【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册2.2 一元二次方程的解法同步练习
一、选择题
1．（2019八下·瑞安期末）欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．AC B．AD C．AB D．BC
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解： x2+ax＝b2 ，
即x2+ax-b2=0 ，
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
则
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论。
2．已知实数满足，则的值是（ ）．
A．-2 B．1 C．-1或2 D．-2或1
【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】由方程可得，，
再把看作一个整体运用解一元二次方程的方法求解即可.
【解答】
或
解得或1
故选D.
【点评】解答该类题目的一般思路是先求出x的值，但此题行不通，注意整体思想的灵活运用．
3．（2022八下·高青期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
4．（2022八下·瑶海期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根-1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②符合题意；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③不符合题意；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
5．（2022八下·临淄期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，a×+b×1+c=a+b+c=0，
那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，
故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，
则ac+b+1=0；当c=0，
则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，
由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．
由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根逐项判断即可。
6．（2022八下·杭州月考）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax0+b）2.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵当x＝1时，a+b+c＝0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac≥0成立，
∴①正确，符合题意；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，
∴②正确，符合题意；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
∴当c≠0时，ac+b+1＝0，
当c＝0时，ac+b+1不一定等于0，
∴③不一定正确，不符合题意；
④∵（2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+b2，
∴b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，
∵a≠0，
∴ax02+bx0+c＝0，
∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴ax02+bx0+c＝0成立，
∴④正确，符合题意，
综上所述，说法正确的有①②④．
故答案为：A.
【分析】①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，可推断出②正确；③由c是方程ax2+bx+c＝0得一个根，得ac2+bc+c＝0，因此当c≠0，则ac+b+1＝0，当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，③不一定正确；④由2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+ b2，得b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，从而得ax02+bx0+c＝0，结合x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可判断④正确，据此得出正确选项即可.
7．（2020八下·包河期末）有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程M的判别式 ﹥0，则方程N的判别式 ﹥0，所以方程N也有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
B ．如果方程M有两根符号相同,那么两根之积 ﹥0,所以ac>0，即方程N的两根之积 >0，所以方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；
C. 如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0，所以 ，所以 是方程N的一个根，不符合题意；
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2＋bx＋c=cx2＋bx＋a，整理得(a-c)x2＝a-c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x2=1，x=±1，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“和符合相同，和符号也相同”，即可得出B正确；将x=5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出是方程N的一个根，C正确；用方程M-方程N，可得关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出D错误。
二、填空题
8．（2022八下·长兴月考）商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
9．对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论：
①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6；
②（a*b）#c=c（a*b）；
③a*（b#a）=（a*b）#a；
④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．
正确的是 （填序号即可）
【答案】①②④
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵[2+（﹣5）]#（﹣2）
=（﹣3）#（﹣2）
=6，∴①正确；
∵（a*b）#c=（a+b）#c=（a+b）c=ac+bc，c（a*b）=c（a+b）=ac+bc，
∴②正确；
∵a*（b#a）=a*ab=a+ab，（a*b）#a=（a+b）#a=（a+b）a=a2+ab，
∴③错误；
∵（1*x）#（1#x）=1，
∴（1+x）#（x）=1，
（1+x）x=1，
x2+x﹣1=0，
解得：x2=，x2=，
∵x＞0，
∴x=，∴④正确．
故答案为：①②④．
【分析】先读懂题意，根据题意求出每个式子的左边和右边，再判断是否正确即可．
10．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
11．（2023八下·合肥期末）若实数，满足，则的最大值与最小值之和为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：实数，满足
∴2ab2-2ab+a+4=0
∴
即
∴或
解得：
∴的最大值与最小值之和为-8
故答案为：.
【分析】将式子转化为关于b的一元二次方程，根据判别式大于或等于0，列出不等式，求得a的最值，进而即可求解．
12．（2017八下·丽水期末）在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
【答案】6或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想.
