浙教版八年级数学上册—2.6直角三形【二】

浙教版八年级数学上册2.6直角三角形{二}
勾股定理
一．选择题（共20小题）
1．（2015 黑龙江）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
　 A． 4.8 B． 4.8或3.8 C． 3.8 D． 5
　
2．（2015 毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
　 A． ，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4
　
3．（2015 黄石模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（　　）
　 A． 14 B． 16 C． 18 D． 20
　
4．（2015 襄城区模拟）如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（　　）
　 A． B． C． D．
　
5．（2015 大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3．点P是边BC上一点，点Q是边AC上一点（不与点A、C重合），且BP=PQ，则BP的取值范围是（　　）
　 A． ≤BP＜ B． ≤BP≤ C． ≤BP＜ D． ≤BP＜3
　
6．（2015 保定一模）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（　　）
　 A． 32 B． 42 C． 32或42 D． 以上都不对
　
7．（2015 建邺区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（　　）
　 A． B． C． D．
　
8．（2015 苏州模拟）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（　　）
　 A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
　
9．（2015 杭州模拟）正方形网格中，△ABC如图放置，则sin∠BAC=（　　）
　 A． B． C． D．
　
10．（2015 杭州模拟）在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F．若AD=AB=，则AF2=（　　）
　 A． 8﹣4 B． 10﹣4 C． 8+4 D． 10+4
　
11．（2015春 凉山州期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
　 A． a：b：c=1：：1 B． ∠A：∠B：∠C=3：4：5
　 C． （a+b）（a﹣b）=c2 D． ∠A：∠B：∠C=1：2：3
　
12．（2015春 天津期末）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）
　 A． 8m B． 10m C． 16m D． 18m
　
13．（2015春 无锡期末）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（　　）
　 A． 10 B． 8 C． 5 D． 4
　
14．（2015春 罗田县期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（　　）
　 A． 2 B． 2.6 C． 3 D． 4
　
15．（2015春 港南区期中）如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）
　 A． 12 B． 13 C． 144 D． 194
　
16．（2015春 大名县期中）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　）
　 A． 5m B． 6m C． 7m D． 8m
　
17．（2015春 平南县期中）如图，图中有一个正方形，此正方形的面积是（　　）
　 A． 16 B． 8 C． 4 D． 2
　
18．（2015春 连江县期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）
　 A． 150cm2 B． 200cm2 C． 225cm2 D． 无法计算
　
19．（2015春 乌兰察布校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为（　　）
　 A． 2 B． 4 C． 8 D． 16
　
20．（2015春 连江县期中）点P（4，3）到原点的距离是（　　）
　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 7
　
　
二．填空题（共10小题）
21．（2015 无锡校级模拟）如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为　　　　　　．
　
22．（2015 温州模拟）如图，以Rt△ABC的三边为边向外分别作正方形ACMH，正方形BCDE，正方形ABFG，连结EF，GH，已知∠ACB=90°，BC=t，AC=2﹣t （0＜t＜1）．若图中阴影部分的面积和为0.84，则t=　　　　　　．
　
23．（2015 青岛模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是　　　　　　．
　
24．（2015 邗江区二模）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点B的坐标是（﹣1，0），OD=5，则点C的坐标是　　　　　　．
　
25．（2015 丰泽区校级质检）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8．
（1）当∠B=60° 时，BC=　　　　　　；
（2）当其中有一个锐角为30°，动点P在直线BC上（不与点B，C重合），且∠PAC=60°，则BP的长为　　　　　　．
　
26．（2015 大庆校级模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ=　　　　　　，△PQR的周长等于　　　　　　．
　
27．（2015 本溪模拟）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有　　　　　　个．
　
28．（2015 东莞模拟）所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　　　　　　组成一组勾股数．
　
29．（2015春 启东市期中）如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需　　　　　　米．
　
30．（2015 威海模拟）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是　　　　　　．
　
　
浙教版八年级数学上册2.6直角三形{二}
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共20小题）
1．（2015 黑龙江）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
