【学霸】浙教版数学八下专题反比例函数与几何综合(一)：公共点问题
1．阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M，N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M，N的“相关矩形”．如图中的矩形为点M，N的“相关矩形”。
（1）已知点A的坐标为(2，0)．
①若点B的坐标为(4，4)，则点A，B的“相关矩形”的周长为 ；
②若点C在直线x=4上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．
（2）已知点P的坐标为(3，-4)，点Q的坐标为(6，-2)，若使函数y=的图象与点P，Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）①12；
②如图①，
∵点C在直线x=4上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，点C坐标为(4，2)或(4，-2)．设直线AC的表达式为y= kx+b，将(2，0)，(4，2)代人，解得k=1，b=-2，∴y=x-2；将(2，0)，(4，-2)代人，解得k=-1，b=2，∴y=-x+2．∴直线AC的表达式为y=x-2或y=-x+2．
（2）-24【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①∵A（2，0），B（4，4），
∴点A、B的“相关矩形”的周长为（4﹣2+4）×2＝12，
故答案为：12；
（2）∵点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2），
设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M（3，﹣2），N（6，﹣4），
当函数y的图象过M时，k＝﹣6，
当函数y的图象过N时，k＝﹣24，
若使函数y的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，则﹣24＜k＜﹣6．
【分析】（1）①由A（2，0），B（4，4）坐标得出“相关矩形”的长为2，宽为4，根据矩形周长公式即可解答；
②得到相关正方形边长为2，即可得出C点坐标为C（4，2）或（4，﹣2），然后用待定系数法分两张情况讨论求函数关系式即可解答；
（2）设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，求出M、N的坐标，根据图形可知过M、N为两个分界点，求出相应的k，即可得到k的范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3)．
（1）求k的值．
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．
①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；
②在平移过程中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
【答案】（1）解：过点D作x轴的垂线，垂足为F，如图所示．
点D的坐标为(4，3)，∴OF=4，DF=3，
∴OD=5．∵四边形ABCD为菱形，∴AD=5，
∴点A的坐标为(4，8)．
∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，k=xy=4×8=32．
（2）解：①将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，则点B平移后的坐标为(m，5)．
∵菱形的顶点B落在反比例函数y= 的图象上，∴5m=32，
∴m=
②如图，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数y= (x>0)的图象上的D'处，
过点D’作x轴的垂线，垂足为F'．
∵DF=3，∴D'F'=3，∴点D'的纵坐标为3．
∵点D'在函数y= (x>0)的图象上．∴3= ，∴x=
∴OF'= ，∴FF'= -4= ，∴0≤m≤
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】 （1）先过点D作x轴的垂线，垂足为F，D的坐标可得OF和DF的长，然后利用利用勾股定理可求出OD的长，根据菱形的性质可求出A的坐标，代入反比例函数的解析式中即可解答；
（2） ①先表示出平移后点B的坐标，然后再利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出当点B落在反比例函数图象上时m的值；
②利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出当y=3时x的值，结合点D的坐标可得出当点D落在反比例函数图象上时m的值，进而即可得出当反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点时m的取值范围．
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1．阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M，N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M，N的“相关矩形”．如图中的矩形为点M，N的“相关矩形”。
（1）已知点A的坐标为(2，0)．
①若点B的坐标为(4，4)，则点A，B的“相关矩形”的周长为 ；
②若点C在直线x=4上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．
（2）已知点P的坐标为(3，-4)，点Q的坐标为(6，-2)，若使函数y=的图象与点P，Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，点D的坐标为(4，3)．
（1）求k的值．
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位．
①当菱形的顶点B落在反比例函数的图象上时，求m的值；
②在平移过程中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）①12；
②如图①，
∵点C在直线x=4上，且点A，C的“相关矩形”为正方形，点C坐标为(4，2)或(4，-2)．设直线AC的表达式为y= kx+b，将(2，0)，(4，2)代人，解得k=1，b=-2，∴y=x-2；将(2，0)，(4，-2)代人，解得k=-1，b=2，∴y=-x+2．∴直线AC的表达式为y=x-2或y=-x+2．
（2）-24【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①∵A（2，0），B（4，4），
∴点A、B的“相关矩形”的周长为（4﹣2+4）×2＝12，
故答案为：12；
（2）∵点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2），
设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M（3，﹣2），N（6，﹣4），
当函数y的图象过M时，k＝﹣6，
当函数y的图象过N时，k＝﹣24，
若使函数y的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，则﹣24＜k＜﹣6．
【分析】（1）①由A（2，0），B（4，4）坐标得出“相关矩形”的长为2，宽为4，根据矩形周长公式即可解答；
②得到相关正方形边长为2，即可得出C点坐标为C（4，2）或（4，﹣2），然后用待定系数法分两张情况讨论求函数关系式即可解答；
（2）设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，求出M、N的坐标，根据图形可知过M、N为两个分界点，求出相应的k，即可得到k的范围．
2．【答案】（1）解：过点D作x轴的垂线，垂足为F，如图所示．
点D的坐标为(4，3)，∴OF=4，DF=3，
∴OD=5．∵四边形ABCD为菱形，∴AD=5，
∴点A的坐标为(4，8)．
∵点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，k=xy=4×8=32．
（2）解：①将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，则点B平移后的坐标为(m，5)．
∵菱形的顶点B落在反比例函数y= 的图象上，∴5m=32，
∴m=
②如图，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数y= (x>0)的图象上的D'处，
过点D’作x轴的垂线，垂足为F'．
∵DF=3，∴D'F'=3，∴点D'的纵坐标为3．
∵点D'在函数y= (x>0)的图象上．∴3= ，∴x=
∴OF'= ，∴FF'= -4= ，∴0≤m≤
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】 （1）先过点D作x轴的垂线，垂足为F，D的坐标可得OF和DF的长，然后利用利用勾股定理可求出OD的长，根据菱形的性质可求出A的坐标，代入反比例函数的解析式中即可解答；
（2） ①先表示出平移后点B的坐标，然后再利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出当点B落在反比例函数图象上时m的值；
②利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出当y=3时x的值，结合点D的坐标可得出当点D落在反比例函数图象上时m的值，进而即可得出当反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点时m的取值范围．
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