【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册1.2 二次根式的性质同步练习
一、选择题
1．下列根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式 .只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故答案应选择D.
【分析】理解最简二次根式的概念，并能够用于分析具体的题型，是学习数学的一个直接方法．
二、填空题
2．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
3．（2017八下·乌海期末）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足 则该直角三角形的斜边长为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长= = =5．
故答案为：5．
【分析】根据多个非负数之和为0，那么这些非负数均为0。结合完全平方公式将题目的已知条件转化成a2﹣6a+9=0、b﹣4=0，然后解答出a、b的值，再利用勾股定理即可求解。
三、计算题
4．（2023八下·祥云期末）计算．
【答案】解：，
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】掌握零指数幂、二次根式化简、合并同类根式、负整数指数幂和去绝对值符号的运算。
5．（2020八下·罗山期末）先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 ， ，即 ， ，那么便有： .
例如化简： .
解：首先把 化为 ，
这里 ， ，
由于 ， ，
所以 ，
所以 .
根据上述方法化简： .
【答案】解：根据题意，可知 ， ，
由于 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42.再判断是选择加法，还是减法，进而根据完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质即可算出答案.
6．（2020八下·海林期末）若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
【答案】解：要使y有意义，必须 ，即 ∴ x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
又∵ － ＝ －
＝| |－| |
∵x＝ ，y＝ ，∴ ＜ ．
∴原式＝ － ＝2
当x＝ ，y＝ 时，原式＝2 ＝
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x= ，此时y= ．即可代入求解．
7．（2017八下·钦州港期中）化简： .
【答案】解：∵ 有意义，∴－ a 3 ≥0， a ≤0，又∵ 有意义，∴ a ≠0，∴ a ＜0，∴原式
【知识点】分式有意义的条件；二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方式非负可得－ a 3 ≥0，所以a ≤0，而分母不为0，则a ≠0，所以a ＜0，然后原式=-.
四、解答题
8．已知 + =0，求 的值.
【答案】解：由原式可得x-3=0，x-y+3=0，故解得x=3，y=6，故xy=18．
【知识点】二次根式有意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】结合二次根式取值的非负性，判断非负与非负的和如果为0，则每一项均为0，从而求得x、y的值，进一步算出xy的取值．
五、实践探究题
9．（2021八下·株洲开学考）先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当时，求的值.
为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.
方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由，可得，即，.
原式.
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：∵，
∴x＋1＝，
∴（x＋1）2＝2，即x2＋2x＋1＝2，
∴x2＋2x＝1，
∴原式＝2x（x2＋2x） 3x＋1
＝2x 3x＋1
＝ x＋1
＝ （ 1）＋1
＝2 ；
（2）解：∵，
∴x 2＝，
∴（x 2）2＝3，
即x2 4x＋4＝3，
∴x2 4x＝ 1或x2＝4x 1，
∴原式＝
＝（16x2 8x＋1 4x2＋x 36x＋9 5x＋5）
＝ [12（4x 1） 48x＋15]
＝（48x 12 48x＋15）
＝×3
＝.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据阅读材料可将条件x=-1变形得x+1=，再两边分别平方得：x2+2x=1，把所求代数式变形为2x(x2+2x)-3x+1，并整体代换即可求解；
（2）根据阅读材料可将条件变形为x-2=，再两边分别平方得：x2-4x=-1，把所求代数式变形并整体代换即可求解.
10．（2023八下·鹿城月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③.
【答案】（1）；2mn
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵a、m、n均为正整数，
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
即a的值为12或28；
（3）解：①
②
③设 ，
则
，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）设 （其中a、b、m、n均为整数），
则有 ， ；
故答案为： ，2mn；
【分析】（1）根据题意例子给出的方法可直接求出答案；
（2）根据（1）的结论得2mn=6，即mn=3，结合m、n、a都是整数及有理数的乘法法则克的m=1、n=3或m=3、n=1，进而再根据（1）的结论得a=m2+3n2，代入计算即可；
（3）①根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
②根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
③设，将该式两边同时平方得，而，进而化简得，最后直接开平方，并结合二次根式的非负性即可得出答案.
六、综合题
11．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
12．观察下列等式：
① .
② .
③ .
根据上述等式的规律解次下列问题：
（1）完成第4个等式：
（2）写出你猜想的第 个等式(用含 的代数式表示），并证明其正确性.
【答案】（1）7×9
（2）解：第n个等式： .
证明：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：7×9；
【分析】（1）根据平方差公式将被开方数写成两个数的和与这两个数的差的积，进而根据二次根式的性质化简即可得出答案；
（2）通过数据变化规律，发现等式左边是一个二次根式，其被开方数是两个数的平方差，被减数的底数是（2n）2+1，减数的底数就是（4n），等式的右边是两个连续奇数的乘积，第一个奇数是（2n-1），第二个奇数是（2n+1，），根据总结的规律写出结论，进而根据（1）的解法进行证明即可.
