【学霸】浙教版数学八下专题正方形与全等模型(二)：垂直模型
1．
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在(1)的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于点M ，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：AE=AF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ADE =90° ，AB=AD．
∵∠BAF+∠BAE= 90° ，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠ DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE(ASA) ，
∴AE=AF．
（2）解：CE=MF．
理由：∵△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，即∠AFM= ∠AEC．
∴∠MAF+∠FAC= 90°，∠EAC+ ∠FAC= 90，
∴∠MAF=∠CAE．
在△AMF和△ACE中，
∴△AMF≌△ACE(ASA) ，
∴CE=MF．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)先利用余角的性质证得∠BAF=∠ DAE，再通过ASA判定△ABF≌△ADE，进而证得AE=AF．
(2)通过全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，AE=AF，进而证得∠AFM= ∠AEC，再利用余角的性质证得∠MAF=∠CAE，然后通过ASA判定△AMF≌△ACE，即可证得CE=MF．
2．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图②，取AB的中点H，连结HE，求证：AE=EF．
（2）如图③，若点E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF"仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，
∴∠1+∠AEB=90° ，∠2+∠AEB= 90°，AB=BC，∠DCG= 90°，
∴∠1=∠2．
∵ 点E是边BC的中点， 点H是边AB的中点，
∴BH=AH=AB，BE= CE=BC，
∴BH= BE=AH= CE，∠BHE= 45°，
∵ CF是∠DCG的角平分线，
∴∠ FCG=45°，
∴∠AHE= ∠ ECF= 135° ，
在△AHE和△ECF中，
∴△AHE≌△ECF(ASA) ，
∴AE= EF．
（2）解：AE=EF成立．
证明：如图②，延长BA到点M，使AM=CE，
∵∠AEF=90°，∴∠FEG+∠AEB= 90°．∵∠BAE+∠AEB= 90° ，
∴∠BAE=∠FEG，∴∠MAE=∠CEF．∵AB= BC，∴AB+AM= BC+CE，
即BM=BE，∴∠M=45°，∴∠M=∠FCE．
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF(ASA) ，∴AE=EF．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)利用余角的性质可得∠1=∠2，再通过正方形的性质证得AH= CE，∠BHE= ∠ FCG=45°，然后通过ASA判定△AHE≌△ECF证得AE= EF．
(2)延长BA到点M，使AM=CE，利用余角的性质证得∠BAE=∠FEG，进而得到∠MAE=∠CEF，再通过正方形的性质证得BM=BE得到∠M=∠FCE，然后由ASA判定△AME≌△ECF证得AE=EF．
3．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形ABCD的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，求EF的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD= 90°．
又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，∴∠FBA=∠EAD．
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在△AFB和△DEA中，
∴△AFB≌△DEA(AAS)，∴AF=DE=8，BF=AE=5，∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用余角的性质证得∠FBA=∠EAD，再通过AAS判定△AFB≌△DEA，进而得到AF=DE=8，BF=AE=5，然后即可计算出EF的长度.
4．如图，四边形ABCD是正方形，C是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．求证：DE-BF=EF．
【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°．
∵DE⊥AG，∴∠AED=∠DEF=90°．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEF=∠AED=90°，∴∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠DAE= 90° ，
∴∠BAF= ∠ADE．在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF=AE，AF=DE，
∴AF-AE= EF．∴DE-BF= EF．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠AFB=∠DEF=∠AED=90°，再利用余角的性质证得∠BAF= ∠ADE，然后通过AAS判定△ABF≌△DAE得到BF=AE，AF=DE，进而证得DE-BF= EF．
5．如图①，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上(不与点A，O重合)的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．
（1）求证：PE=PB．
（2）如图②，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．
【答案】（1）如图①，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N．
∵PB⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠MPB+ ∠ EPN= 90°．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°．∵AD∥MN，
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°．
∵∠MPB+∠MBP= 90，∴∠EPN=∠MBP．
在Rt△PNC中，∠PCN=45° ，
∴△PNC是等腰直角三角形， PN= CN，
∴BM= CN=PN，∴△BMP≌△PNE(ASA)，∴PE=PB．
（2）在点P运动的过程中，PF的长度不发生变化．
如图②，连结OB．
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，∴∠AOB=90°．∴∠AOB=∠EFP= 90°，
∴∠OBP+∠BPO= 90．∵PB⊥PE，∴∠BPE= 90°，
∴∠BPO+∠OPE=90°，∴∠OBP=∠OPE．
由(1)得PB=PE，∴△OBP≌△FPE(AAS)，∴PF=OB．∵AB=2，
△ABO是等腰直角三角形，∴OB=， ∴PF的长为定值．
（3）如图①，∠BAC=45°，∴△AMP是等腰直角三角形，∴PA=PM．由(1)知PM=NE，∴PA=NE．∵△PCN是等腰直角三角形，∴PC=NC= (NE+EC)= NE+EC=PA+EC．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)过点P作MN∥AD，利用正方形的性质可得∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°，再通过余角的性质证得∠EPN=∠MBP，然后通过ASA判定△BMP≌△PNE得到PE=PB．
(2)由正方形的性质可得OB⊥AC，故∠AOB=∠EFP= 90°，再利用余角的性质证得∠OBP=∠OPE，然后通过AAS判定△OBP≌△FPE证得PF=OB，进而可得PF的长为定值.
