【精品解析】初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理（1）同步练习

初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理（1）同步练习
一、单选题
1．（2019八下·哈尔滨期中）如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（　　）
A．8 B．10 C．64 D．136
2．（2020八下·哈尔滨期中）如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
3．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长为（　　）
A．5 B．25 C．6 D．
4．（2020八下·武汉期中）如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　）.
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
5．（2020八下·江苏月考）如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（　　）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
6．（2020八下·凉州月考）图1中，每个小正方形的边长为1， 的三边a，b，c的大小关系是（　　）
A．a7．（2020八下·龙江月考）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的高度是（　　）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
8．（2020八下·哈尔滨期中）将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（　　）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
二、填空题
9．（2020八下·哈尔滨期中）图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为　 　 ．
10．（2020八下·安庆期中）直角三角形两直角边长分别为2 ＋1，2 －1，则它的斜边长为　 　．
11．（2020八下·鼎城期中）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的 时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？　 　(填“能”或“不能”)．
12．（2020八上·昌平期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2 ，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD=　 　
13．（2020八上·大丰期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了　 　步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
三、解答题
14．（2020八下·景县期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。那么水深多少？芦苇长为多少？
15．（2020八下·云梦期中）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等.已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB=80km，AD=50km，BC=30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？
16．（2020八下·武川期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时，
（1）A处是否会受到火车的影响，并写出理由
（2）如果A处受噪音影响，求影响的时间.
17．（2019八上·金水月考）一块长方体木块的各棱长如图所示，一只蜘蛛在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬.
（1）如果D是棱的中点，蜘蛛沿“AD→DB”路线爬行，它从A点爬到B点所走的路程为多少？
（2）若蜘蛛还走前面和右面这两个面，你认为“AD-DB"是最短路线吗？如果不是，请求出最短路程，如果是，请说明理由
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC2+CD2=AD2，
则字母B所代表的正方形的面积=CD2=AC2-AD2=100-36=64，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
2．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接BC，
由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），
CB= =40（海里），
故答案为：D．
【分析】首先根据路程=速度×时间可得AC、AB的长，然后连接BC，再利用勾股定理计算出BC长即可．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求解即可．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，AB=4，BC=3
∴在Rt△ABC中，
∴木杆在折断前的高度为4+5=9米
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求AC的长，从而求木杆折断前的高度.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】正方形ADEC的面积为： ，
正方形BCFG的面积为： ；
在Rt△ABC中， = + ，AB=15，
+ =225cm2，
故答案为：C.
【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方，两正方形面积的和为 + ，对于Rt△ABC，由勾股定理得 = + ，AB=15，故可以求出两正方形面积的和.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC= =5= ，BC= AB=4= ，
∴b＞a＞c，
即c＜a＜b.
故答案为：C.
【分析】通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC、BC分别与三角形外构成直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC、BC，然后比较三边的大小即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得： ，
解得：x=12，
所以芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
故答案为：D．
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm
AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长
由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm
∴8cm≤h≤17cm
故答案为：C
【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.
9．【答案】36
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知：正方形的边长为：
∴正方形的面积为：6 =36
故答案为：36．
【分析】利用勾股定理求正方形边长，从而求正方形的面积．
10．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得（2 +1）2+（2 1）2=斜边2，
斜边= ，
故答案为： ．
【分析】已知直角三角形的两条直角边，由勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即可求得斜边的长度．
11．【答案】不能
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的 ，且梯子的长度为9米，
∴梯子底端离墙约为梯子长度为9× =3米，
∴梯子的顶端距离地面的高度为： ，
∵ ，
∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．
故答案为：不能．
【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断．
12．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2 ，
则由勾股定理得到：AC2=AB2+BC2=（2 ）2+（2 ）2=16．
在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=2，由勾股定理得到：CD2=AC2-AD2=16-22=12．
所以CD=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长度，然后在直角△ADC中，再次利用勾股定理求得CD 的长度即可．
13．【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，斜边长AB= = =10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为：8.
