【学霸】浙教版数学八下专题反比例函数与几何综合(二)：三角形问题
1．如图，正比例函数y1= x和反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m，2)．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=(x>0)的图象交于点C，连结AB，AC，求△ABC的面积
【答案】（1）把A(m，2)代人y1= x得m=2，
解得m=4，
∴点A的坐标为(4，2)．
把A(4，2)代人y2= (x>0)得=2 ，
解得k=8，
∴反比例函数的表达式为y2=
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，交AB于点N，如图，
将直线OA向上平移3个单位后，其函数表达式为y'1= x+3，
当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为(0，3)．
设直线AB的函数表达式为y=mx+n，
将A(4，2) ，B(0，3)代人可得
解得
∴直线AB的函数表达式为y= x+3．
由，
解得x=2(舍去负值) ，y=4，
∴点C的坐标为(2，4)．
在y= x+3中，当x=2时，y=
∴CN=
∴S△ABC= ×4= 3，
∴△ABC的面积为3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先把A点坐标代入正比例函数的解析中求出m的值，从而得出A点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）首先根据平移的性质设出平移后直线的函数解析式，再确定B点坐标，利用待定系数法把A，B两点的代入可求得直线AB的解析式，再求出直线BC和双曲线的交点C的坐标，最后利用三角形面积公式列式计算即可解答．
2．（2023·乐山）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
．
又点都在一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
（2）解：对于，当时，．
．
过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，解得．
点P的纵坐标为2或．
将或代入得或．
∴点或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数的性质即可求出m的值，进而得到点A的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可求解；
（2）先根据题意得到OB和OC的长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，再根据三角形的面积即可求出PD的长，进而得到点P的纵坐标为2或，接着分别代入反比例函数的解析式即可求解。
3．如图，一次函数y=kx+(k为常数，k≠0)的图象与反比例函数y=(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1，n)，与x轴交于点B(-3，0)．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）将A(1，n) ，B(-3 ，0)分别代人一次函数y=kx+
得
解得
所以点A的坐标为(1，3)．
将点A(1，3)代人反比例函数y= 得=3，
解得m=3，
所以一次函数的表达式为y= ，反比例函数的表达式为y=
（2）解：(5，0)或( -8 ，0)或(2，0)．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）点P的坐标为(5，0)或(-8 ，0)或(2，0)．
解析：由(1)知，A(1，3)，B(-3，0) ，则AB= =5，
设P(a，0)，
当AB=AP时，5=
解得a=5或a=-3(舍去)，
故点P的坐标为(5，0)；
当AB=PB时，5=|-3-a|，
解得a=-8或a=2，
故点P的坐标为(-8，0)或(2，0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标为(5，0)或( -8 ，0)或(2，0)．
【分析】（1）先把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式求出k、n的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值即可解答；
（2）设P（a，0），利用两点间的距离公式和勾股定理表示出AP、AB、BP的长，然后根据 △ABP是以AB为腰的等腰三角形 分两种情况讨论，列出方程，求解即可解答．
4．如图，直线y1=x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2) ，与反比例函数y2=的图象交于C(1，m)，D(n，-1)两点，连结OC，OD．
（1）求k的值；
（2）点M是反比例函数y2=上一点，是否存在点M，使以点M，C，D为顶点的三角形是直角三角形，且CD为直角边，若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(提示：两直线垂直，斜率乘积为-1)
【答案】（1）解：把A(0，2)代人y1 =x+b得b=2，
即一次函数的表达式为y1 =x+2．
把点C(1，m) ，D(n，-1)代人y1 =x+2得
解得
即C(1，3)，D(-3，-1)，
把点C的坐标代人y2= 得3= ，解得k=3．
（2）解：①当M在第一象限时，根据题意得MC⊥CD，
∵直线y1=x+2，∴设直线CM的表达式为y= -x+b1．
将C(1，3)代入y=-x+b1，得3=-1+b1，
解得b1=4，∴直线CM的表达式为y=-x+4．
联立得或(舍去)，∴M(3，1)．
②当M在第三象限时，根据题意得MD⊥CD，
∵直线y1 =x+2，∴设直线DM的表达式为y=-x+b2．
将D(-3，-1)代人y=-x+b2 ，得-1=3+b2 ，解得b2=-4，
∴直线DM的表达式为y=-x-4．
联立
得或(舍去)
∴M(-1，-3)．综上，点M的坐标为(3，1)或(-1，-3)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先把A的坐标代入y1＝x+b求出b的值，从而可得出一次函数的表达式，然后把C（1，m），D（n，﹣1）代入求出C、D的坐标，再把C的坐标代入y2的，求出k的值即可解答；
（2）因为要M，C，D为顶点的三角形是直角三角形，且CD为直角边 ，因此要分两种情况讨论来讨论，第一种当M在第一象限时，根据题意得MC⊥CD，根据 两直线垂直，斜率乘积为-1 ，求出CM的表达式，然后联立一次函数和反比例函数的解析求出点M的坐标即可；第二种是是当M在第三象限时，根据题意得MD⊥CD，同理用第一种方法即可求出点M的坐标即可解答.
