【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册2.2 一元二次方程的解法同步练习
一、选择题
1．（2023八下·凤阳期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·瑶海期中）关于方程式的两根，下列判断何者正确（ ）
A．一根小于，另一根大于 B．一根小于，另一根大于
C．两根都小于 D．两根都大于
3．（2023八下·庐阳期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·余杭期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则；⑤存在实数，使得．
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤
C．①②③④⑤ D．只有①②③
5．（2023八下·丽水期末）已知关于x的方程，当时，方程的解为（ ）
A．， B．，
C． D．
6．（2023八下·嵊州期中）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或12 C．12 D．10
7．（2019八下·任城期末）方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
二、填空题
8．（2023八下·长沙期末）把方程变形为的形式后， ．
9．（2023八下·洞头）将一元二次方程配方后，变形成，则 。
10．（2020八下·岱岳期中）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是 ．
三、计算题
11．（2023八下·海淀期末）用适当的方法解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
12．（2023八下·长丰期末）用配方法解方程：．
13．（2023八下·夏津期末）解下列方程：
（1）2x2＋6x＋3＝0
（2）(x＋2)2＝3(x＋2)
14．（2023八下·安庆期中）解方程：
四、解答题
15．（2023八下·庐阳期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，
（1）求的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、方程 ，则，所以A有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、方程x2-2x+1=0，即（x-1）2=0，所以x1=x2=1，所以B有两个相等的实数根，符合题意；
C、方程x2-2x-3=0的根的判别式为：（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，所以C有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、解x2-2x=0可得方程的解是x1=0，x2=2，所以D有两个不相等的实数根，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据所给方程的特点，能直接得出方程的解的，可以直接根据解的情况判断，比如A，B，D，稍复杂的方程可不解方程，直接利用根的判别式进行判断方程的解的情况，比如C，然后得出答案即可。
2．【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴或，
故答案为：A.
【分析】根据直接开平方法求出x的值，再判断即可。
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-8x-1=0
∴x2-8x+42-42-1=0
∴（x-4）2-17=0
∴ （x-4）2=17
故答案为：C.
【分析】由配方法步骤解题即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴此方程有一个根是x=1，
∴一元二次方程方程必有实数根，即b2-4ac≥0，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac＞0，
∴b2-4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故②正确；
∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
当c≠0时ac+b+1=0，故③错误；
∵ 若是一元二次方程的根
∴，
∴
∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确；
由，即可看作当x=m与x=n时，函数的值，
结合二次函数图象可知，故当或时，其函数值相等，故⑤正确；
∴正确结论的序号为①②④⑤.
故答案为：A
【分析】利用已知可得到此方程有一个根是x=1，即可得到当a+c+b=0时方程有两个实数根，可对①作出判断；方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，可得到-4ac＞0，由此可确定出b2-4ac的符号，可对②作出判断；将x=c代入方程ax2+bx+c=0，由c≠0可对③作出判断；利用求购呢公式法可得到，将其变形，可对④作出判断；将代数问题转化，即可看作当x=m与x=n时，函数的两个值，结合二次函数对称性，可对⑤作出判断；
5．【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=0，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的求根公式，进行计算，可求出方程的解.
6．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2-11x+30=0，
左边分解因式得（x-5）（x-6）=0，
∴x-5=0或x-6=0，
解得x1=5，x2=6；
当三角形的第三边是5时，2、4、5能围成三角形，此三角形的周长为11；
当三角形的第三边是6时，2、4、6不能围成三角形.
故答案为：A.
【分析】先利用因式分解法求出方程的解，进而分三角形的第三边是5或6两种情况，分别根据三角形的三边关系判断能否围成三角形，对于能围成三角形的再算出其周长即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵a=1，b=-1，c=3，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，
所以方程没有实数根．
故答案为：C．
【分析】把a=1，b=-1，c=3代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
8．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得可化为，
∴h=2，k=0，
∴h+k=2，
故答案为：2
【分析】运用完全平方公式变换方程即可得到h和k的值，再代入即可求解。
9．【答案】11
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-6x+1=0，
∴x2-6x=-1，
∴x2-6x+9=-1+9，
∴(x-3)2=8，
∴m=3，n=8，
∴m+n=8+3=11.
