【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册2.3 一元二次方程的应用同步练习
一、填空题
1．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元.
二、解答题
2．（2023八下·石景山期末）一个矩形的长为a，宽为b(a＞0，b＞0)，则矩形的面积为a b.代数式xy(x＞0，y＞0)可以看作是边长为x和y的矩形的面积.我们可以由此解一元二次方程：x2+x-6＝0(x＞0).具体过程如下：
①方程变形为x(x+1)＝6.
②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+1)2，又SABCD＝4x(x+1)+12.
∴(x+x+1)2＝4x(x+1)+1，又x(x+1)＝6，
∴(2x+1)2＝25，
∵x＞0，
∴x＝2.
参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx-n＝0的解(x＞0，m＞0，n＞0).(要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤)
3．（2020八下·绍兴月考）某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
4．（2020八下·泰顺开学考）在新冠肺炎流行中，某商家预测库存的带防护面罩的遮阳帽将能畅销市场预计平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，回笼资金，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个遮阳帽每降价1元，商场平均每天可多售出2个，若商场平均每天要赢利1200元，每个遮阳帽应降价多少元？
5．（2022八下·临淄期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
三、综合题
6．（2015八下·嵊州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．点P，Q同时由B，A两点出发，分别沿射线BC，AC方向以1cm/s的速度匀速运动．
（1）几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？
（2）连结BQ，几秒后△BPQ是等腰三角形？
7．（2015八下·江东期中）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过6秒后，BP= cm，BQ= cm；
（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（3）经过几秒△BPQ的面积等于 cm2？
8．（2015八下·杭州期中）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过 秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．
9．（2022八下·潜山期末）我市大力发展经济作物，其中果树种植己初具规模，但是今年受气候、雨水等因素的影响，“开心农场”里的蓝莓较去年有所减产，而黄桃却有所增产．
（1）该农场今年收获蓝莓和黄桃共500千克，其中黄桃的产量不超过蓝莓产量的4倍，求该农场今年收获蓝莓至少多少千克？
（2）该农场把今年收获的蓝莓和黄桃两种水果的一部分运往市场销售，已知去年蓝莓的市场销售量为300千克，销售均价为50元/千克，黄桃的市场销售量为600千克，销售均价为30元千克，今年蓝莓的市场销售量比去年减少了，销售均价比去年提高10元/千克，黄桃的市场销售量比去年增加了，但销售均价比去年减少了．农场今年蓝莓和黄桃的市场销售总金额比去年蓝莓和黄桃的市场销售总金额少6000元，求p的值．
10．（2022八下·梧州期中）2019年小王看中了某楼盘以12000元每平方米的均价对外销售面积为100平方米的某户型，由于资金不足，决定等两年再考虑买房.自2019年底出现疫情以来，商品房价格下调，2021年的该户型的均价为9720元每平方米 .
（1）求这一户型的均价平均每年下调的百分率；
（2）进入2022年后小王得知该户型仍有少量库存在售，单价较2021年的均价再次下调相同的百分率.小王计算了一下自己的资金，在过去的24个月中，每月固定存相相同数量的资金（存入的资金是100的整数倍），加上原有积蓄30万元，还可以向银行贷款50万元，可以凑齐房款，请问小王在过去的两年中每月至少固定存入多少钱？
11．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元
12．（2023八下·定远期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒后，的长度为；
（2）几秒后，的面积为；
（3） 的面积能否为？请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】9
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]=1250，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250，
整理得：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∴10﹣1=9．
故答案为：9
【分析】根据题意可得每件纪念品的利润为：（10﹣x﹣6）元，第二周的销量为（200+50x）件，清仓处理的利润为（4-6）（200-50x）元，再将第一第二周、清仓处理的利润相加表示出总利润，进而得出等式求出答案.
2．【答案】解：①方程变形为x(x+m)＝n；
②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+m)2，又SABCD＝4x(x+m)+m2.
∴(x+x+m)2＝4x(x+m)+m2，又x(x+m)＝n，
∴(2x+m)2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝(-m)(m＞0，n＞0).