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1．如图，正比例函数y1= x和反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m，2)．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与y2=(x>0)的图象交于点C，连结AB，AC，求△ABC的面积
2．（2023·乐山）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
3．如图，一次函数y=kx+(k为常数，k≠0)的图象与反比例函数y=(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1，n)，与x轴交于点B(-3，0)．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
4．如图，直线y1=x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2) ，与反比例函数y2=的图象交于C(1，m)，D(n，-1)两点，连结OC，OD．
（1）求k的值；
（2）点M是反比例函数y2=上一点，是否存在点M，使以点M，C，D为顶点的三角形是直角三角形，且CD为直角边，若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(提示：两直线垂直，斜率乘积为-1)
答案解析部分
1．【答案】（1）把A(m，2)代人y1= x得m=2，
解得m=4，
∴点A的坐标为(4，2)．
把A(4，2)代人y2= (x>0)得=2 ，
解得k=8，
∴反比例函数的表达式为y2=
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，交AB于点N，如图，
将直线OA向上平移3个单位后，其函数表达式为y'1= x+3，
当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为(0，3)．
设直线AB的函数表达式为y=mx+n，
将A(4，2) ，B(0，3)代人可得
解得
∴直线AB的函数表达式为y= x+3．
由，
解得x=2(舍去负值) ，y=4，
∴点C的坐标为(2，4)．
在y= x+3中，当x=2时，y=
∴CN=
∴S△ABC= ×4= 3，
∴△ABC的面积为3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先把A点坐标代入正比例函数的解析中求出m的值，从而得出A点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）首先根据平移的性质设出平移后直线的函数解析式，再确定B点坐标，利用待定系数法把A，B两点的代入可求得直线AB的解析式，再求出直线BC和双曲线的交点C的坐标，最后利用三角形面积公式列式计算即可解答．
2．【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
．
又点都在一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
（2）解：对于，当时，．
．
过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，解得．
点P的纵坐标为2或．
将或代入得或．
∴点或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数的性质即可求出m的值，进而得到点A的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可求解；
（2）先根据题意得到OB和OC的长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，再根据三角形的面积即可求出PD的长，进而得到点P的纵坐标为2或，接着分别代入反比例函数的解析式即可求解。
3．【答案】（1）将A(1，n) ，B(-3 ，0)分别代人一次函数y=kx+
得
解得
所以点A的坐标为(1，3)．
将点A(1，3)代人反比例函数y= 得=3，
解得m=3，
所以一次函数的表达式为y= ，反比例函数的表达式为y=
（2）解：(5，0)或( -8 ，0)或(2，0)．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2）点P的坐标为(5，0)或(-8 ，0)或(2，0)．
解析：由(1)知，A(1，3)，B(-3，0) ，则AB= =5，
设P(a，0)，
当AB=AP时，5=
解得a=5或a=-3(舍去)，
故点P的坐标为(5，0)；
当AB=PB时，5=|-3-a|，
解得a=-8或a=2，
故点P的坐标为(-8，0)或(2，0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标为(5，0)或( -8 ，0)或(2，0)．
【分析】（1）先把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式求出k、n的值，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式，求出m的值即可解答；
（2）设P（a，0），利用两点间的距离公式和勾股定理表示出AP、AB、BP的长，然后根据 △ABP是以AB为腰的等腰三角形 分两种情况讨论，列出方程，求解即可解答．
4．【答案】（1）解：把A(0，2)代人y1 =x+b得b=2，
即一次函数的表达式为y1 =x+2．
把点C(1，m) ，D(n，-1)代人y1 =x+2得
解得
即C(1，3)，D(-3，-1)，
把点C的坐标代人y2= 得3= ，解得k=3．
（2）解：①当M在第一象限时，根据题意得MC⊥CD，
∵直线y1=x+2，∴设直线CM的表达式为y= -x+b1．
将C(1，3)代入y=-x+b1，得3=-1+b1，
解得b1=4，∴直线CM的表达式为y=-x+4．
联立得或(舍去)，∴M(3，1)．
②当M在第三象限时，根据题意得MD⊥CD，
∵直线y1 =x+2，∴设直线DM的表达式为y=-x+b2．
将D(-3，-1)代人y=-x+b2 ，得-1=3+b2 ，解得b2=-4，
∴直线DM的表达式为y=-x-4．
联立
得或(舍去)
∴M(-1，-3)．综上，点M的坐标为(3，1)或(-1，-3)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先把A的坐标代入y1＝x+b求出b的值，从而可得出一次函数的表达式，然后把C（1，m），D（n，﹣1）代入求出C、D的坐标，再把C的坐标代入y2的，求出k的值即可解答；
（2）因为要M，C，D为顶点的三角形是直角三角形，且CD为直角边 ，因此要分两种情况讨论来讨论，第一种当M在第一象限时，根据题意得MC⊥CD，根据 两直线垂直，斜率乘积为-1 ，求出CM的表达式，然后联立一次函数和反比例函数的解析求出点M的坐标即可；第二种是是当M在第三象限时，根据题意得MD⊥CD，同理用第一种方法即可求出点M的坐标即可解答.
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