AD于，连结EF，如图.
则此时的值最小，
是等边三角形，
.
，
.
故答案为：C.
【分析】首先找到点E关于直线AD对称的点M，连接CM，交直线AD于点F，此时EF+CF取得最小值，根据等边三角形的性质得此时CM平分∠ACB.
11．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点P作关于OA的对称点P1，过点P1作P1N⊥OB，交OA于点M，如图，
∴ PM=P1M，
∴ PM+MN=P1M+MN，
当P1，M，N三点共线，且P1N⊥OB时，P1M+MN最短，
∵ OP=OP1=2，∠AOB=30°，
∴ ∠P1OP=2∠AOB=60°，
∴ ON=OP1=1，
∴ P1N==，
即PM+MN的最小值为.
故答案为：D.
【分析】过点P作关于OA的对称点P1，过点P1作P1N⊥OB，交OA于点M，此时PM+MN的值最小，根据对称的性质得 PM=P1M，在根据30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求得最小值.
12．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】分别作点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，如图，
则4，，
DC.
，
此时的周长最小，
作于，则，
，
，
.
周长的最小值是.
故选.
【分析】分别作点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，则CD即为△PMN周长的最小值，作于，在Rt△OCH中求出CH，而CD=2CH即可求得.
13．【答案】解：过点作交AB于，文BD于，过点作交BC于，如图.
平分，
，
，此时的值最小.
，
，
的最小值为.
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 过点作交AB于，文BD于，过点作交BC于， 此时CF+EF取最小值为CH，再根据勾股定理即可求得CH.
1 / 1【精彩练习】浙教版数学八年级上册B本微素养专题突破四勾股定理及其逆定理的应用
一、类型１ 实际问题中求长度(高度或深度)——【例1】
1．下图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走捷径AC，于是在草坪内走出了一条不该有的路AC，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了 米长的草坪，只为少走 米的路.
【答案】50；20
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC==50 m；
∴ 少走的路为40+30-50=20 m.
故答案为：50；20.
【分析】根据勾股定理即可求得踩坏的草坪长度，再用斜边减去直角边的和即可求得少走的路.
二、【变式1】
2．（2019八上·沙坪坝月考）如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=1.5米.竹竿高出水面的部分AD长0.5米，如果把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．2.25米 D．3米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；根据数量关系列方程
【解析】【解答】解：若假设水渠深BD设为x米，则竹竿BC的长(x+0.5)米，由题意得，
x2+1.52=(x+0.5)2，
解之得：x=2.
故答案为：A.
【分析】经分析知：可以放到一个直角三角形中计算.此直角三角形的一条直角边CD是1.5米，另一条直角边是水渠深BD设为x米，斜边BC是竹竿的长（x+0.5）米.根据勾股定理得x2+1.52=(x+0.5)2，即可解答.
三、【变式2】
3．如图，一架长2.5米的梯子斜立在一面竖直的墙上，梯子底端距离墙底0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底端将向左滑动 米．
【答案】0.8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△AOB中，AO=0.7m，AB=2.5m，
∴ BO==2.4m，
∵ DO=BO-0.4=2m，CD=AB=2.5m，
∴ 在Rt△COD中，CO==1.5m，
∴ AC=CO-AO=1.5-0.7=0.8m，
故答案为：0.8.
【分析】根据勾股定理分别求出BO，CO，向左滑动的距离即为CO-AO.
四、类型2 利用勾股定理求面积——【例2】
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（ ）
A．2π B．3π C．4π D．8π
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵S1= π（ ）2= πAC2，S2= πBC2，
∴S1+S2= π（AC2+BC2）= πAB2=2π．
故选A．
【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积．
五、【变式1】
5．如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；圆的面积
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB==9，
∴ 圆的半径为，
∴ 半圆的面积为.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求得AB的长度，即直径，再根据圆的面积公式即可求得.