13．（2017八下·巢湖期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m,ab=n，这样( )2+( )2=m · =n,那么便有 = = ± (a>b) ．例如：化简 解：首先把 化为 ，这里m=7,n=12；由于4+3=7,4×3=12,即( )2+( )2=7 · = ，
∴ = = =2+ ．
由上述例题的方法化简：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解: = = -
（2）解: = = = -
（3）解: = =
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）（2）（3）根据题中所给的化简方式进行化简即可。
14．（2020八下·江夏月考）如图，在平面直角坐标系中，点A( ，0)，AB⊥ 轴，且AB=10，点C（0，b）， ，b满足 .点P（t，0）是线段AO上一点（不包含A，O）
（1）当t=5时，求PB：PC的值；
（2）当PC+PB最小时，求t的值；
（3）请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，n满足m+n=10，且正数 = ，则正数 的最小值= .
【答案】（1）
，解得
将 代入得，
当 时，则
轴
故 的值为 ；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点 ，过点 作 轴于点D，连接 ， 交x轴于点
由轴对称的性质得：
由两点之间线段最短得：当点P与点 重合时， 最小，最小值为
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
故当 最小时，t的值为15；
（3）
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】（3）由（1）知，
因此，对于 可参照（2）的方法，画出如图2，其中，点B与点 关于x轴对称， 轴，
则
由（2）可知， 的最小值为
即 的最小值为
故答案为： .
【分析】（1）先根据二次根式的被开方数的非负性求出a、b的值，从而可得OA、OC的长，再利用勾股定理分别求出PB、PC的长，从而可得出答案；（2）如图（见解析），作点B关于x轴的对称点 ，从而可得 的长，再根据两点之间线段最短确认 最小时点P的位置，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得；（3）先根据题（1）得出 的式子，可发现与所求的 的形式完全一样，因此，参照题（2）的方法，画出图形，利用几何方法求解即可（与题（2）的思路完全相同）.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册1.2 二次根式的性质同步练习
一、选择题
1．下列根式中，最简二次根式是( )
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2021八下·宜州期中）已知， ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
3．（2017八下·乌海期末）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足 则该直角三角形的斜边长为 ．
三、计算题
4．（2023八下·祥云期末）计算．
5．（2020八下·罗山期末）先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如 的化简，我们只要找到两个数a，b，使 ， ，即 ， ，那么便有： .
例如化简： .
解：首先把 化为 ，
这里 ， ，
由于 ， ，
所以 ，
所以 .
根据上述方法化简： .
6．（2020八下·海林期末）若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
7．（2017八下·钦州港期中）化简： .
四、解答题
8．已知 + =0，求 的值.
五、实践探究题
9．（2021八下·株洲开学考）先阅读，再解答问题：
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.
例如：当时，求的值.
为解答这道题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.
方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.
由，可得，即，.
原式.
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）已知，求的值.
10．（2023八下·鹿城月考）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中、、、均为整数），则有，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若，当、、、均为整数时，用含、的式子分别表示、，得： ， ；
（2）若，且、、均为正整数，求的值；
（3）化简下列各式：
①
②
③.
六、综合题
11．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
12．观察下列等式：
① .
② .
③ .
根据上述等式的规律解次下列问题：
（1）完成第4个等式：
（2）写出你猜想的第 个等式(用含 的代数式表示），并证明其正确性.
13．（2017八下·巢湖期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如 的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m,ab=n，这样( )2+( )2=m · =n,那么便有 = = ± (a>b) ．例如：化简 解：首先把 化为 ，这里m=7,n=12；由于4+3=7,4×3=12,即( )2+( )2=7 · = ，
∴ = = =2+ ．
由上述例题的方法化简：
（1）
（2）
（3）
14．（2020八下·江夏月考）如图，在平面直角坐标系中，点A( ，0)，AB⊥ 轴，且AB=10，点C（0，b）， ，b满足 .点P（t，0）是线段AO上一点（不包含A，O）
（1）当t=5时，求PB：PC的值；
（2）当PC+PB最小时，求t的值；
（3）请根据以上的启发，解决如下问题：正数m，n满足m+n=10，且正数 = ，则正数 的最小值= .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】最简二次根式应满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.A选项中被开方数含有分母；B选项被开方数含有能开得尽方的因数4；C选项被开方数含有能开得尽方的因式 .只有D选项符合最简二次根式的两个条件，故答案应选择D.
【分析】理解最简二次根式的概念，并能够用于分析具体的题型，是学习数学的一个直接方法．
2．【答案】2027
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
，
当 时， ；
当 时， ；
∴对应的y值的总和是：
=
= ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
3．【答案】5
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，
解得a=3，b=4，
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长= = =5．
故答案为：5．
【分析】根据多个非负数之和为0，那么这些非负数均为0。结合完全平方公式将题目的已知条件转化成a2﹣6a+9=0、b﹣4=0，然后解答出a、b的值，再利用勾股定理即可求解。
4．【答案】解：，
，
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】掌握零指数幂、二次根式化简、合并同类根式、负整数指数幂和去绝对值符号的运算。
5．【答案】解：根据题意，可知 ， ，
由于 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42.再判断是选择加法，还是减法，进而根据完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质即可算出答案.
