【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册1.3 二次根式的运算同步练习
一、选择题
1．等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
2．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
3．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、计算题
4．（2023七下·东城期末）计算：
5．（2023八下·界首期末）计算
（1）；
（2）．
6．（2023八下·黄山期末）计算：
（1）
（2）
7．（2023九上·榆树开学考）计算：
三、解答题
8．（2023八上·成都月考）若实数x，y满足．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求的值．
9．（2023九上·苍南模拟）
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
四、实践探究题
10．（2023八上·绥德月考）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请化简：；
（2）利用上面的解法，请化简：；
（3）比较大小：和．
11．（2023八下·志丹期末）在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，
例如：；．
请你根据上述的分析方法，解决下列问题：
（1） ；
（2）若，且均为正整数，则 ；
（3）计算：．
五、综合题
12．（2016七下·新余期中）综合题
（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
， ， ， …
用 表示上述规律为： ；
（2）利用（1）中的结论，求 的值
（3）设x= ，y= 试用含x，y的式子表示 ．
13．解答下列问题：
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
14．（2023八下·赣州期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
（1）计算： ， ；若n为正整数，请你猜想 ．
（2）计算：；
（3）计算：．
15．（2021八下·沧县期中）在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简和；
（2）化简；
（3）若，求4a2﹣8a+1的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
3．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
4．【答案】解：
．
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】根式计算的实质就是根式的化简与合并。
5．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】 (1)先化成最简二次根式，然后合并同类根式；(2)观察到原式为两数和与两数差相乘，可运用平方差公式，简化计算。
6．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】 (1)二次根式化简之后，合并同类根式；(2) 二次根式有理化，去括号后合并。
7．【答案】解：
＝
＝
＝-a2b．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据根式的运算法则进行计算即可。运算结果一定要化为最简二次根式。
8．【答案】（1）解：．
∴．
∴①
同理得：②
①＋②得：，∴．
（2）解：把代入①，得，∴．
则
．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先求出，再利用二次根式有理化的计算方法可得，再求出，最后相加并化简可得；
（2）将代入，求出，再将其代入计算即可.
9．【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.
10．【答案】（1）解：解：；
（2）解：
；
（3）解：因为，，
且，
所以，
即．
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】 (1)观察上面的解答过程，从中发现规律，写出，并化为最简；
（2）利用（1）得到的公式，直接写出前100项，再合并同类二次根式即可；
（3）利用（1）逆向推得相应的式子，比较分母的大小即可得出原来两式的大小.
11．【答案】（1）
（2）18
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）∵ ，
，
∴
∵均为正整数，
∴m+n=18，即a=18；
故答案为：18；
【分析】（1）利用题中的方法，把10分成7与3的和，把21分成7与3的积，然后利用完全平方公式写成平方式即可；
（2）利用完全平方公式把等式右边展开，则m+ n=a，mn=17，然后根据a、m、n都是正整数，确定m和n的值，再计算对应的a的值；
（3）先提取公因数4，再开方，再利用题中的方法，把8分成3与5的和，把15分成3与5的积，然后利用完全平方公式写成平方式，即可化简.
12．【答案】（1）=；=；=；=； （a≥0，b≥0）；
（2）解：
=
=
=2；
（3）解：∵x= ，y= ，
∴ =
=
=x x y
=x2y．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（1）解：∵ =2×4=8， = =8，
∴ = ，
= ，
=
，
故答案为：=，=，=，=， （a≥0，b≥0）；
【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；（3）先分解质因数，再根据规律得出 ，即可得出答案．
13．【答案】（1）解答： ，
，
故 ＜
（2）解答： ，
，
故 ＜
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化
【解析】【分析】此题主要考查了通过二次根式的分母有理化进行分式的大小比较，这一方法是数学中常用的方法和思想
14．【答案】（1）；；
（2）解：
．
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1） ；
；
；
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）将各式中分子、分母同乘以有理化因式，再化简整理即可；
（2）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可；
（3）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可.
15．【答案】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：原式
；
（3）解：，
，
，
即．
．
．
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的加减计算即可；
（3）先利用分式有理数化简可得a的值，再将a的值代入4a2﹣8a+1求解即可。
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册1.3 二次根式的运算同步练习
一、选择题
1．等式 成立的条件是( ).
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除法
【解析】解答：由二次根式的概念可知，被开方数非负，于是 ，解得 x≥1 .
故答案为：A
分析：根据题意列出关于x的不等式组，并正确求解即可求出正确答案
2．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
3．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
二、计算题
4．（2023七下·东城期末）计算：
【答案】解：
．
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】根式计算的实质就是根式的化简与合并。
5．（2023八下·界首期末）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】 (1)先化成最简二次根式，然后合并同类根式；(2)观察到原式为两数和与两数差相乘，可运用平方差公式，简化计算。
6．（2023八下·黄山期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
【知识点】最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】 (1)二次根式化简之后，合并同类根式；(2) 二次根式有理化，去括号后合并。
7．（2023九上·榆树开学考）计算：
【答案】解：
＝
＝
＝-a2b．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据根式的运算法则进行计算即可。运算结果一定要化为最简二次根式。
三、解答题
8．（2023八上·成都月考）若实数x，y满足．
（1）求x，y之间的数量关系；
（2）求的值．
【答案】（1）解：．
∴．
∴①
同理得：②
①＋②得：，∴．
（2）解：把代入①，得，∴．
则
．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）先求出，再利用二次根式有理化的计算方法可得，再求出，最后相加并化简可得；
（2）将代入，求出，再将其代入计算即可.