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题目中解一元二次方程的具体过程即可求解。
3．【答案】解：设每件商品定价为x元．
①当x≥40时，(x-24)[480-20(x-40)]=7680，
解得：x1=40，x2=48；
②当x<40时，(x-24)[480+40(40-x)]=7680，
解得：x1=40（舍去），x2=36．
答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】分两种情况讨论， ①当x≥40时， 每件利润为 (x-24) 元，因为少售出20(x-40) 件，则售出的数量为 [480-20(x-40)]件，再根据“总利润=每件利润×售出数量”列方程求解即可；②当x<40时，每件利润为 (x-24) 元，因为多售出40(40-x) 件，最后根据“总利润=每件利润×售出数量”列方程求解即可.
4．【答案】解：设每个遮阳帽应降价x元，由题意可得：
化简可得：
解得： =10， =20，
答：应降价10元或20元，
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意，设每个遮阳帽应降价x元，则每个遮阳帽的利润为（40-x）元，每天销售的数量为（20+2x）个，根据总利润=每件商品的利润×销售数量列出方程，求解并检验即可.
5．【答案】解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，即3t2-32t+144=0，
此时，△=（-32）2-4×3×144=-704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，再分类讨论：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122，再分别求解即可。
6．【答案】（1）解：设运动x秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半，
当0＜x＜6时，
S△ABC= ×AC BC= ×6×8=24，
即： ×（8﹣x）×（6﹣x）= ×24，
x2﹣14x+24=0，
（x﹣2）（x﹣12）=0，
x1=12（舍去），x2=2；
当6＜x＜8时，
×（8﹣x）×（x﹣6）= ×24，
x2﹣14x+72=0，
b2﹣4ac=196﹣288=﹣92＜0，
∴此方程无实数根，
当x＞8时，
S△ABC= ×AC BC= ×6×8=24，
即： ×（x﹣8）×（x﹣6）= ×24，
x2﹣14x+24=0，
（x﹣2）（x﹣12）=0，
x1=12，x2=2（舍去），
所以，当2秒或12秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半
（2）解：设t秒后△BPQ是等腰三角形，
①当BP=BQ时，t2=62+（8﹣t）2，
解得：t= ；
②当PQ=BQ时，（6﹣t）2+（8﹣t）2=62+（8﹣t）2，
解得：t=12；
③当BP=PQ时，t2=（6﹣t）2+（8﹣t）2，
解得：t=14±4 ．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，当0＜x＜6时，当6＜x＜8时，当x＞8时，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）分别根据①当BP=BQ时，②当PQ=BQ时，③当BP=PQ时，利用勾股定理求出即可．
7．【答案】（1）6；12
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12﹣x，BQ=2x，
∴12﹣x=2×2x，
∴x= ，
当∠QPB=90°时，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12﹣x），
x=6
答6秒或 秒时，△BPQ是直角三角形
（3）解：作QD⊥AB于D，
∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB= BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ= x，
∴ ，
解得；x1=10，x2=2，
∵x=10时，2x＞12，故舍去
∴x=2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于 cm2．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意，得
AP=6cm，BQ=12cm．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，
∴BP=12﹣6=6cm．
故答案为：6、12．
【分析】（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论；（2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论；（3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可．
8．【答案】（1）解：经过 秒时，AP= cm，BQ= cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=3﹣ = cm，
∴△PBQ的面积= BP BQ sin∠B= × × × =
（2）解：设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ= BP，
即t= （3﹣t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP= BQ，
3﹣t= t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形
（3）解：过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B= ，
∴PM=PB sin∠B= （3﹣t），
∴S△PBQ= BQ PM= t （3﹣t），
∴y=S△ABC﹣S△PBQ= ×32× ﹣ ×t× （3﹣t）
= t2﹣ t+ ，
∴y与t的关系式为y= t2﹣ t+ ，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ，
则S四边形APQC= S△ABC，
∴ t2﹣ t+ = × ×32× ，
∴t2﹣3t+3=0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的 ．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面积公式进行解答即可；（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．（3）本题可先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可
9．【答案】（1）解：设该农场今年收获蓝莓x千克，由题意得：，解得，答：该农场今年收获蓝莓至少100千克；
（2）解：由题意得：，令，整理得：，解得或（舍去），所以即．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该农场今年收获蓝莓x千克，根据题意列出不等式求解即可；
（2）根据题意列出方程，再求解即可。
10．【答案】（1）解：设平均每年下调的百分率为x，
根据题意，得
解得 ， （舍去）
答：这一户型的均价平均每年下调的百分率为10%；
（2）解：设小王每月存进y元，
由题意得：24y+300000+500000≥100×9720×（1-10%），
解得 ，
∵y是100的整数倍，
∴y的最小值为3200元，
∴小王这两年每月至少固定存入3200元.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，由题意可得2021年的该户型的均价为12000(1-x)2，然后结合2021年的该户型的均价为9720元/m2列出方程，求解即可；
（2）设小王每月存进y元，则两年可存入24y元，总房款为100×9720×(1-10%)元，然后根据存入的钱数+原有的积蓄+可以向银行贷款的钱数≥总房款列出不等式，求出y的范围，结合y是100的整数倍可得y的最小值.