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果。
14．【答案】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+( . =(x+1)2 ，
解得：x=12（尺），
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺 ，根据勾股定理可得 x2+( ）2 =(x+1)2，据此求出x的值，从而求出结论.
15．【答案】解：设AE=xkm，则BE=（80-x）km
∵AD⊥AB，BC⊥AB
∴ 和△BCE都是直角三角形
∴ ，
又∵AD=50，BC=30，DE=CE
∴ .
解得
答：5G信号塔E应该建在离A乡镇多30千米的地方.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AE=x，则BE=80-x，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE ，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE ，根据CE =DE 列方程，可以求得x的值，即可求得AE的值.
16．【答案】（1）如图，过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米＜200，故受到火车的影响，
（2）当火车到B点时开始对A处有噪音影响，此时AB=200，
∵AB=200，AC=120，
利用勾股定理得出BC=160，同理CD=160.即BD=320米，
∴影响的时间为 秒.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过点A作AC⊥ON，求出AC的长，即可判断是否受影响；（2）设当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失，根据勾股定理即可求出BD的长，即可求出影响的时间.
17．【答案】（1）解：从点A爬到点B所走的路程为AD+BD= + =5+
（2）解：不是，分三种情况讨论：
①将下面和右面展到一个平面内，AB= = =2 (cm)；
②将前面与右面展到一个平面内，AB= = =6 (cm)；
③将前面与上面展到一个平面内，AB= =4 (cm)，
∴蜘蛛从A点爬到B点所走的最短路程为6 cm
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AD、BD即可；（2）分三种情形讨论即可，分别利用勾股定理求出AB的长即可解决问题；
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理（1）同步练习
一、单选题
1．（2019八下·哈尔滨期中）如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是（　　）
A．8 B．10 C．64 D．136
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC2+CD2=AD2，
则字母B所代表的正方形的面积=CD2=AC2-AD2=100-36=64，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
2．（2020八下·哈尔滨期中）如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接BC，
由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），
CB= =40（海里），
故答案为：D．
【分析】首先根据路程=速度×时间可得AC、AB的长，然后连接BC，再利用勾股定理计算出BC长即可．
3．（2020八下·哈尔滨期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长为（　　）
A．5 B．25 C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求解即可．
4．（2020八下·武汉期中）如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　）.
A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知，AB=4，BC=3
∴在Rt△ABC中，
∴木杆在折断前的高度为4+5=9米
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求AC的长，从而求木杆折断前的高度.
5．（2020八下·江苏月考）如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（　　）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】正方形ADEC的面积为： ，
正方形BCFG的面积为： ；
在Rt△ABC中， = + ，AB=15，
+ =225cm2，
故答案为：C.
【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方，两正方形面积的和为 + ，对于Rt△ABC，由勾股定理得 = + ，AB=15，故可以求出两正方形面积的和.
6．（2020八下·凉州月考）图1中，每个小正方形的边长为1， 的三边a，b，c的大小关系是（　　）
A．a【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵AC= =5= ，BC= AB=4= ，
∴b＞a＞c，
即c＜a＜b.
故答案为：C.
【分析】通过小正方形网格，可以看出AB=4，AC、BC分别与三角形外构成直角三角形，再利用勾股定理可分别求出AC、BC，然后比较三边的大小即可.
7．（2020八下·龙江月考）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的高度是（　　）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得： ，
解得：x=12，
所以芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
故答案为：D．
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
8．（2020八下·哈尔滨期中）将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（　　）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cm
AD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长
由题意得：AB=15cm，BC=8cm，△ABC是直角三角形
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC=17cm
∴8cm≤h≤17cm
故答案为：C
【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.