9．（2023九上·苍南模拟）
（1）已知方程①+=，②++=3请判断这两个方程是否有解 并说明理由；
（2）已知+=2023，求的值。
【答案】（1）解：理由是：①由x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023∵x≥2023，∴+的最小值为>，方程①无解
②由 x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024当x≥2024时，
++的最小值为+1<3，：方程有解
（2）解：+=2023 (1)
设=y (2)
由(1)×(2)得到：(3x+2023)-（3x-2023）=2023y∴y=2
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的应用
【解析】【分析】(1)①x+2023与x-2023在有意义的前提下均为单调递增的表达式，因为被开方式为非负数，所以x+2023≥0，x-2023≥0得x≥2023，故x=2023时，x+2023+x-2023的最小值为>，方程①无解.
②x-2022+ x-2023+ x-2024同①理，有意义的前提下为单调递增的表达式，由x-2023≥0，x-2023≥0，x-2022≥0得x≥2024，故x=2024时，x-2022+ x-2023+ x-2024的最小值为2+1<3，方程②有解.
(2)由 3x+2023+3x-2023=2023，及所求代数式3x+2023-3x-2023的形式，很容易联想到平方差公式（a+b)(a-b)=a2-b2，于是3x+2023-3x-2023=y ，得(3x+2023)-（3x-2023）=2023y，y=2.
四、实践探究题
10．（2023八上·绥德月考）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请化简：；
（2）利用上面的解法，请化简：；
（3）比较大小：和．
【答案】（1）解：解：；
（2）解：
；
（3）解：因为，，
且，
所以，
即．
【知识点】分母有理化
【解析】【分析】 (1)观察上面的解答过程，从中发现规律，写出，并化为最简；
（2）利用（1）得到的公式，直接写出前100项，再合并同类二次根式即可；
（3）利用（1）逆向推得相应的式子，比较分母的大小即可得出原来两式的大小.
11．（2023八下·志丹期末）在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方，
例如：；．
请你根据上述的分析方法，解决下列问题：
（1） ；
（2）若，且均为正整数，则 ；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）18
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）∵ ，
，
∴
∵均为正整数，
∴m+n=18，即a=18；
故答案为：18；
【分析】（1）利用题中的方法，把10分成7与3的和，把21分成7与3的积，然后利用完全平方公式写成平方式即可；
（2）利用完全平方公式把等式右边展开，则m+ n=a，mn=17，然后根据a、m、n都是正整数，确定m和n的值，再计算对应的a的值；
（3）先提取公因数4，再开方，再利用题中的方法，把8分成3与5的和，把15分成3与5的积，然后利用完全平方公式写成平方式，即可化简.
五、综合题
12．（2016七下·新余期中）综合题
（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
， ， ， …
用 表示上述规律为： ；
（2）利用（1）中的结论，求 的值
（3）设x= ，y= 试用含x，y的式子表示 ．
【答案】（1）=；=；=；=； （a≥0，b≥0）；
（2）解：
=
=
=2；
（3）解：∵x= ，y= ，
∴ =
=
=x x y
=x2y．
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：（1）解：∵ =2×4=8， = =8，
∴ = ，
= ，
=
，
故答案为：=，=，=，=， （a≥0，b≥0）；
【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；（3）先分解质因数，再根据规律得出 ，即可得出答案．
13．解答下列问题：
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
【答案】（1）解答： ，
，
故 ＜
（2）解答： ，
，
故 ＜
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化
【解析】【分析】此题主要考查了通过二次根式的分母有理化进行分式的大小比较，这一方法是数学中常用的方法和思想
14．（2023八下·赣州期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
（1）计算： ， ；若n为正整数，请你猜想 ．
（2）计算：；
（3）计算：．
【答案】（1）；；
（2）解：
．
（3）解：
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1） ；
；
；
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）将各式中分子、分母同乘以有理化因式，再化简整理即可；
（2）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可；
（3）将括号内的每一项进行分母有理化，再相加减，最后利用平方差公式计算即可.
15．（2021八下·沧县期中）在数学课外学习活动中，嘉琪遇到一道题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据嘉琪的解题过程，解决如下问题：
（1）试化简和；
（2）化简；
（3）若，求4a2﹣8a+1的值．
【答案】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：原式
；
（3）解：，
，
，
即．
．
．
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的加减计算即可；
（3）先利用分式有理数化简可得a的值，再将a的值代入4a2﹣8a+1求解即可。
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