三、解答题
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.1一元二次方程 同步练习）关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
【答案】解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19×4=-8＜0，方程无解．
故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】要判断方程是否为一元二次方程，则要看二次项系数是否为0，则根据判别式判断二次项系数=0时的方程是否有实数解，从而得出结论.
四、综合题
14．（2021八下·鼓楼期末）
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
【答案】（1）解：2ax+b； ，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：① .
.
方程的两个根为 ，
而 ，解得 ，
， .
② .
两边同时除以3得： ，
.
方程的两个根为 ，
而 解得 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：
【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得出结论； 将方程两边同时乘以12再加25，然后移项，再将方程左边写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）①模仿例题解方程即可；② 先将方程两边同时除以3 ，再仿照例题解方程即可.
15．（2021八下·浦东期末）已知点 、 在反比例函数 的图象上，直线 经过点 、 ，且与 轴、 轴的交点分别为 、 两点．
（1）求直线 的解析式；
（2） 为坐标原点，点 在直线上（点 与点 不重合）， ，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 在坐标平面上，顺次联结点 、 、 、 的四边形 满足： ， ，求满足条件的点 坐标．
【答案】（1）解：由题意可得： ， ，
把P、Q坐标代入y=kx+b可得：
，
解之可得：k=-1，b=6，
∴直线 的解析式为 ： ；
所以 ，
（2）解：设 ， ．
， （舍）， ．
（3）解： ，
∴OD的解析式为： ．
设 ，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出 k=-1，b=6， 再求直线解析式和点的坐标即可；
（2）根据AB=AC列方程计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求出 ， ， 最后求点的坐标即可。
16．（2021八下·沂源期中）关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：依题意得，
，
又，
的取值范围是且；
（2）解：不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程的两根分别为，，
由根与系数的关系有：，
又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
，
，
由知，，且，
不符合题意，
因此不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程
【解析】【分析】（1）由一元二次方程的概念及根的判别式列不等式即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系列方程，并对方程的解进行验证即可。
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册2.2 一元二次方程的解法同步练习
一、选择题
1．（2019八下·瑞安期末）欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（ ）
A．AC B．AD C．AB D．BC
2．已知实数满足，则的值是（ ）．
A．-2 B．1 C．-1或2 D．-2或1
3．（2022八下·高青期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
4．（2022八下·瑶海期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则
其中正确的：（ ）
A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④
5．（2022八下·临淄期中）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
6．（2022八下·杭州月考）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=（2ax0+b）2.
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
7．（2020八下·包河期末）有两个一元二次方程：M：ax2＋bx＋c＝0，N：cx2＋bx＋a＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N也有两根符号相同
C．如果5是方程M的一个根，那么 是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的实数根，那么这个根必是x＝1
二、填空题
8．（2022八下·长兴月考）商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
9．对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论：
①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6；
②（a*b）#c=c（a*b）；
③a*（b#a）=（a*b）#a；
④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．
正确的是 （填序号即可）
10．（2020八下·柯桥期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则 的值为 .
11．（2023八下·合肥期末）若实数，满足，则的最大值与最小值之和为 ．
12．（2017八下·丽水期末）在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是
三、解答题
13．（2017-2018学年数学沪科版八年级下册17.1一元二次方程 同步练习）关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．
四、综合题
14．（2021八下·鼓楼期末）
（1）用配方法解一元二次方程除了课本的方法，也可以用下面的配方方式：
将 两边同时乘以 并移项，得到 ，两边再同时加上 ，得（ ▲ ）2 .请用这样的方法解方程： ；
（2）华裔数学家罗博深在2019年提出了一种全新的一元二次方程解法，对于 ，将等式左边进行因式分解，得到以下形式：
（从这里可以看出方程的解为 ， ）
即
因为 ，所以 、 的平均数为 ，不妨设 ， ，
利用 ，得 ，所以 ，即能求出 的值.