11．【答案】（1）解：设一次函数关系式为y=kx+b.
当x=2时，y=120；当x=4时，y=140.
∴ 解得
∴ 与 之间的函数关系式为
（2）解：由题意得： ，
整理，得 ，
解得 .
∵让顾客得到更大的实惠，
∴
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设一次函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出方程，解方程求出x的值，再根据让顾客得到更大的实惠，即可得出答案.
12．【答案】（1）解：设点 运动的时间为 ，则 ， ， ，
根据勾股定理，得 ，
即 ，解得t＝3或 （舍去），
故 后， 的长度为 ．
（2）解：由 ，得 ，解得 或 ，
故 或 后， 的面积等于 ．
（3）解：不能，理由如下：
当 时，即 ，
，整理，得 ，
∵ ，
∴方程没有实数根，
∴ 的面积不可能等于 ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设点 运动的时间为 ，则 ， ， ， 根据勾股定理得 ，据此建立关于t方程并解之即可；
（2）不能，理由：当△PBQ的面积= ，据此建立关于t方程，根据方程没有实数根即可判断.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册2.3 一元二次方程的应用同步练习
一、填空题
1．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为 元.
【答案】9
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]=1250，
即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250，
整理得：x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∴10﹣1=9．
故答案为：9
【分析】根据题意可得每件纪念品的利润为：（10﹣x﹣6）元，第二周的销量为（200+50x）件，清仓处理的利润为（4-6）（200-50x）元，再将第一第二周、清仓处理的利润相加表示出总利润，进而得出等式求出答案.
二、解答题
2．（2023八下·石景山期末）一个矩形的长为a，宽为b(a＞0，b＞0)，则矩形的面积为a b.代数式xy(x＞0，y＞0)可以看作是边长为x和y的矩形的面积.我们可以由此解一元二次方程：x2+x-6＝0(x＞0).具体过程如下：
①方程变形为x(x+1)＝6.
②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+1)2，又SABCD＝4x(x+1)+12.
∴(x+x+1)2＝4x(x+1)+1，又x(x+1)＝6，
∴(2x+1)2＝25，
∵x＞0，
∴x＝2.
参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx-n＝0的解(x＞0，m＞0，n＞0).(要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤)
【答案】解：①方程变形为x(x+m)＝n；
②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+m)2，又SABCD＝4x(x+m)+m2.
∴(x+x+m)2＝4x(x+m)+m2，又x(x+m)＝n，
∴(2x+m)2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝(-m)(m＞0，n＞0).
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】根据题目中解一元二次方程的具体过程即可求解。
3．（2020八下·绍兴月考）某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
【答案】解：设每件商品定价为x元．
①当x≥40时，(x-24)[480-20(x-40)]=7680，
解得：x1=40，x2=48；
②当x<40时，(x-24)[480+40(40-x)]=7680，
解得：x1=40（舍去），x2=36．
答：要使该商品每天获利7680元，应定价为36元/件、40元/件或48元/件．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】分两种情况讨论， ①当x≥40时， 每件利润为 (x-24) 元，因为少售出20(x-40) 件，则售出的数量为 [480-20(x-40)]件，再根据“总利润=每件利润×售出数量”列方程求解即可；②当x<40时，每件利润为 (x-24) 元，因为多售出40(40-x) 件，最后根据“总利润=每件利润×售出数量”列方程求解即可.