(3)由(1)可得△AMP是等腰直角三角形，且PM=NE，故PA=NE，再利用等腰直角三角形的性质证得PC=NC，进而得到PC=PA+EC．
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1．
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在(1)的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于点M ，观察并猜想CE与MF的数量关系，并说明理由．
2．如图①，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）如图②，取AB的中点H，连结HE，求证：AE=EF．
（2）如图③，若点E是BC的延长线上(除点C外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF"仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
3．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形ABCD的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，求EF的长．
4．如图，四边形ABCD是正方形，C是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．求证：DE-BF=EF．
5．如图①，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上(不与点A，O重合)的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．
（1）求证：PE=PB．
（2）如图②，若正方形ABCD的边长为2，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由．
（3）用等式表示线段PC，PA，CE之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：AE=AF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠ADE =90° ，AB=AD．
∵∠BAF+∠BAE= 90° ，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAF=∠ DAE．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE(ASA) ，
∴AE=AF．
（2）解：CE=MF．
理由：∵△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，即∠AFM= ∠AEC．
∴∠MAF+∠FAC= 90°，∠EAC+ ∠FAC= 90，
∴∠MAF=∠CAE．
在△AMF和△ACE中，
∴△AMF≌△ACE(ASA) ，
∴CE=MF．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)先利用余角的性质证得∠BAF=∠ DAE，再通过ASA判定△ABF≌△ADE，进而证得AE=AF．
(2)通过全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，AE=AF，进而证得∠AFM= ∠AEC，再利用余角的性质证得∠MAF=∠CAE，然后通过ASA判定△AMF≌△ACE，即可证得CE=MF．
2．【答案】（1）解：如图①，
∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，
∴∠1+∠AEB=90° ，∠2+∠AEB= 90°，AB=BC，∠DCG= 90°，
∴∠1=∠2．
∵ 点E是边BC的中点， 点H是边AB的中点，
∴BH=AH=AB，BE= CE=BC，
∴BH= BE=AH= CE，∠BHE= 45°，
∵ CF是∠DCG的角平分线，
∴∠ FCG=45°，
∴∠AHE= ∠ ECF= 135° ，
在△AHE和△ECF中，
∴△AHE≌△ECF(ASA) ，
∴AE= EF．
（2）解：AE=EF成立．
证明：如图②，延长BA到点M，使AM=CE，
∵∠AEF=90°，∴∠FEG+∠AEB= 90°．∵∠BAE+∠AEB= 90° ，
∴∠BAE=∠FEG，∴∠MAE=∠CEF．∵AB= BC，∴AB+AM= BC+CE，
即BM=BE，∴∠M=45°，∴∠M=∠FCE．
在△AME和△ECF中，
∴△AME≌△ECF(ASA) ，∴AE=EF．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)利用余角的性质可得∠1=∠2，再通过正方形的性质证得AH= CE，∠BHE= ∠ FCG=45°，然后通过ASA判定△AHE≌△ECF证得AE= EF．
(2)延长BA到点M，使AM=CE，利用余角的性质证得∠BAE=∠FEG，进而得到∠MAE=∠CEF，再通过正方形的性质证得BM=BE得到∠M=∠FCE，然后由ASA判定△AME≌△ECF证得AE=EF．
3．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD= 90°．
又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°，∴∠FBA=∠EAD．
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在△AFB和△DEA中，
∴△AFB≌△DEA(AAS)，∴AF=DE=8，BF=AE=5，∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用余角的性质证得∠FBA=∠EAD，再通过AAS判定△AFB≌△DEA，进而得到AF=DE=8，BF=AE=5，然后即可计算出EF的长度.
4．【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°．
∵DE⊥AG，∴∠AED=∠DEF=90°．∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEF=∠AED=90°，∴∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠DAE= 90° ，
∴∠BAF= ∠ADE．在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF=AE，AF=DE，
∴AF-AE= EF．∴DE-BF= EF．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠AFB=∠DEF=∠AED=90°，再利用余角的性质证得∠BAF= ∠ADE，然后通过AAS判定△ABF≌△DAE得到BF=AE，AF=DE，进而证得DE-BF= EF．
5．【答案】（1）如图①，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N．
∵PB⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠MPB+ ∠ EPN= 90°．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°．∵AD∥MN，
∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°．
∵∠MPB+∠MBP= 90，∴∠EPN=∠MBP．
在Rt△PNC中，∠PCN=45° ，
∴△PNC是等腰直角三角形， PN= CN，
∴BM= CN=PN，∴△BMP≌△PNE(ASA)，∴PE=PB．
（2）在点P运动的过程中，PF的长度不发生变化．
如图②，连结OB．
∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，
∴OB⊥AC，∴∠AOB=90°．∴∠AOB=∠EFP= 90°，
∴∠OBP+∠BPO= 90．∵PB⊥PE，∴∠BPE= 90°，
∴∠BPO+∠OPE=90°，∴∠OBP=∠OPE．
由(1)得PB=PE，∴△OBP≌△FPE(AAS)，∴PF=OB．∵AB=2，
△ABO是等腰直角三角形，∴OB=， ∴PF的长为定值．
（3）如图①，∠BAC=45°，∴△AMP是等腰直角三角形，∴PA=PM．由(1)知PM=NE，∴PA=NE．∵△PCN是等腰直角三角形，∴PC=NC= (NE+EC)= NE+EC=PA+EC．
【知识点】余角、补角及其性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)过点P作MN∥AD，利用正方形的性质可得∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°，再通过余角的性质证得∠EPN=∠MBP，然后通过ASA判定△BMP≌△PNE得到PE=PB．
(2)由正方形的性质可得OB⊥AC，故∠AOB=∠EFP= 90°，再利用余角的性质证得∠OBP=∠OPE，然后通过AAS判定△OBP≌△FPE证得PF=OB，进而可得PF的长为定值.
(3)由(1)可得△AMP是等腰直角三角形，且PM=NE，故PA=NE，再利用等腰直角三角形的性质证得PC=NC，进而得到PC=PA+EC．
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