二、填空题
9．（2020八下·哈尔滨期中）图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为　 　 ．
【答案】36
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知：正方形的边长为：
∴正方形的面积为：6 =36
故答案为：36．
【分析】利用勾股定理求正方形边长，从而求正方形的面积．
10．（2020八下·安庆期中）直角三角形两直角边长分别为2 ＋1，2 －1，则它的斜边长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得（2 +1）2+（2 1）2=斜边2，
斜边= ，
故答案为： ．
【分析】已知直角三角形的两条直角边，由勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即可求得斜边的长度．
11．（2020八下·鼎城期中）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的 时，则梯子比较稳定．现有一长度为9 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5 m高的墙头吗？　 　(填“能”或“不能”)．
【答案】不能
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵梯子底端离墙约为梯子长度的 ，且梯子的长度为9米，
∴梯子底端离墙约为梯子长度为9× =3米，
∴梯子的顶端距离地面的高度为： ，
∵ ，
∴梯子的顶端不能到达8.5米高的墙头．
故答案为：不能．
【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断．
12．（2020八上·昌平期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2 ，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD=　 　
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2 ，
则由勾股定理得到：AC2=AB2+BC2=（2 ）2+（2 ）2=16．
在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=2，由勾股定理得到：CD2=AC2-AD2=16-22=12．
所以CD=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长度，然后在直角△ADC中，再次利用勾股定理求得CD 的长度即可．
13．（2020八上·大丰期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了　 　步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草.
【答案】8
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意得，斜边长AB= = =10米，
则少走(6+8-10)×2=8步路，
故答案为：8.
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果。
三、解答题
14．（2020八下·景县期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面。那么水深多少？芦苇长为多少？
【答案】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+( . =(x+1)2 ，
解得：x=12（尺），
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺 ，根据勾股定理可得 x2+( ）2 =(x+1)2，据此求出x的值，从而求出结论.
15．（2020八下·云梦期中）如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座5G信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等.已知AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，AB=80km，AD=50km，BC=30km，求5G信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？
【答案】解：设AE=xkm，则BE=（80-x）km
∵AD⊥AB，BC⊥AB
∴ 和△BCE都是直角三角形
∴ ，
又∵AD=50，BC=30，DE=CE
∴ .
解得
答：5G信号塔E应该建在离A乡镇多30千米的地方.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AE=x，则BE=80-x，在直角△ADE中根据勾股定理可以求得DE ，在直角△BCE中根据勾股定理可以求得CE ，根据CE =DE 列方程，可以求得x的值，即可求得AE的值.
16．（2020八下·武川期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时，
（1）A处是否会受到火车的影响，并写出理由
（2）如果A处受噪音影响，求影响的时间.
【答案】（1）如图，过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米＜200，故受到火车的影响，
（2）当火车到B点时开始对A处有噪音影响，此时AB=200，
∵AB=200，AC=120，
利用勾股定理得出BC=160，同理CD=160.即BD=320米，
∴影响的时间为 秒.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）过点A作AC⊥ON，求出AC的长，即可判断是否受影响；（2）设当火车到B点时开始对A处有噪音影响，直到火车到D点噪音才消失，根据勾股定理即可求出BD的长，即可求出影响的时间.
17．（2019八上·金水月考）一块长方体木块的各棱长如图所示，一只蜘蛛在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬.
（1）如果D是棱的中点，蜘蛛沿“AD→DB”路线爬行，它从A点爬到B点所走的路程为多少？
（2）若蜘蛛还走前面和右面这两个面，你认为“AD-DB"是最短路线吗？如果不是，请求出最短路程，如果是，请说明理由
【答案】（1）解：从点A爬到点B所走的路程为AD+BD= + =5+
（2）解：不是，分三种情况讨论：
①将下面和右面展到一个平面内，AB= = =2 (cm)；
②将前面与右面展到一个平面内，AB= = =6 (cm)；
③将前面与上面展到一个平面内，AB= =4 (cm)，
∴蜘蛛从A点爬到B点所走的最短路程为6 cm
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AD、BD即可；（2）分三种情形讨论即可，分别利用勾股定理求出AB的长即可解决问题；
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