【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系同步练习
一、选择题
1．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
2．（2020·湛江模拟）若a≠b，且 则 的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由 得：
∴ 又由 可以将a，b看做是方程 的两个根∴a+b=4，ab=1∴
故答案为B.
【分析】构造一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可。
3．（2023九上·章贡期中）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．2，2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程另一个根为，根据题意得，
解得．
将代入方程得：
，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解。，．设方程另一个根为，根据根与系数的关系得，然后解一次方程，再将代入方程求得m的值即可．
4．（2023九上·贵阳期中）关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1，x2，且x1+3x2=5，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1，x2，
x1+x2=4，
x1+3x2=5，
x1+x2+2x2=5，即4+2x2=5，
解得：x2=，
将x2=代入方程可得：
解得：m= ，
故答案为：A.
【分析】先利用韦达定理求得x1+x2=4，再结合x1+3x2=5进行变形求解得x2的值，再将x2的值代入方程即可求解m的值.
5．（2023九上·贵阳期中）若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的另一个根为a，则a-2=-2，解得a=0，
将x=0代入方程解得m=0，
故答案为：B.
【分析】设一元二次方程的另一个根为a，利用根与系数的关系求出a的值，将a的值代入方程即可求解m的值.
6．（2023九上·资中期中）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵的两实根为，，
∴ α+β=p， αβ=q，P2≥4q
∵，为根的一元二次方程仍是
∴ α2+β2=p， α2β2=q，
∴ q2=q，p2-2q=p
∴ q=0或1，
当q=0，p2=p，解得p=0或1，
当q=1，p2-p-2=0，解得p=-1（舍）或2
综上，数对（p，q）为（0，0），（1，0），（2，1），共3个
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟悉一元二次方程的两根之和x1+x2=，两根之积x1x2=是本题的关键，列出关于p，q的方程，再求解，注意结合根的判别式对所求结果取舍。
7．（2016·枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，∴﹣2+m= ，
解得，m=﹣1，
故选B．
【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．
二、填空题
8．（2018·徐州模拟）设x1、x2是方程2x2+nx+m=0的两个根，且x1+x2=4，x1x2=3．则m+n= ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是方程 的两个根，
∴
∵
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出m、n的值，再求出它们的和即可。
9．（2021九上·温江期中）一元二次方程的两根为和，则 .
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意-3+1=0，
则=3-1.
原式=3-1+3+2017
=3（+）-1+2017
=-1+2017
=2025
【分析】由 是方程的根得出=3-1，由一元二次方程的根与系数的关系求出+的值，然后把原式化为3-1+3+2017，最后代值计算即可.
10．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝ ．
【答案】﹣1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，
∴，且m﹣1 ≠0，
∴m=1（舍去）或m=-1，
∴m=-1。
故答案为：-1.
【分析】利用根与系数的关系，可得，且m﹣1 ≠0，解得m=-1。
11．（2023九上·成都期中）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，则+2x1+x2＝ ．
【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，
x1+x2=-1，+x1-2023=0，
+x1=2023，
+x1+（x1+x2）＝2023-1=2022，
【分析】根据一元二次方程的根的定义和根与系数的关系得到 x1+x2=-1，+x1-2023=0，再将代数式进行变形代入即可求解.
12．（2023九上·龙马潭月考）已知a，b是一元二次方程x2-6x+4=0的两个根，则=
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个根，
∴a+b=6，ab=4，
∴==，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解。先根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再利用通分把变形，然后利用整体代入的方法计算．
三、解答题
13．（2023九上·怀化期中）已知关于x的方程．
（1）当m满足什么条件时，方程有实数根？
（2）设方程的两实根分别为、，且，求m的值．
【答案】（1）解：∵关于x的方程有实数根，
∴，
∴
∴
∴当时，方程有实数根；
（2）解：∵关于x的方程的两实根分别为、，
∴，，
∵
∴，
∴，
解得，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据 关于x的方程有实数根， 利用得到关于m的不等式，解不等式即可求解；
（2）根据题意先利用韦达定理求得 ，， 再将等式进行变形代入得到关于m的方程，解方程取符合题意的m的值即可求解；
14．（2023九上·贵阳期中）已知T=（a+3b）2+（2a+3b）（2a-3b）+a2.