6．【答案】解：要使y有意义，必须 ，即 ∴ x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
又∵ － ＝ －
＝| |－| |
∵x＝ ，y＝ ，∴ ＜ ．
∴原式＝ － ＝2
当x＝ ，y＝ 时，原式＝2 ＝
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的化简求值
【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x≥0且4x﹣1≥0，解得x= ，此时y= ．即可代入求解．
7．【答案】解：∵ 有意义，∴－ a 3 ≥0， a ≤0，又∵ 有意义，∴ a ≠0，∴ a ＜0，∴原式
【知识点】分式有意义的条件；二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方式非负可得－ a 3 ≥0，所以a ≤0，而分母不为0，则a ≠0，所以a ＜0，然后原式=-.
8．【答案】解：由原式可得x-3=0，x-y+3=0，故解得x=3，y=6，故xy=18．
【知识点】二次根式有意义的条件；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】结合二次根式取值的非负性，判断非负与非负的和如果为0，则每一项均为0，从而求得x、y的值，进一步算出xy的取值．
9．【答案】（1）解：∵，
∴x＋1＝，
∴（x＋1）2＝2，即x2＋2x＋1＝2，
∴x2＋2x＝1，
∴原式＝2x（x2＋2x） 3x＋1
＝2x 3x＋1
＝ x＋1
＝ （ 1）＋1
＝2 ；
（2）解：∵，
∴x 2＝，
∴（x 2）2＝3，
即x2 4x＋4＝3，
∴x2 4x＝ 1或x2＝4x 1，
∴原式＝
＝（16x2 8x＋1 4x2＋x 36x＋9 5x＋5）
＝ [12（4x 1） 48x＋15]
＝（48x 12 48x＋15）
＝×3
＝.
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据阅读材料可将条件x=-1变形得x+1=，再两边分别平方得：x2+2x=1，把所求代数式变形为2x(x2+2x)-3x+1，并整体代换即可求解；
（2）根据阅读材料可将条件变形为x-2=，再两边分别平方得：x2-4x=-1，把所求代数式变形并整体代换即可求解.
10．【答案】（1）；2mn
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵a、m、n均为正整数，
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
即a的值为12或28；
（3）解：①
②
③设 ，
则
，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）设 （其中a、b、m、n均为整数），
则有 ， ；
故答案为： ，2mn；
【分析】（1）根据题意例子给出的方法可直接求出答案；
（2）根据（1）的结论得2mn=6，即mn=3，结合m、n、a都是整数及有理数的乘法法则克的m=1、n=3或m=3、n=1，进而再根据（1）的结论得a=m2+3n2，代入计算即可；
（3）①根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
②根据前面的经验得，进而根据二次根式的性质化简即可；
③设，将该式两边同时平方得，而，进而化简得，最后直接开平方，并结合二次根式的非负性即可得出答案.
11．【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
12．【答案】（1）7×9
（2）解：第n个等式： .
证明：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：7×9；
【分析】（1）根据平方差公式将被开方数写成两个数的和与这两个数的差的积，进而根据二次根式的性质化简即可得出答案；
（2）通过数据变化规律，发现等式左边是一个二次根式，其被开方数是两个数的平方差，被减数的底数是（2n）2+1，减数的底数就是（4n），等式的右边是两个连续奇数的乘积，第一个奇数是（2n-1），第二个奇数是（2n+1，），根据总结的规律写出结论，进而根据（1）的解法进行证明即可.
13．【答案】（1）解: = = -
（2）解: = = = -
（3）解: = =
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）（2）（3）根据题中所给的化简方式进行化简即可。
14．【答案】（1）
，解得
将 代入得，
当 时，则
轴
故 的值为 ；
（2）如图1，作点B关于x轴的对称点 ，过点 作 轴于点D，连接 ， 交x轴于点
由轴对称的性质得：
由两点之间线段最短得：当点P与点 重合时， 最小，最小值为
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
故当 最小时，t的值为15；
（3）
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】（3）由（1）知，
因此，对于 可参照（2）的方法，画出如图2，其中，点B与点 关于x轴对称， 轴，
则
由（2）可知， 的最小值为
即 的最小值为
故答案为： .
【分析】（1）先根据二次根式的被开方数的非负性求出a、b的值，从而可得OA、OC的长，再利用勾股定理分别求出PB、PC的长，从而可得出答案；（2）如图（见解析），作点B关于x轴的对称点 ，从而可得 的长，再根据两点之间线段最短确认 最小时点P的位置，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得；（3）先根据题（1）得出 的式子，可发现与所求的 的形式完全一样，因此，参照题（2）的方法，画出图形，利用几何方法求解即可（与题（2）的思路完全相同）.
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