4．（2020八下·泰顺开学考）在新冠肺炎流行中，某商家预测库存的带防护面罩的遮阳帽将能畅销市场预计平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，回笼资金，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个遮阳帽每降价1元，商场平均每天可多售出2个，若商场平均每天要赢利1200元，每个遮阳帽应降价多少元？
【答案】解：设每个遮阳帽应降价x元，由题意可得：
化简可得：
解得： =10， =20，
答：应降价10元或20元，
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意，设每个遮阳帽应降价x元，则每个遮阳帽的利润为（40-x）元，每天销售的数量为（20+2x）个，根据总利润=每件商品的利润×销售数量列出方程，求解并检验即可.
5．（2022八下·临淄期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
【答案】解：过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，
由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，即3t2-32t+144=0，
此时，△=（-32）2-4×3×144=-704＜0，所以此方程无解，
∴BP≠BQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得t1=，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当t=或t=时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，再分类讨论：①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122，再分别求解即可。
三、综合题
6．（2015八下·嵊州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．点P，Q同时由B，A两点出发，分别沿射线BC，AC方向以1cm/s的速度匀速运动．
（1）几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？
（2）连结BQ，几秒后△BPQ是等腰三角形？
【答案】（1）解：设运动x秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半，
当0＜x＜6时，
S△ABC= ×AC BC= ×6×8=24，
即： ×（8﹣x）×（6﹣x）= ×24，
x2﹣14x+24=0，
（x﹣2）（x﹣12）=0，
x1=12（舍去），x2=2；
当6＜x＜8时，
×（8﹣x）×（x﹣6）= ×24，
x2﹣14x+72=0，
b2﹣4ac=196﹣288=﹣92＜0，
∴此方程无实数根，
当x＞8时，
S△ABC= ×AC BC= ×6×8=24，
即： ×（x﹣8）×（x﹣6）= ×24，
x2﹣14x+24=0，
（x﹣2）（x﹣12）=0，
x1=12，x2=2（舍去），
所以，当2秒或12秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半
（2）解：设t秒后△BPQ是等腰三角形，
①当BP=BQ时，t2=62+（8﹣t）2，
解得：t= ；
②当PQ=BQ时，（6﹣t）2+（8﹣t）2=62+（8﹣t）2，
解得：t=12；
③当BP=PQ时，t2=（6﹣t）2+（8﹣t）2，
解得：t=14±4 ．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，当0＜x＜6时，当6＜x＜8时，当x＞8时，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）分别根据①当BP=BQ时，②当PQ=BQ时，③当BP=PQ时，利用勾股定理求出即可．
7．（2015八下·江东期中）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
（1）经过6秒后，BP= cm，BQ= cm；
（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
（3）经过几秒△BPQ的面积等于 cm2？
【答案】（1）6；12
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12﹣x，BQ=2x，
∴12﹣x=2×2x，
∴x= ，
当∠QPB=90°时，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12﹣x），
x=6
答6秒或 秒时，△BPQ是直角三角形
（3）解：作QD⊥AB于D，
∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB= BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ= x，
∴ ，
解得；x1=10，x2=2，
∵x=10时，2x＞12，故舍去
∴x=2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于 cm2．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意，得
AP=6cm，BQ=12cm．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，
∴BP=12﹣6=6cm．
故答案为：6、12．
【分析】（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论；（2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论；（3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可．
8．（2015八下·杭州期中）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过 秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．
【答案】（1）解：经过 秒时，AP= cm，BQ= cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=3﹣ = cm，
