【学霸】浙教版数学八下专题反比例函数与几何综合(三)：四边形问题
1．如图，已知直线l：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(-1，n)，直线I'经过点A，且与l关于直线x=-1对称．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求图中阴影部分的面积
【答案】（1）解：∵点A(-1，n)在直线l：y=x+4上，
∴n=-1+4=3，∴点A的坐标为(-1，3)．
∵点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，∴k=-3，
∴反比例函数的表达式为y= ．
（2）解：设直线l：y=x+4与x轴、y轴的交点分别为点B和点C，
则B(-4 ，0) ，C(0，4)．
∵直线I'经过点A，且与l关于直线x=-1对称，
∴设直线l'与x轴的交点为点E，则E(2，0)．
设直线I'：y=ax+b，则解得
∴：y=-x+2．设直线I'与y轴的交点为点D，则D(0，2)，
∴阴影部分的面积=△BOC的面积-△ACD的面积=×4×4-×2×1=7．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出A的坐标，再将其代入y= 中，即可求出k值；
（2）由y=x+4求出B、C的坐标，设直线l'与x轴的交点为点E，再根据对称性求出E坐标，利用待定系数法求出直线I' ，即可求出直线I'与y轴的交点坐标，根据阴影部分的面积=△BOC的面积-△ACD的面积即可求解.
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点M，D分别在OA ，AB上，且AD=AM=2．一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y= 的图象经过点D，与BC交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且使四边形OMDP的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵C(0，3)，∴OC=3．∵四边形OABC是正方形，∴OA=AB=3．∵AD=2，∴D(-3，2)．∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴m=-3×2=-6，∴反比例函数的表达式为y=
∵AM=2，
∴OM=OA-AM=1，∴M(-1，0)．∵点D(-3，2)，M(-1，0)在直线y=kx+b上，
∴解得
∴一次函数的表达式为y=-x-1．
（2）解：如图，过点D作DH⊥y轴于点H，连接MN，
由(1)知，反比例函数的表达式为y= ，
当y=3时，x= =-2，∴N( -2，3) ， ∴S四边形OMNC= (CN+OM) ·OC= -×(2+1) ×3=4.5．设P(0，n)，
∵四边形0MDP的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴S四边形OMDP = (OM+DH) ·AD+ DH·PH= ×( 1+3)×2+ ×3×(n-2)=4.5，∴n= ，∴点P的坐标为(0，)
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质求出D坐标，将其代入y=中即可求解；再求出M的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）过点D作DH⊥y轴于点H，连接MN，先求出N的坐标，进而求出四边形OMNC的面积，设P(0，n)，根据四边形0MDP的面积与四边形OMNC的面积相等建立方程，据此即可求解.
3．（2023·泸州）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
（1）求，的值；
（2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵直线经过点，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为，
令，则，
∴点，
设点，则点，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，整理得或，
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
综上，点D的坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出 ， 再求出 ， 最后求点的坐标即可。
4．（2019八下·乐山期末）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= 与y= (x>0，0（1）当m=4，n=20时
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由
（2）四边形ABCD能否成为正方形 若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由.
