【学霸】浙教版数学八下专题中点四边形
1．如图①，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连结EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．
（1）四边形EFGH的形状是 ▲ ，证明你的结论．
（2）如图②，连结四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件 ▲ 时，四边形EFGH是矩形，证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
2．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）①当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是菱形，请说明理由；
②当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是矩形，请说明理由．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC的内部，∠BOC=90°，OB=OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是矩形；
（2）若DE=2，EF=3，求△ABC的面积．
4．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=10，P是AB上一动点，M，N，E分别是PD，PC，CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形．
（2）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
5．如图，两个全等的直角三角形(△ABC和△ADC)按照斜边重合摆放，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
（1）判断四边形EFCH的形状并证明；
（2）若∠BAC=30°，AC=6，求四边形EFGH的面积
答案解析部分
1．【答案】（1）平行四边形；
证明：如图①，连结BD．
∵E，H分别是AB ，AD的中点，∴EH∥BD ， EH=BD，
同理FG∥ BD，FG=BD，∴EH∥ FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）AC⊥BD；
证明：∵E，F，C，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥ BD，HG∥AC．∵AC⊥BD，∴EH⊥HG．
又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图②，连结AC，BD．
∵E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥ BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵EH∥ BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得，，故四边形EFGH是平行四边形．
(2)同(1)利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH是平行四边形，又通过平行线的性质可得EH⊥HG，故四边形EFGH是矩形.
(3)由(2)可得对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，故这个特殊四边形可以是菱形.
2．【答案】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG=AB ，EG∥AB，同理，FH=AB， FH∥AB，
∴EG=FH， EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）①AB=CD，理由：∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG=CD， FG∥ CD．
由(1)得EG=AB，
∴当AB= CD时，EG=FG，∴四边形EGFH是菱形．
②AB⊥CD，理由：
∵HF∥AB，∴∠HFC=∠ABC． ．
∵FG∥CD，∴∠CFB=∠DCB．
∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠DCB= 90°，
∴∠HFC+∠GFB= 90° ，
∴∠GFH=90°，
∴四边形EGFH是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得，，故四边形EGFH是平行四边形．
(2) ① 利用三角形的中位线定理可得，，由AB=CD可得EG=FG，故平行四边形EGFH是菱形．
② 利用三角形的中位线定理可得HF∥AB，FG∥CD，再根据平行线的性质证得∠GFH=90°，故平行四边形EGFH是矩形．
3．【答案】（1）证明：如图，连结AO并延长交BC于点H．
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的垂直平分线，即AH⊥BC于点H．
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF'∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF．
又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴四边形DEFG是矩形．
（2）解：∵△BOC是等腰直角三角形，∴BC=2EF=2OH=2×3=6，AH=OA+OH= 2DE+EF= 2×2+3=7，∴S△ABC=×6×7=21．
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的轴对称性可得AH是BC的垂直平分线，再通过三角形的中位线定理可得DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，证得四边形DEFG是平行四边形，然后利用平行线的性质证得∠DEF=90°，故平行四边形DEFG是矩形．
(2)利用等腰直角三角形的性质可得BC=2OH=6，由三角形的中位线定理可得AO=2DE=4，故AH=7，再通过三角形的面积公式计算出△ABC的面积．
4．【答案】（1）证明：∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，
∴ME，NE是△PDC的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，即ME∥ PN， EN∥ PM，
∴四边形PMEN是平行四边形．
（2）解：四边形PMEN有可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90° ，设PA=x，则PB=10-x，
DP=，CP=．
在△DPC中，DP2 +CP2 =DC2，
∴16+x2+16+(10-x)2=102 ，解得x=2或x=8．
故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形．
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得ME∥ PN， EN∥ PM，故四边形PMEN是平行四边形．
(2)设PA=x，则PB=10-x，由勾股定理可得DP=，CP=，若四边形PMEN是矩形，则有DP2 +CP2 =DC2，解得x=2或x=8，故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形．
5．【答案】（1）四边形EFGH为矩形．证明：连结BD，如图，
∵△ABC≌△ADC，∴AB=AD，CB=CD，∴AC垂直平分BD．
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF=AC，EF∥AC，HG=AC，HG∥AC，EH∥BD，EH=BD，
∴EF=HG，EF∥ HG．
∴四边形EFGH为平行四边形．
∵EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴∠HEF= 90°，
∴四边形EFGH为矩形．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，
∴BC=AC=3，∴AB==
∵∠DAC= ∠ BAC= 30° ，AB=AD，
∴∠BAD= 60°，△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=，∴EH=BD= ．∵EF=AC=3，
∴四边形EFGH的面积=EH·EF=
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用全等三角形的性质可得AB=AD，CB=CD，进而由等腰三角形的轴对称性证得AC垂直平分BD，再通过三角形的中位线定理证得，，故可得四边形EFGH为平行四边形，然后利用平行线的性质得到∠HEF= 90°，证得四边形EFGH为矩形．
(2)利用直角三角形的性质得到AB、BC的长度，再通过等边三角形的性质求得BD的长度，进而得到EH= ，EF=3，然后计算出四边形EFGH的面积.