∴△PBQ的面积= BP BQ sin∠B= × × × =
（2）解：设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ= BP，
即t= （3﹣t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP= BQ，
3﹣t= t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形
（3）解：过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B= ，
∴PM=PB sin∠B= （3﹣t），
∴S△PBQ= BQ PM= t （3﹣t），
∴y=S△ABC﹣S△PBQ= ×32× ﹣ ×t× （3﹣t）
= t2﹣ t+ ，
∴y与t的关系式为y= t2﹣ t+ ，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ，
则S四边形APQC= S△ABC，
∴ t2﹣ t+ = × ×32× ，
∴t2﹣3t+3=0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的 ．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间，求出BQ，AP的值，再求出BP的值，然后利用三角形的面积公式进行解答即可；（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．（3）本题可先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式，然后另y等于三角形ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可
9．（2022八下·潜山期末）我市大力发展经济作物，其中果树种植己初具规模，但是今年受气候、雨水等因素的影响，“开心农场”里的蓝莓较去年有所减产，而黄桃却有所增产．
（1）该农场今年收获蓝莓和黄桃共500千克，其中黄桃的产量不超过蓝莓产量的4倍，求该农场今年收获蓝莓至少多少千克？
（2）该农场把今年收获的蓝莓和黄桃两种水果的一部分运往市场销售，已知去年蓝莓的市场销售量为300千克，销售均价为50元/千克，黄桃的市场销售量为600千克，销售均价为30元千克，今年蓝莓的市场销售量比去年减少了，销售均价比去年提高10元/千克，黄桃的市场销售量比去年增加了，但销售均价比去年减少了．农场今年蓝莓和黄桃的市场销售总金额比去年蓝莓和黄桃的市场销售总金额少6000元，求p的值．
【答案】（1）解：设该农场今年收获蓝莓x千克，由题意得：，解得，答：该农场今年收获蓝莓至少100千克；
（2）解：由题意得：，令，整理得：，解得或（舍去），所以即．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设该农场今年收获蓝莓x千克，根据题意列出不等式求解即可；
（2）根据题意列出方程，再求解即可。
10．（2022八下·梧州期中）2019年小王看中了某楼盘以12000元每平方米的均价对外销售面积为100平方米的某户型，由于资金不足，决定等两年再考虑买房.自2019年底出现疫情以来，商品房价格下调，2021年的该户型的均价为9720元每平方米 .
（1）求这一户型的均价平均每年下调的百分率；
（2）进入2022年后小王得知该户型仍有少量库存在售，单价较2021年的均价再次下调相同的百分率.小王计算了一下自己的资金，在过去的24个月中，每月固定存相相同数量的资金（存入的资金是100的整数倍），加上原有积蓄30万元，还可以向银行贷款50万元，可以凑齐房款，请问小王在过去的两年中每月至少固定存入多少钱？
【答案】（1）解：设平均每年下调的百分率为x，
根据题意，得
解得 ， （舍去）
答：这一户型的均价平均每年下调的百分率为10%；
（2）解：设小王每月存进y元，
由题意得：24y+300000+500000≥100×9720×（1-10%），
解得 ，
∵y是100的整数倍，
∴y的最小值为3200元，
∴小王这两年每月至少固定存入3200元.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，由题意可得2021年的该户型的均价为12000(1-x)2，然后结合2021年的该户型的均价为9720元/m2列出方程，求解即可；
（2）设小王每月存进y元，则两年可存入24y元，总房款为100×9720×(1-10%)元，然后根据存入的钱数+原有的积蓄+可以向银行贷款的钱数≥总房款列出不等式，求出y的范围，结合y是100的整数倍可得y的最小值.
11．某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元
【答案】（1）解：设一次函数关系式为y=kx+b.
当x=2时，y=120；当x=4时，y=140.
∴ 解得
∴ 与 之间的函数关系式为
（2）解：由题意得： ，
整理，得 ，
解得 .
∵让顾客得到更大的实惠，
∴
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设一次函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出方程，解方程求出x的值，再根据让顾客得到更大的实惠，即可得出答案.
12．（2023八下·定远期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点分别从点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
（1）几秒后，的长度为；
（2）几秒后，的面积为；
（3） 的面积能否为？请说明理由．
【答案】（1）解：设点 运动的时间为 ，则 ， ， ，
根据勾股定理，得 ，
即 ，解得t＝3或 （舍去），
故 后， 的长度为 ．
（2）解：由 ，得 ，解得 或 ，
故 或 后， 的面积等于 ．
（3）解：不能，理由如下：
当 时，即 ，
，整理，得 ，
∵ ，
∴方程没有实数根，
∴ 的面积不可能等于 ．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设点 运动的时间为 ，则 ， ， ， 根据勾股定理得 ，据此建立关于t方程并解之即可；
（2）不能，理由：当△PBQ的面积= ，据此建立关于t方程，根据方程没有实数根即可判断.
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