【答案】（1）解：①如图1，
∵m=4，
∴反比例函数为y=
当x=4时，y=1，
∴B(4，1)，
当y=2时，2= ，
∴x=2，∴A(2，2)，．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴ ，∴
∴直线AB的解析式为y= x+3．
②四边形ABCD是菱形，理由如下：
如图2，
由①知，B(4，1)，
∵BD∥y轴，
∴D(4，5)，
∵点P是线段BD的中点，∴P(4，3)，
当y=3时，由y= 得，x= ，由y= 得，x= ，
∴PA=4- = ，PC= -4= ，
∴PA=PC，∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：四边形ABCD能成为正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，
∴PA=PB=PC=PD=t．
当x=4时，y= ，∴B(4， )，
∴A(4-t， +t)，C(4+t， +t)，
∴(4-t)( +t)=m，
∴t=4- ，∴C(8- ， 4)，
∴(8- )×4=n，∴m+n=32，
∵点D的纵坐标为 +2t= +2(4- )
=8- ，
∴D(4，8- )，
∴4(8- )=-n，∴m+n=32
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求得解析式，根据含有直角的平行四边形为菱形可判断。
（2）根据点的坐标的关系，可根据题意列出关系书，得出m、n的数量关系。
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1．如图，已知直线l：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(-1，n)，直线I'经过点A，且与l关于直线x=-1对称．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求图中阴影部分的面积
2．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点M，D分别在OA ，AB上，且AD=AM=2．一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y= 的图象经过点D，与BC交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且使四边形OMDP的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
3．（2023·泸州）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．
（1）求，的值；
（2）平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
4．（2019八下·乐山期末）如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y= 与y= (x>0，0（1）当m=4，n=20时
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由
（2）四边形ABCD能否成为正方形 若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵点A(-1，n)在直线l：y=x+4上，
∴n=-1+4=3，∴点A的坐标为(-1，3)．
∵点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，∴k=-3，
∴反比例函数的表达式为y= ．
（2）解：设直线l：y=x+4与x轴、y轴的交点分别为点B和点C，
则B(-4 ，0) ，C(0，4)．
∵直线I'经过点A，且与l关于直线x=-1对称，
∴设直线l'与x轴的交点为点E，则E(2，0)．
设直线I'：y=ax+b，则解得
∴：y=-x+2．设直线I'与y轴的交点为点D，则D(0，2)，
∴阴影部分的面积=△BOC的面积-△ACD的面积=×4×4-×2×1=7．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出A的坐标，再将其代入y= 中，即可求出k值；
（2）由y=x+4求出B、C的坐标，设直线l'与x轴的交点为点E，再根据对称性求出E坐标，利用待定系数法求出直线I' ，即可求出直线I'与y轴的交点坐标，根据阴影部分的面积=△BOC的面积-△ACD的面积即可求解.
2．【答案】（1）解：∵C(0，3)，∴OC=3．∵四边形OABC是正方形，∴OA=AB=3．∵AD=2，∴D(-3，2)．∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴m=-3×2=-6，∴反比例函数的表达式为y=
∵AM=2，
∴OM=OA-AM=1，∴M(-1，0)．∵点D(-3，2)，M(-1，0)在直线y=kx+b上，
∴解得
∴一次函数的表达式为y=-x-1．
（2）解：如图，过点D作DH⊥y轴于点H，连接MN，
由(1)知，反比例函数的表达式为y= ，
当y=3时，x= =-2，∴N( -2，3) ， ∴S四边形OMNC= (CN+OM) ·OC= -×(2+1) ×3=4.5．设P(0，n)，
∵四边形0MDP的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴S四边形OMDP = (OM+DH) ·AD+ DH·PH= ×( 1+3)×2+ ×3×(n-2)=4.5，∴n= ，∴点P的坐标为(0，)
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质求出D坐标，将其代入y=中即可求解；再求出M的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）过点D作DH⊥y轴于点H，连接MN，先求出N的坐标，进而求出四边形OMNC的面积，设P(0，n)，根据四边形0MDP的面积与四边形OMNC的面积相等建立方程，据此即可求解.
3．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵直线经过点，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点C的横坐标为2，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为，
令，则，
∴点，
设点，则点，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，整理得或，
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
由得，
整理得，
解得，
∵，
∴，
∴点；
综上，点D的坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据平行四边形的性质求出 ， 再求出 ， 最后求点的坐标即可。
4．【答案】（1）解：①如图1，
∵m=4，
∴反比例函数为y=
当x=4时，y=1，
∴B(4，1)，
当y=2时，2= ，
∴x=2，∴A(2，2)，．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴ ，∴
∴直线AB的解析式为y= x+3．
②四边形ABCD是菱形，理由如下：
如图2，
由①知，B(4，1)，
∵BD∥y轴，
∴D(4，5)，
∵点P是线段BD的中点，∴P(4，3)，
当y=3时，由y= 得，x= ，由y= 得，x= ，
∴PA=4- = ，PC= -4= ，
∴PA=PC，∵PB=PD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：四边形ABCD能成为正方形，
理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，
∴PA=PB=PC=PD=t．
当x=4时，y= ，∴B(4， )，
∴A(4-t， +t)，C(4+t， +t)，
∴(4-t)( +t)=m，
∴t=4- ，∴C(8- ， 4)，
∴(8- )×4=n，∴m+n=32，
∵点D的纵坐标为 +2t= +2(4- )
=8- ，
∴D(4，8- )，
∴4(8- )=-n，∴m+n=32
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求得解析式，根据含有直角的平行四边形为菱形可判断。
（2）根据点的坐标的关系，可根据题意列出关系书，得出m、n的数量关系。
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