　 A． 4.8 B． 4.8或3.8 C． 3.8 D． 5
考点： 勾股定理；等腰三角形的性质．
专题： 动点型．
分析： 过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得SABC=SABP+SACP，代入数值，解答出即可．
解答： 解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．
点评： 本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．
　
2．（2015 毕节市）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
　 A． ，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4
考点： 勾股定理的逆定理．
分析： 知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
解答： 解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．
点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
　
3．（2015 黄石模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（　　）
　 A． 14 B． 16 C． 18 D． 20
考点： 勾股定理．
分析： 过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
解答： 解：过F作AM的垂线交AM于D，可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2=SRt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3=S△FPT，又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3=SRt△AQF=SRt△ABC．易证Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4=SRt△ABC，∴S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC=SRt△ABC×3=4×3÷2×3=18．故选：C．
点评： 本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
　
4．（2015 襄城区模拟）如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
分析： 根据AAS可以证明△ABE≌△ECF，得AB=CE，BE=CF；根据两角对应相等，可以证明△ECF∽△FDG，则DF：CE=FG：EF=1：2．设BE=x，则AB=2x，根据勾股定理求得x的值，进而求得矩形的周长．
解答： 解：根据等角的余角相等，得∠BAE=∠CEF=∠DFG．又∠B=∠C=∠D=90°，AE=EF=4，FG=2，∴△ABE≌△ECF，△ECF∽△FDG．∴AB=CE，BE=CF，DF：CE=FG：EF=1：2．∴=，∴DF=FC=BE，设BE=x，则AB=2x，根据勾股定理，得x2+4x2=16，x=．则矩形ABCD的周长为2（2x+3x）=10x=8．故选B．
点评： 此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，能够用一个未知数表示矩形的长和宽，根据勾股定理列方程求解．
　
5．（2015 大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，AC=3．点P是边BC上一点，点Q是边AC上一点（不与点A、C重合），且BP=PQ，则BP的取值范围是（　　）
　 A． ≤BP＜ B． ≤BP≤ C． ≤BP＜ D． ≤BP＜3
考点： 勾股定理；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
分析： 以P为圆心，PQ的长为半径画圆，当圆与AC相切时，BP最小，与线段BC相交且交点为A或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．
解答： 解：如图，∵Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=60°，∴∠C=30°，∴AB=BC，又∵AC=3，∴BC==，则BC=2．以P为圆心，BP的长为半径画圆①如图1，当圆P与AC相切时，PQ⊥AC时，PQ最短，即BP最短．∵∠ABC=60°，∴∠C=30°，∴PQ=BP=PC，∴BP=BC=；②如图2，当圆P与AC相交时，若交点为A或C，则BP=BC=，∵点Q不与点A、C重合，∴此时BP=PQ＜．综合①②可知，BP的取值范围是≤BP＜．故选：C．
点评： 本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及含30度的直角三角形．利用边BC与圆的位置关系解答，分清AD最小和最大的两种情况是解决本题的关键．
　
6．（2015 保定一模）在△ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则△ABC的周长为（　　）
　 A． 32 B． 42 C． 32或42 D． 以上都不对
考点： 勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 作出图形，利用勾股定理列式求出AD、BD，再分CD在△ABC内部和外部两种情况求出AB，然后根据三角形的周长的定义解答即可．
解答： 解：∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，∴AD===9，BD===5，如图1，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时，△ABC的周长=14+13+15=42，如图2，CD在△ABC外部时，AB=AD﹣BD=9﹣5=4，此时，△ABC的周长=4+13+15=32，综上所述，△ABC的周长为32或42．故选C．
点评： 本题考查了勾股定理，难点在于分情况讨论求出AB的长，作出图形更形象直观．
　
7．（2015 建邺区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．
分析： 首先根据以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，判断出AE=BC=5；然后根据勾股定理，求出AE的值是多少，进而求出DE的值是多少；再根据勾股定理，求出CE的值是多少，再根据BC=BE，BF⊥CE，判断出点F是CE的中点，据此求出CF、BF的值各是多少；最后根据角的正切的求法，求出tan∠FBC的值是多少即可．
解答： 解：∵以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，∴AE=BC=5，∴AE=，∴DE=AD﹣AE=5﹣4=1，∴CE=，∵BC=BE，BF⊥CE，∴点F是CE的中点，∴CF=，∴BF==，∴tan∠FBC=，即tan∠FBC的值为．故选：D．