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1．如图①，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连结EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．
（1）四边形EFGH的形状是 ▲ ，证明你的结论．
（2）如图②，连结四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件 ▲ 时，四边形EFGH是矩形，证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
【答案】（1）平行四边形；
证明：如图①，连结BD．
∵E，H分别是AB ，AD的中点，∴EH∥BD ， EH=BD，
同理FG∥ BD，FG=BD，∴EH∥ FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）AC⊥BD；
证明：∵E，F，C，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥ BD，HG∥AC．∵AC⊥BD，∴EH⊥HG．
又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图②，连结AC，BD．
∵E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥ BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵EH∥ BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得，，故四边形EFGH是平行四边形．
(2)同(1)利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH是平行四边形，又通过平行线的性质可得EH⊥HG，故四边形EFGH是矩形.
(3)由(2)可得对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，故这个特殊四边形可以是菱形.
2．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）①当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是菱形，请说明理由；
②当AB与CD满足条件 时，四边形EGFH是矩形，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△DAB的中位线，
∴EG=AB ，EG∥AB，同理，FH=AB， FH∥AB，
∴EG=FH， EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）①AB=CD，理由：∵F，G分别是BC，BD的中点，
∴FG是△DCB的中位线，
∴FG=CD， FG∥ CD．
由(1)得EG=AB，
∴当AB= CD时，EG=FG，∴四边形EGFH是菱形．
②AB⊥CD，理由：
∵HF∥AB，∴∠HFC=∠ABC． ．
∵FG∥CD，∴∠CFB=∠DCB．
∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠DCB= 90°，
∴∠HFC+∠GFB= 90° ，
∴∠GFH=90°，
∴四边形EGFH是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得，，故四边形EGFH是平行四边形．
(2) ① 利用三角形的中位线定理可得，，由AB=CD可得EG=FG，故平行四边形EGFH是菱形．
② 利用三角形的中位线定理可得HF∥AB，FG∥CD，再根据平行线的性质证得∠GFH=90°，故平行四边形EGFH是矩形．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC的内部，∠BOC=90°，OB=OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是矩形；
（2）若DE=2，EF=3，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：如图，连结AO并延长交BC于点H．
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的垂直平分线，即AH⊥BC于点H．
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF'∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF．
又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴四边形DEFG是矩形．
（2）解：∵△BOC是等腰直角三角形，∴BC=2EF=2OH=2×3=6，AH=OA+OH= 2DE+EF= 2×2+3=7，∴S△ABC=×6×7=21．
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的轴对称性可得AH是BC的垂直平分线，再通过三角形的中位线定理可得DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，证得四边形DEFG是平行四边形，然后利用平行线的性质证得∠DEF=90°，故平行四边形DEFG是矩形．
(2)利用等腰直角三角形的性质可得BC=2OH=6，由三角形的中位线定理可得AO=2DE=4，故AH=7，再通过三角形的面积公式计算出△ABC的面积．
4．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=10，P是AB上一动点，M，N，E分别是PD，PC，CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形．
（2）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点，
∴ME，NE是△PDC的中位线，
∴ME∥PC，EN∥PD，即ME∥ PN， EN∥ PM，
∴四边形PMEN是平行四边形．
（2）解：四边形PMEN有可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90° ，设PA=x，则PB=10-x，
DP=，CP=．
在△DPC中，DP2 +CP2 =DC2，
∴16+x2+16+(10-x)2=102 ，解得x=2或x=8．
故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形．
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得ME∥ PN， EN∥ PM，故四边形PMEN是平行四边形．
(2)设PA=x，则PB=10-x，由勾股定理可得DP=，CP=，若四边形PMEN是矩形，则有DP2 +CP2 =DC2，解得x=2或x=8，故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形．
5．如图，两个全等的直角三角形(△ABC和△ADC)按照斜边重合摆放，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．
（1）判断四边形EFCH的形状并证明；
（2）若∠BAC=30°，AC=6，求四边形EFGH的面积
【答案】（1）四边形EFGH为矩形．证明：连结BD，如图，
∵△ABC≌△ADC，∴AB=AD，CB=CD，∴AC垂直平分BD．
∵E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF=AC，EF∥AC，HG=AC，HG∥AC，EH∥BD，EH=BD，
∴EF=HG，EF∥ HG．
∴四边形EFGH为平行四边形．
∵EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴∠HEF= 90°，
∴四边形EFGH为矩形．
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，
∴BC=AC=3，∴AB==
∵∠DAC= ∠ BAC= 30° ，AB=AD，
∴∠BAD= 60°，△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=，∴EH=BD= ．∵EF=AC=3，
∴四边形EFGH的面积=EH·EF=
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用全等三角形的性质可得AB=AD，CB=CD，进而由等腰三角形的轴对称性证得AC垂直平分BD，再通过三角形的中位线定理证得，，故可得四边形EFGH为平行四边形，然后利用平行线的性质得到∠HEF= 90°，证得四边形EFGH为矩形．
(2)利用直角三角形的性质得到AB、BC的长度，再通过等边三角形的性质求得BD的长度，进而得到EH= ，EF=3，然后计算出四边形EFGH的面积.
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