举例如下：解一元二次方程 ，由于 ，所以方程的两个根为 ，而 ，解得 ，所以方程的解为 ， .
请运用以上方法解如下方程① ；②
15．（2021八下·浦东期末）已知点 、 在反比例函数 的图象上，直线 经过点 、 ，且与 轴、 轴的交点分别为 、 两点．
（1）求直线 的解析式；
（2） 为坐标原点，点 在直线上（点 与点 不重合）， ，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点 在坐标平面上，顺次联结点 、 、 、 的四边形 满足： ， ，求满足条件的点 坐标．
16．（2021八下·沂源期中）关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；配方法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解： x2+ax＝b2 ，
即x2+ax-b2=0 ，
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
则
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论。
2．【答案】D
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】由方程可得，，
再把看作一个整体运用解一元二次方程的方法求解即可.
【解答】
或
解得或1
故选D.
【点评】解答该类题目的一般思路是先求出x的值，但此题行不通，注意整体思想的灵活运用．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④（2ax0+b）2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】①将x=1代入方程可得a+b+c=0，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，即得△≥0，故①正确；②由方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则△=-4ac＞0，即得b2-4ac＞0，从而得方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，故正确；③将x=c代入中，可得c(ac+b+1)=0，只有当c≠0，则ac+b+1=0，故③不一定正确；④由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0，即得x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，故此项正确.
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由，表明方程有实数根-1，表明一元二次方程有实数解，则，故①符合题意；
∵方程有两个不相等的实根，
∴方程有两个不相等的实根，
即a与c异号．
∴-ac>0，
∴，
∴方程必有两个不相等的实根；
故②符合题意；
∵是方程的一个根，
∴，
即
当时，一定有成立；
当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则；
故③不符合题意；
∵是一元二次方程的根，
∴，
∴，
∴，
故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程的根、一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，a×+b×1+c=a+b+c=0，
那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，
故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，
则ac+b+1=0；当c=0，
则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，
由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．
由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的根逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①∵当x＝1时，a+b+c＝0，
∴x=1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac≥0成立，
∴①正确，符合题意；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，
∴②正确，符合题意；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，
∴当c≠0时，ac+b+1＝0，
当c＝0时，ac+b+1不一定等于0，
∴③不一定正确，不符合题意；
④∵（2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+b2，
∴b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，
∵a≠0，
∴ax02+bx0+c＝0，
∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴ax02+bx0+c＝0成立，
∴④正确，符合题意，
综上所述，说法正确的有①②④．
故答案为：A.
【分析】①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，可推断出②正确；③由c是方程ax2+bx+c＝0得一个根，得ac2+bc+c＝0，因此当c≠0，则ac+b+1＝0，当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，③不一定正确；④由2ax0+b）2＝4a2x02+4abx0+ b2，得b2﹣4ac＝4a2x02+4abx0+b2，从而得ax02+bx0+c＝0，结合x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可判断④正确，据此得出正确选项即可.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程M的判别式 ﹥0，则方程N的判别式 ﹥0，所以方程N也有两个不相等的实数根，本选项不符合题意；
B ．如果方程M有两根符号相同,那么两根之积 ﹥0,所以ac>0，即方程N的两根之积 >0，所以方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；
C. 如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0，所以 ，所以 是方程N的一个根，不符合题意；
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2＋bx＋c=cx2＋bx＋a，整理得(a-c)x2＝a-c，当a=c时，x为任意数；当a≠c时，x2=1，x=±1，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；根据“和符合相同，和符号也相同”，即可得出B正确；将x=5代入方程M中，方程两边同时除以25即可得出是方程N的一个根，C正确；用方程M-方程N，可得关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出D错误。
8．【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
【分析】先由得3（c-a）2=（b-a）（b-c），再由c=a+k（b-a）得c-a=k（b-a），即可得3
=（b-a）（b-c），再利用b-a≠0进行化简得3k2（b-a）=b-c，把c=a+k（b-a）代入得到关于k的一元二次方程3k2+k-1=0，解出k值，最后通过0≤k≤1求得符合条件的k值即可.