点评： （1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（3）此题还考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确一个角的正弦、余弦、正切的求法．（4）此题还考查了矩形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
　
8．（2015 苏州模拟）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（　　）
　 A． 3个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形．
分析： 作出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=AB，然后讨论求解即可．
解答： 解：如图，过点A作AD⊥BC于D，∵∠ABC=30°，AB=10，∴AD=AB=5，当AC=5时，可作1个三角形，当AC=7时，可作2个三角形，当AC=9时，可作2个三角形，当AC=11时，可作1个三角形，所以，满足条件的互不全等的三角形共有1+2+2+1=6个．故选D．
点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，难点在于AC的长度大于AD小于AB时可以作2个三角形．
　
9．（2015 杭州模拟）正方形网格中，△ABC如图放置，则sin∠BAC=（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题： 网格型．
分析： 过点C作CD⊥AB于点D，先根据勾股定理求出AB及AC的长，利用面积法求出CD的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
解答： 解：过点C作CD⊥AB于点D，由图可知，AC=AB==．∵S△ABC=AB CD=× CD=3×4﹣×2×3﹣×2×3，∴CD=，∴sin∠BAC===．故选D．
点评： 本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
10．（2015 杭州模拟）在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F．若AD=AB=，则AF2=（　　）
　 A． 8﹣4 B． 10﹣4 C． 8+4 D． 10+4
考点： 勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质．
分析： 由AD=AB=，可求得AB=1，AD=，又由在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，根据轴对称的性质，可求得BE，CF的长，继而求得DF的长，然后由勾股定理求得答案．
解答： 解：∵AD=AB=，∴AB=1，AD=，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=，CD=AB=1，∵在矩形ABCD中，点A关于角B的角平分线的对称点为E，点E关于角C的角平分线的对称点为F，∴BE=AB=1，∴CF=CE=BC﹣BE=﹣1，∴DF=CD﹣CF=2﹣，∴AF2=AD2+DF2=（）2+（2﹣）2=10﹣4．故选B．
点评： 此题考查了矩形的性质、轴对称的性质以及勾股定理．注意掌握轴对称图形的对应关系．
　
11．（2015春 凉山州期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
　 A． a：b：c=1：：1 B． ∠A：∠B：∠C=3：4：5
　 C． （a+b）（a﹣b）=c2 D． ∠A：∠B：∠C=1：2：3
考点： 勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
分析： 运用直角三角形的判定方法，当一个角是直角时，或两边的平方和等于第三条边的平方，也可得出它是直角三角形．分别判定即可．
解答： 解：A、∵12+12=（）2，∴是直角三角形，不符合题意；B、设三角形的三角分别为3x°，4x°，5x°，3x+4x+5x=180，解得x=15，15°×3=45°，15°×4=60°，15°×5=75°，所以不是直角三角形，符合题意；C、∵（a+b）（a﹣b）=c2，a2=b2+c2，∴∠A=90°，∴是直角三角形，不符合题意；D、设三角形的三角分别为x°，2x°，3x°，x+2x+3x=180，解得x=30，30°×1=30°，30°×2=60°，30°×3=90°，所以是直角三角形，不符合题意．故选：B．
点评： 此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形的内角和定理，灵活的应用直角三角形的判定方法是解决问题的关键．
　
12．（2015春 天津期末）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）
　 A． 8m B． 10m C． 16m D． 18m
考点： 勾股定理的应用．
专题： 应用题．
分析： 根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
解答： 解：由题意得BC=8m，AC=6m，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB==10米．所以大树的高度是10+6=16米．故选C．
点评： 熟练运用勾股定理．熟记6，8，10是勾股数，简便计算．
　
13．（2015春 无锡期末）如图，在底面半径为2，（π取3）高为8的圆柱体上有只小虫子在A点，它想爬到B点，则爬行的最短路程是（　　）
　 A． 10 B． 8 C． 5 D． 4
考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： A、B之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高，底面周长的一半的直角三角形的斜边长．
解答： 解：底面周长的一半为：2π≈6，∴高等于8，∴最短路程为：=10，故选：A．
点评： 此题主要考查了最短路径问题；立体几何中的最短路径问题，通常整理为平面几何中两点之间距离问题．
　
14．（2015春 罗田县期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（　　）
　 A． 2 B． 2.6 C． 3 D． 4
考点： 勾股定理．
分析： 根据勾股定理求出AC的长即可解答．
解答： 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB==13，又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，∴AM=12，BN=5，∴MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=4．故选D．
点评： 本题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MN=AM+BN﹣AB是关键．
　
15．（2015春 港南区期中）如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）