故答案为：11.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上9，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可对方程进行配方，据此可得m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
10．【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】由一元二次方程的定义得：
解得
由题意得：此方程的根的判别式
解得
综上，k的取值范围是 且
故答案为： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式即可得．
11．【答案】（1）解：，
等式两边同时开方，，
，，
∴原方程的解为；，．
（2）解：
移项，，
配方得，，整理得，，
等式两边同时开方，，
，；
（3）解：
∴，
或，
∴，；
（4）解：
，
∴或，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 (1) 因为9能开尽平方，所以用直接开方的办法解题； (2) 可以用配方法，也可以用公式法，但是二次项系数和一次项系数，明显可以配成（x+1）2，因此首选配方法； (3) 题中公因式非常明显是（x-4），用提公因式法； (4) 观察方程的系数，用因式分解（十字相乘）法。
12．【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
，
或，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先将一元二次方程化为一般形式，再利用配方法解方程求解即可。
13．【答案】（1）解：
∴，，，
∴，
∴，
∴x1＝，x2＝
（2）解：
，
，
，
∴或，
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
14．【答案】解：原方程可化为，
，
，
．
∴x-3=0或x-9=0，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
15．【答案】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴且，
∴且
（2）解：∵方程的一个根是，
，
解得，
∴方程为：，即，
解得．
即另一个根为．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】 (1)关于x的方程kx2-2x-1=0有个不相等的实数根，因此k≠0且△=b2-4ac >0，建立关于k的不等式组，解得k值范围即可；
(2)由一元二次方程的解的定义，x=-1代入方程，求出K的值，再解方程即可求得方程的另一个根.
1 / 1【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册2.2 一元二次方程的解法同步练习
一、选择题
1．（2023八下·凤阳期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、方程 ，则，所以A有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、方程x2-2x+1=0，即（x-1）2=0，所以x1=x2=1，所以B有两个相等的实数根，符合题意；
C、方程x2-2x-3=0的根的判别式为：（-2）2-4×1×（-3）=16＞0，所以C有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、解x2-2x=0可得方程的解是x1=0，x2=2，所以D有两个不相等的实数根，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据所给方程的特点，能直接得出方程的解的，可以直接根据解的情况判断，比如A，B，D，稍复杂的方程可不解方程，直接利用根的判别式进行判断方程的解的情况，比如C，然后得出答案即可。
2．（2023八下·瑶海期中）关于方程式的两根，下列判断何者正确（ ）
A．一根小于，另一根大于 B．一根小于，另一根大于
C．两根都小于 D．两根都大于
【答案】A
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴或，
故答案为：A.
【分析】根据直接开平方法求出x的值，再判断即可。
3．（2023八下·庐阳期末）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-8x-1=0
∴x2-8x+42-42-1=0
∴（x-4）2-17=0
∴ （x-4）2=17
故答案为：C.
【分析】由配方法步骤解题即可。
4．（2023八下·余杭期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则；⑤存在实数，使得．
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤
C．①②③④⑤ D．只有①②③
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴此方程有一个根是x=1，
∴一元二次方程方程必有实数根，即b2-4ac≥0，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac＞0，
∴b2-4ac＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故②正确；
∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
当c≠0时ac+b+1=0，故③错误；
∵ 若是一元二次方程的根
∴，
∴
∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确；
由，即可看作当x=m与x=n时，函数的值，
结合二次函数图象可知，故当或时，其函数值相等，故⑤正确；
∴正确结论的序号为①②④⑤.