六、【变式2】
6．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的一条直角边长为5，大正方形的边长为13，则中间小正方形的面积是（ ）
A．144 B．49 C．64 D．25
【答案】B
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：直角三角形的另一个直角边==12，
∴ 小正方形的边长=12-5=7，
∴ 中间小正方形的面积=72=49.
故答案为：49.
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的另一个直角边推出小正方形的边长，即可求得小正方形的面积.
七、【变式3】
7．如图，在Rt△ABC中，两直角边BC和AB的长分别为3和4，以斜边AC为边作一个正方形ACDE，再以正方形的边AE为斜边作Rt△AFE，然后依次以两直角边AF和EF为边分别作正方形AHGF和EFMN，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】25
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：S阴影=S正方形AHGF+S正方形EFMN=AF2+EF2，
∵ △AEF为直角三角形，
∴ AF2+EF2=AE2，
即S阴影=S正方形ACDE，
∵ 在Rt△ABC中，BC=3，AB=4，
∴ AC=5，
∴ S阴影=S正方形ACDE=AC2=25.
故答案为：25.
【分析】根据分析可知阴影面积即为正方形ACDE的面积，再根据勾股定理求出正方形ACDE的边长即可.
八、【变式4】
8．（2022八上·渭滨月考）如图，，，，，求四边形的面积．
【答案】解：如图，连接
∵，，，
∴
∵， ，
∴
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理可得AC、AD的值，然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD进行计算.
九、类型3 勾股定理与最值问题结合——【例3】
9．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，点D是AC的中点，点P是BC边的中垂线MN上任一点，则PC+PD的最小值为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接BD交直线MN于点P1，连接P1C，如图，
根据题意得：点C关于直线MN对称的点为B，连接BD交直线MN于点P1，则PC+PD的最小值即为P1C+P1D=P1B+P1D=BD，
∵ △ABC为边长为2的等边三角形，点D为AC的中点，
∴ BD⊥AC，BC=2，CD=1，
∴ BD==.
故答案为：.
【分析】根据最短路径得PC+PD的最小值即为BD的长度，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得.
十、【变式1】
10．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】过作，交于N，
是BC边上的中线，是等边三角形，
，
.
，
和关于AD对称.
连结CM交AD于，连结EF，如图.
则此时的值最小，
是等边三角形，
.
，
.
故答案为：C.
【分析】首先找到点E关于直线AD对称的点M，连接CM，交直线AD于点F，此时EF+CF取得最小值，根据等边三角形的性质得此时CM平分∠ACB.
十一、【变式2】
11．如图，∠AOB=30°，点P在OB上且OP=2，点M，N分别是OA，OB上的动点，则PM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点P作关于OA的对称点P1，过点P1作P1N⊥OB，交OA于点M，如图，
∴ PM=P1M，
∴ PM+MN=P1M+MN，
当P1，M，N三点共线，且P1N⊥OB时，P1M+MN最短，
∵ OP=OP1=2，∠AOB=30°，
∴ ∠P1OP=2∠AOB=60°，
∴ ON=OP1=1，
∴ P1N==，
即PM+MN的最小值为.
故答案为：D.
【分析】过点P作关于OA的对称点P1，过点P1作P1N⊥OB，交OA于点M，此时PM+MN的值最小，根据对称的性质得 PM=P1M，在根据30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求得最小值.
十二、【变式3】
12．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=4，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．3
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】分别作点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，如图，
则4，，
DC.
，
此时的周长最小，
作于，则，
，
，
.
周长的最小值是.
故选.
【分析】分别作点关于OA，OB的对称点C，D，连结CD分别交OA，OB于M，N，则CD即为△PMN周长的最小值，作于，在Rt△OCH中求出CH，而CD=2CH即可求得.
十三、【变式4】
13．如图，在△ABC中，∠A=45°，AC=2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，求CF+EF的最小值．
【答案】解：过点作交AB于，文BD于，过点作交BC于，如图.
平分，
，
，此时的值最小.
，
，
的最小值为.
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】 过点作交AB于，文BD于，过点作交BC于， 此时CF+EF取最小值为CH，再根据勾股定理即可求得CH.
1 / 1