　 A． 12 B． 13 C． 144 D． 194
考点： 勾股定理．
专题： 换元法．
分析： 由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．
解答： 解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方=169，一直角边的平方=25，根据勾股定理知，另一直角边平方=169﹣25=144，即字母B所代表的正方形的面积是144．故选C．
点评： 此题比较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
　
16．（2015春 大名县期中）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　）
　 A． 5m B． 6m C． 7m D． 8m
考点： 勾股定理．
分析： 先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=3m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．
解答： 解：∵△ABC是直角三角形，BC=3m，AC=5m∴AB===4m，∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=7米．故选C．
点评： 本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．
　
17．（2015春 平南县期中）如图，图中有一个正方形，此正方形的面积是（　　）
　 A． 16 B． 8 C． 4 D． 2
考点： 勾股定理．
分析： 设出正方形的边长，由勾股定理求得直角三角形的另一直角边，即正方形边长，进而求出正方形的面积．
解答： 解：设正方形边长为x，则x2+x2=16，于是x2=8，故正方形面积为8．故选B．
点评： 考查了正方形面积的计算，以及勾股定理的应用．
　
18．（2015春 连江县期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）
　 A． 150cm2 B． 200cm2 C． 225cm2 D． 无法计算
考点： 勾股定理．
分析： 小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
解答： 解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，则AC2+BC2=225cm2．故选C．
点评： 本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
　
19．（2015春 乌兰察布校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，则AB2+BC2+CA2的值为（　　）
　 A． 2 B． 4 C． 8 D． 16
考点： 勾股定理．
分析： 由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到斜边的平方等于两直角边的平方和，根据斜边AB的长，可得出两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
解答： 解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，∴CA2+BC2=AB2，又∵AB=2，∴CA2+BC2=AB2=4，则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．故选C．
点评： 此题考查了勾股定理的知识，是一道基本题型，解题关键是熟练掌握勾股定理，难度一般．
　
20．（2015春 连江县期中）点P（4，3）到原点的距离是（　　）
　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 7
考点： 勾股定理；坐标与图形性质；两点间的距离公式．
分析： 先画图，根据图可知道OA=4，AP=3，再利用勾股定理可求OP．
解答： 解：如图所示，∵P点坐标是（4，3），∴OA=4，AP=OB=3，∴OP==5．故选：C．
点评： 本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识点，此题比较简单．注意数形思想的应用．
　
二．填空题（共10小题）
21．（2015 无锡校级模拟）如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为　　．
考点： 勾股定理；三角形的面积．
专题： 网格型．
分析： 根据网格，利用勾股定理求出AC的长，AB的长，以及AB边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，而三角形ABC面积可以由AC与BD乘积的一半来求，利用面积法即可求出BD的长．
解答： 解：根据勾股定理得：AC==5，由网格得：S△ABC=×2×4=4，且S△ABC=AC BD=×5BD，∴×5BD=4，解得：BD=．故答案为：
点评： 此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
　
22．（2015 温州模拟）如图，以Rt△ABC的三边为边向外分别作正方形ACMH，正方形BCDE，正方形ABFG，连结EF，GH，已知∠ACB=90°，BC=t，AC=2﹣t （0＜t＜1）．若图中阴影部分的面积和为0.84，则t=　0.6　．
考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质．
分析： 过E做EI垂直FB的延长线与I，过H做HJ垂直GA的延长线与J，由相似三角形的判定方法可分别证明△ACB∽△EIB和△HAJ∽△BAC，再有相似三角形的性质和三角形的内角公式以及已知条件即可求出t的值．
解答： 解：过E做EI垂直FB的延长线与I，∵∠ABC+∠FBE=180°，∠EBI+∠FBE=180°∴∠ABC=∠EBI，又∵∠ACB=∠EIB=90°∴，∴AB EI=BE AC，∴S△EBF=EI BF=BE AC=（2t﹣t2），过H做HJ垂直GA的延长线与J，同理可证△HAJ∽△BAC，∴，∴HJ AB=AH BC，∴S△HAG=HJ AB=AH BC=（2t﹣t2），∵S△EBF+S△HAG=0.84，∴（2t﹣t2）+（2t﹣t2）=0.84，解得t=0.6，故答案为0.6．
点评： 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的应用，题目的综合性强，难度较大．
　
23．（2015 青岛模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是　3　．
考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形．
分析： 设CD=x，在Rt△ACD中，根据∠DAC=30°的正切可求出AC．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到关于x的方程，解得x的值即可求出BC的长．
解答： 解：设CD=x，则AC==x，∵AC2+BC2=AB2，AC2+（CD+BD）2=AB2，∴（x）2+（x+2）2=（2）2，解得，x=1，∴BC=CD+BD=1+2=3．故答案为：3．