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根，求T的值.
【答案】（1）解：T=（a+3b）2+（2a+3b）（2a-3b）+a2
=a2+6ab+9b2+4a2-9b2+a2
=6a2+6ab.
（2）解：∵关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（2a）2-4（-ab+1）=0.
∴a2+ab=1.
∴T=6×1=6.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式进行化简，再合并同类项即可求解；
（2）根据关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根， 利用得到 a2+ab=1，结合 （1）代入即可求解.
15．已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值．
【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4m
＝m2+4m+4﹣4m
＝m2+4＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，
∵x1+x2+2x1x2＝1，
∴﹣（m+2）+2m＝1，
解得m＝3，
即m的值为3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先求得根的判别式= m2+4 ，然后根据偶次方的非负性，即可得出m2+4＞0，从而得出结论无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）首先根据根与系数的关系得出 x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m， 然后代入 x1+x2+2x1x2＝1中，即可得出关于m的方程﹣（m+2）+2m＝1， 解方程即可求得m的值。
16． 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根.
（2）若该方程的两个实数根、满足，求m的值.
【答案】（1）证明：∵在方程中，
，∴该方程有两个不等的实根
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，∴①、②.
∵③，∴联立①③解之，得：，，
∴，解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据根的判别式求证。计算并证明Δ=16+4m2＞0即可；
（2）根据根与系数的关系求解。由根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1 x2=-m2②，结合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
1 / 1【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册2.4 一元二次方程根与系数的关系同步练习
一、选择题
1．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2020·湛江模拟）若a≠b，且 则 的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
3．（2023九上·章贡期中）若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0， B．0，0 C．， D．2，2
4．（2023九上·贵阳期中）关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1，x2，且x1+3x2=5，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
5．（2023九上·贵阳期中）若x=-2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ）
A．0，-2 B．0，0 C．-2，-2 D．-2，0
6．（2023九上·资中期中）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2016·枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
二、填空题
8．（2018·徐州模拟）设x1、x2是方程2x2+nx+m=0的两个根，且x1+x2=4，x1x2=3．则m+n= ．
9．（2021九上·温江期中）一元二次方程的两根为和，则 .
10．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝ ．
11．（2023九上·成都期中）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，则+2x1+x2＝ ．
12．（2023九上·龙马潭月考）已知a，b是一元二次方程x2-6x+4=0的两个根，则=
三、解答题
13．（2023九上·怀化期中）已知关于x的方程．
（1）当m满足什么条件时，方程有实数根？
（2）设方程的两实根分别为、，且，求m的值．
14．（2023九上·贵阳期中）已知T=（a+3b）2+（2a+3b）（2a-3b）+a2.
（1）化简T；
（2）若关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根，求T的值.
15．已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+2x1x2＝1，求m的值．
16． 已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根.
（2）若该方程的两个实数根、满足，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，
∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，
∴m2=5﹣2m，
∴m2﹣mn+3m+n
=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
=10+m+n
=10﹣2
=8．
故选C．
【分析】利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由 得：
∴ 又由 可以将a，b看做是方程 的两个根∴a+b=4，ab=1∴
故答案为B.
【分析】构造一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可。
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程另一个根为，根据题意得，
解得．
将代入方程得：
，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求解。，．设方程另一个根为，根据根与系数的关系得，然后解一次方程，再将代入方程求得m的值即可．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1，x2，
x1+x2=4，
x1+3x2=5，
x1+x2+2x2=5，即4+2x2=5，
解得：x2=，
将x2=代入方程可得：
解得：m= ，
故答案为：A.
【分析】先利用韦达定理求得x1+x2=4，再结合x1+3x2=5进行变形求解得x2的值，再将x2的值代入方程即可求解m的值.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的另一个根为a，则a-2=-2，解得a=0，
将x=0代入方程解得m=0，
故答案为：B.