9．【答案】①②④
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵[2+（﹣5）]#（﹣2）
=（﹣3）#（﹣2）
=6，∴①正确；
∵（a*b）#c=（a+b）#c=（a+b）c=ac+bc，c（a*b）=c（a+b）=ac+bc，
∴②正确；
∵a*（b#a）=a*ab=a+ab，（a*b）#a=（a+b）#a=（a+b）a=a2+ab，
∴③错误；
∵（1*x）#（1#x）=1，
∴（1+x）#（x）=1，
（1+x）x=1，
x2+x﹣1=0，
解得：x2=，x2=，
∵x＞0，
∴x=，∴④正确．
故答案为：①②④．
【分析】先读懂题意，根据题意求出每个式子的左边和右边，再判断是否正确即可．
10．【答案】4或1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：整理（x﹣1）（mx﹣n）＝0得：mx2﹣（m+n）x+n＝0，
∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，
∴[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，
∴m2﹣ mn+n2＝0，即2m2﹣5mn+2n2＝0，
∴（2m﹣n）（m﹣2n）＝0，
∴2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，
∴m＝ n或m＝2n，
∴ 的值为4或1.
故答案为：4或1.
【分析】将方程（x﹣1）（mx﹣n）＝0整理成一般式，再根据“倍根方程”的定义，找出[﹣（m+n）]2﹣ m n＝0，整理后即可得出2m2﹣5mn+2n2＝0，即可求得2m﹣n＝0或m﹣2n＝0，进而求得 的值为4或1.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：实数，满足
∴2ab2-2ab+a+4=0
∴
即
∴或
解得：
∴的最大值与最小值之和为-8
故答案为：.
【分析】将式子转化为关于b的一元二次方程，根据判别式大于或等于0，列出不等式，求得a的最值，进而即可求解．
12．【答案】6或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想.
13．【答案】解：方程m2-8m+19=0中，b2-4ac=64-19×4=-8＜0，方程无解．
故关于x的方程（m2-8m+19）x2-2mx-13=0一定是一元二次方程．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】要判断方程是否为一元二次方程，则要看二次项系数是否为0，则根据判别式判断二次项系数=0时的方程是否有实数解，从而得出结论.
14．【答案】（1）解：2ax+b； ，
两边同时乘以12再加25，移项得：
.
.
，
（2）解：① .
.
方程的两个根为 ，
而 ，解得 ，
， .
② .
两边同时除以3得： ，
.
方程的两个根为 ，
而 解得 ，
， .
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
故答案为：
【分析】（1）利用完全平方公式将等号左边因式分解即可得出结论； 将方程两边同时乘以12再加25，然后移项，再将方程左边写成完全平方式，然后利用直接开平方法解方程即可；
（2）①模仿例题解方程即可；② 先将方程两边同时除以3 ，再仿照例题解方程即可.
15．【答案】（1）解：由题意可得： ， ，
把P、Q坐标代入y=kx+b可得：
，
解之可得：k=-1，b=6，
∴直线 的解析式为 ： ；
所以 ，
（2）解：设 ， ．
， （舍）， ．
（3）解： ，
∴OD的解析式为： ．
设 ，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出 k=-1，b=6， 再求直线解析式和点的坐标即可；
（2）根据AB=AC列方程计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求出 ， ， 最后求点的坐标即可。
16．【答案】（1）解：依题意得，
，
又，
的取值范围是且；
（2）解：不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程的两根分别为，，
由根与系数的关系有：，
又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
，
，
由知，，且，
不符合题意，
因此不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程
【解析】【分析】（1）由一元二次方程的概念及根的判别式列不等式即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系列方程，并对方程的解进行验证即可。
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