故答案为：A
【分析】利用已知可得到此方程有一个根是x=1，即可得到当a+c+b=0时方程有两个实数根，可对①作出判断；方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，可得到-4ac＞0，由此可确定出b2-4ac的符号，可对②作出判断；将x=c代入方程ax2+bx+c=0，由c≠0可对③作出判断；利用求购呢公式法可得到，将其变形，可对④作出判断；将代数问题转化，即可看作当x=m与x=n时，函数的两个值，结合二次函数对称性，可对⑤作出判断；
5．（2023八下·丽水期末）已知关于x的方程，当时，方程的解为（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】D
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=0，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的求根公式，进行计算，可求出方程的解.
6．（2023八下·嵊州期中）三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．11 B．11或12 C．12 D．10
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2-11x+30=0，
左边分解因式得（x-5）（x-6）=0，
∴x-5=0或x-6=0，
解得x1=5，x2=6；
当三角形的第三边是5时，2、4、5能围成三角形，此三角形的周长为11；
当三角形的第三边是6时，2、4、6不能围成三角形.
故答案为：A.
【分析】先利用因式分解法求出方程的解，进而分三角形的第三边是5或6两种情况，分别根据三角形的三边关系判断能否围成三角形，对于能围成三角形的再算出其周长即可.
7．（2019八下·任城期末）方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵a=1，b=-1，c=3，
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，
所以方程没有实数根．
故答案为：C．
【分析】把a=1，b=-1，c=3代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
二、填空题
8．（2023八下·长沙期末）把方程变形为的形式后， ．
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得可化为，
∴h=2，k=0，
∴h+k=2，
故答案为：2
【分析】运用完全平方公式变换方程即可得到h和k的值，再代入即可求解。
9．（2023八下·洞头）将一元二次方程配方后，变形成，则 。
【答案】11
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-6x+1=0，
∴x2-6x=-1，
∴x2-6x+9=-1+9，
∴(x-3)2=8，
∴m=3，n=8，
∴m+n=8+3=11.
故答案为：11.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上9，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可对方程进行配方，据此可得m、n的值，然后根据有理数的加法法则进行计算.
10．（2020八下·岱岳期中）若关于x的一元二次方程 有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】由一元二次方程的定义得：
解得
由题意得：此方程的根的判别式
解得
综上，k的取值范围是 且
故答案为： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式即可得．
三、计算题
11．（2023八下·海淀期末）用适当的方法解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
等式两边同时开方，，
，，
∴原方程的解为；，．
（2）解：
移项，，
配方得，，整理得，，
等式两边同时开方，，
，；
（3）解：
∴，
或，
∴，；
（4）解：
，
∴或，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 (1) 因为9能开尽平方，所以用直接开方的办法解题； (2) 可以用配方法，也可以用公式法，但是二次项系数和一次项系数，明显可以配成（x+1）2，因此首选配方法； (3) 题中公因式非常明显是（x-4），用提公因式法； (4) 观察方程的系数，用因式分解（十字相乘）法。
12．（2023八下·长丰期末）用配方法解方程：．
【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
，
或，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先将一元二次方程化为一般形式，再利用配方法解方程求解即可。
13．（2023八下·夏津期末）解下列方程：
（1）2x2＋6x＋3＝0
（2）(x＋2)2＝3(x＋2)
【答案】（1）解：
∴，，，
∴，
∴，
∴x1＝，x2＝
（2）解：
，
，
，
∴或，
∴，
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
14．（2023八下·安庆期中）解方程：
【答案】解：原方程可化为，
，
，
．
∴x-3=0或x-9=0，
∴，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。
四、解答题
15．（2023八下·庐阳期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，
（1）求的取值范围；
（2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值．
【答案】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴且，
∴且
（2）解：∵方程的一个根是，
，
解得，
∴方程为：，即，
解得．
即另一个根为．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】 (1)关于x的方程kx2-2x-1=0有个不相等的实数根，因此k≠0且△=b2-4ac >0，建立关于k的不等式组，解得k值范围即可；
(2)由一元二次方程的解的定义，x=-1代入方程，求出K的值，再解方程即可求得方程的另一个根.
1 / 1