【分析】设一元二次方程的另一个根为a，利用根与系数的关系求出a的值，将a的值代入方程即可求解m的值.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵的两实根为，，
∴ α+β=p， αβ=q，P2≥4q
∵，为根的一元二次方程仍是
∴ α2+β2=p， α2β2=q，
∴ q2=q，p2-2q=p
∴ q=0或1，
当q=0，p2=p，解得p=0或1，
当q=1，p2-p-2=0，解得p=-1（舍）或2
综上，数对（p，q）为（0，0），（1，0），（2，1），共3个
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟悉一元二次方程的两根之和x1+x2=，两根之积x1x2=是本题的关键，列出关于p，q的方程，再求解，注意结合根的判别式对所求结果取舍。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，∴﹣2+m= ，
解得，m=﹣1，
故选B．
【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．
8．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵ 是方程 的两个根，
∴
∵
∴
解得：
∴
故答案为：
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出m、n的值，再求出它们的和即可。
9．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由题意-3+1=0，
则=3-1.
原式=3-1+3+2017
=3（+）-1+2017
=-1+2017
=2025
【分析】由 是方程的根得出=3-1，由一元二次方程的根与系数的关系求出+的值，然后把原式化为3-1+3+2017，最后代值计算即可.
10．【答案】﹣1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一根为0，
∴，且m﹣1 ≠0，
∴m=1（舍去）或m=-1，
∴m=-1。
故答案为：-1.
【分析】利用根与系数的关系，可得，且m﹣1 ≠0，解得m=-1。
11．【答案】2022
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，
x1+x2=-1，+x1-2023=0，
+x1=2023，
+x1+（x1+x2）＝2023-1=2022，
【分析】根据一元二次方程的根的定义和根与系数的关系得到 x1+x2=-1，+x1-2023=0，再将代数式进行变形代入即可求解.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个根，
∴a+b=6，ab=4，
∴==，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解。先根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再利用通分把变形，然后利用整体代入的方法计算．
13．【答案】（1）解：∵关于x的方程有实数根，
∴，
∴
∴
∴当时，方程有实数根；
（2）解：∵关于x的方程的两实根分别为、，
∴，，
∵
∴，
∴，
解得，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据 关于x的方程有实数根， 利用得到关于m的不等式，解不等式即可求解；
（2）根据题意先利用韦达定理求得 ，， 再将等式进行变形代入得到关于m的方程，解方程取符合题意的m的值即可求解；
14．【答案】（1）解：T=（a+3b）2+（2a+3b）（2a-3b）+a2
=a2+6ab+9b2+4a2-9b2+a2
=6a2+6ab.
（2）解：∵关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（2a）2-4（-ab+1）=0.
∴a2+ab=1.
∴T=6×1=6.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式、平方差公式进行化简，再合并同类项即可求解；
（2）根据关于x的方程x2+2ax-ab+1=0有两个相等的实数根， 利用得到 a2+ab=1，结合 （1）代入即可求解.
15．【答案】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4m
＝m2+4m+4﹣4m
＝m2+4＞0，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m，
∵x1+x2+2x1x2＝1，
∴﹣（m+2）+2m＝1，
解得m＝3，
即m的值为3．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）首先求得根的判别式= m2+4 ，然后根据偶次方的非负性，即可得出m2+4＞0，从而得出结论无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）首先根据根与系数的关系得出 x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝m， 然后代入 x1+x2+2x1x2＝1中，即可得出关于m的方程﹣（m+2）+2m＝1， 解方程即可求得m的值。
16．【答案】（1）证明：∵在方程中，
，∴该方程有两个不等的实根
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，∴①、②.
∵③，∴联立①③解之，得：，，
∴，解得：
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据根的判别式求证。计算并证明Δ=16+4m2＞0即可；
（2）根据根与系数的关系求解。由根与系数的关系可得x1+x2=4①、x1 x2=-m2②，结合x1+2x2=9③，可求出x1、x2的值，将其代入②中即可求出m的值．
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