点评： 本题考查的是勾股定理，熟知直角三角形的性质是解答此题的关键．
　
24．（2015 邗江区二模）如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点B的坐标是（﹣1，0），OD=5，则点C的坐标是　（3，0）　．
考点： 勾股定理；坐标与图形性质；正方形的性质．
分析： 设正方形的边长为x，再由B（﹣1，0）可知OC=x﹣1，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
解答： 解：设正方形的边长为x，∵B（﹣1，0），∴OC=x﹣1，CD=x．∵OD=5，∴（x﹣1）2+x2=52，解得x=4，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）．
点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
　
25．（2015 丰泽区校级质检）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8．
（1）当∠B=60° 时，BC=　4　；
（2）当其中有一个锐角为30°，动点P在直线BC上（不与点B，C重合），且∠PAC=60°，则BP的长为　4、8或16　．
考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形．
专题： 分类讨论．
分析： （1）在Rt△ABC中，利用直角三角形的性质，根据∠B=60°，求出∠A=30°，然后根据AB=8，求出BC的长度是多少即可．（2）根据题意，分3种情况：①当∠B=30°时；②当∠BAC=30°时，点C、P在点B的两边时；③当∠BAC=30°时，点C、P在点B的同一边时；然后应用直角三角形的性质，分类讨论，求出BP的长为多少即可．
解答： 解：（1）如图1，，∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=90°﹣60°=30°，又∵AB=8，∴BC=AB==4．（2）①如图2，，当∠B=30°时，∵∠C=90°，∴AC=AB==4，又∵∠PAC=60°，∴BC=AC tan60°=4×=4．②如图3，，当∠BAC=30°时，∵∠C=90°，∴AC=，BC=AB==4，∵∠PAC=60°，∴CP=AC tan60°=4，∴BP=CP﹣BC=12﹣4=8．③如图4，，∵∠C=90°，∴AC=，BC=AB==4，∵∠PAC=60°，∴CP=AC tan60°=4，∴BP=CP+BC=12+4=16．综上，可得BP的长为：4、8或16．故答案为：4；4、8或16．
点评： （1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，要熟练掌握．
　
26．（2015 大庆校级模拟）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票图1所示．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图2的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则RQ=　7+2　，△PQR的周长等于　27+13　．
考点： 勾股定理的证明．
分析： 在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、QP的长，就可求出△PQR的周长．
解答： 解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．∵AC=GC，BC=FC，∠ACB=∠GCF，∴△ABC≌△GFC，∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又∵AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等边三角形．AC=AB cos30°=4×=2．则QH=HA=HG=AC=2．在直角△HMA中，HM=AH sin60°=2×=3．AM=HA cos60°=．在直角△AMR中，MR=AD=AB=4．∴QR=2+3+4=7+2．∴QP=2QR=14+4．PR=QR =7+6．∴△PQR的周长等于RP+QP+QR=27+13．故答案为：7+2；27+13．
点评： 考查了勾股定理的证明和含30度角的直角三角形，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．
　
27．（2015 本溪模拟）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有　4　个．
考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理．
分析： 根据勾股定理的逆定理找出符合条件的格点即可．
解答： 解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．故答案为：4．
点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
　
28．（2015 东莞模拟）所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　13　组成一组勾股数．
考点： 勾股数．
分析： 根据勾股数的定义可得要求的数是852﹣842，再进行计算即可．
解答： 解：∵852﹣842=132，∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．故答案为：13．
点评： 此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
　
29．（2015春 启东市期中）如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需　7　米．
考点： 勾股定理的应用．
专题： 计算题．
分析： 将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．
解答： 解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和，已知AB=5米，AC=3米，且在直角△ABC中，AB为斜边，则BC==4米，则AC+BC=3米+4米=7米．故答案为：7．
点评： 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．
　
30．（2015 威海模拟）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是　76　．
考点： 勾股定理；正方形的性质．
分析： 根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
解答： 解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴由勾股定理得：AB==10，∴正方形的面积是10×10=100，∵△AEB的面积是AE×BE=×6×8=24，∴阴影部分的面积是100﹣24=76，故答案是：76．
点评： 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．