【学霸】浙教版数学八下专题反比例函数与一次函数综合(二)：坐标的相关问题
1．如图，点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，AB⊥x轴，垂足为B(3，0)，过点C(5，0)作CD⊥x轴，交过点B的一次函数y=x+b的图象于点D，交反比例函数的图象于点E，S△AOB=3．
（1）求反比例函数y=(x>0)和一次函数y=x+b的表达式；
（2）求DE的长．
2．如图，直线y=x+b与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
3．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y= 相交于A(-1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
（1）求m，n的值；
（2）求直线AC的表达式；
（3）点P在双曲线上，且△POC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标．
4．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(-1，4)，B(a，-1)两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P(n，0)在x轴负半轴上，连结AP，过点B作BQ∥AP，交y=的图象于点Q，连结PQ．当BQ=AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值
答案解析部分
1．【答案】（1）点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOB =k=3，∴k=6，∴反比例函数的表达式为y=
∵一次函数y=x+b的图象过点B(3，0)，
∴×3+b=0，解得b，∴一次函数的表达式为y=
（2）∵过点C(5，0)作CD⊥x轴，交过点B的一次函数y=的图象于点D，∴当x=5时，y=，y==3，∴点E的坐标为(5，)，点D的坐标为(5，3)，∴DE=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）首先利用反比例函数系数k的几何意义可求出k的值，把B的坐标代入 y=x+b 即可求得b的值，即可解答；
（2）先利用两个函数的解析式分别求出D、E的坐标，然后根据DE的长等于D点纵坐标减去E的纵坐标即可解答．
2．【答案】（1）∵点A在反比例函数y=的图象上，且点A的纵坐标为6，
∴点A的坐标为(2，6)．∵直线y=x+b经过点A，∴6=×2+b，∴b=9．
（2）如图，
设直线AB与x轴的交点为D，
设点C(a，0)．∵直线AB与x轴的交点为D，∴点D(6，0)，由题意可得
解得或
∵已知点A的纵坐标为6，
∴点B的坐标为(4，3)．
∵S△ACB=S△ACD-S△BCD，
∴3=CD×(6-3)，
∴CD=2．∴点C的坐标为(4，0)或(8，0)．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据点A的纵坐标可求出点A坐标，然后代入解析式可求即可解答；
（2）先联立直线和反比例函数解析式求出点D坐标，然后由面积的和差关系可求CD＝2，即可解答．
3．【答案】（1）∵直线y=mx与双曲线y=相交于A(-1，a)，B两点，
∴点B的横坐标为1，即点C的坐标为(1，0)．∵△AOC的面积为1，∴点A的坐标为(-1，2)．
将A(-1，2)代人y=mx，y=可得m=-2，n=-2．
（2）设直线AC的表达式为y=kx+b，
∵直线y=kx+b经过点A(-1，2) ，C(1，0)，
∴
解得
∴直线AC的表达式为y=-x+1．
（3）∵A(-1，2) ，C(1，0)，∴B(1， -2)，∴S△ABC=×2×2=2．
∵△POC的面积等于△ABC面积的，S△POC=
∵S△POC=OC·|yp|，∴=×1·|yp|，解得yp=±1，
∴点P的坐标为(-2，1)或(2，-1)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）由题意，根据中心对称的性质得到B的横坐标为1，从而得出点C的坐标，然后根据三角形AOC的面积求出A的纵坐标，可得出点A的坐标，然后将点A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
（2）设直线AC解析式为y＝kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式；
（3）根据题意先求出△POC的面积为，根据三角形面积公式得到 |yP|，解得yP＝±1，从而求得P的坐标即可解答．
4．【答案】（1）反比例函数y=的图象过A(-1 ，4)，B(a，-1)两点，
∴m=-1x4=a·(-1)，
∴m=-4，a=4，
∴反比例函数的表达式为y=，点B的坐标为(4，-1)，
把点A ，B的坐标代人y=kx+b ，得
解得
∴一次函数的表达式为y=-x+3．
（2）∵A(-1，4)，B(4，-1)，P(n，0) ，BQ∥AP，BQ=AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移(-1-n)个单位，向下平移4个单位得到点P．
∴点B(4，-1)向左平移(-1-n)个单位，向下平移4个单位得到点Q(5+n，-5)．
∥点Q在y=上，
∴-5=
解得n=
∴Q(，-5)
连结AQ交x轴于点C，
设直线AQ的表达式为y=k'x+b'，
则
解得
∴直线AQ的表达式为y=-5x-1．
令y=0，则x=
∴点C的坐标为(，0)，
∴PC==4，
∴S△APQ =S△APC+S△QPC=×4×(4+5)= 18，
∴四边形APQB的面积为36，
故n=符合题意．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1），可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式；
（2）先证得四边形APQB是平行四边形，根据平移的性质求出Q点的坐标，然后代入反比例函数解析式即可求得n的值．
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1．如图，点A在反比例函数y=(x>0)的图象上，AB⊥x轴，垂足为B(3，0)，过点C(5，0)作CD⊥x轴，交过点B的一次函数y=x+b的图象于点D，交反比例函数的图象于点E，S△AOB=3．
（1）求反比例函数y=(x>0)和一次函数y=x+b的表达式；
（2）求DE的长．
【答案】（1）点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOB =k=3，∴k=6，∴反比例函数的表达式为y=
∵一次函数y=x+b的图象过点B(3，0)，
∴×3+b=0，解得b，∴一次函数的表达式为y=
（2）∵过点C(5，0)作CD⊥x轴，交过点B的一次函数y=的图象于点D，∴当x=5时，y=，y==3，∴点E的坐标为(5，)，点D的坐标为(5，3)，∴DE=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）首先利用反比例函数系数k的几何意义可求出k的值，把B的坐标代入 y=x+b 即可求得b的值，即可解答；
（2）先利用两个函数的解析式分别求出D、E的坐标，然后根据DE的长等于D点纵坐标减去E的纵坐标即可解答．
2．如图，直线y=x+b与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，已知点A的纵坐标为6．
（1）求b的值；
（2）若点C是x轴上一点，且△ABC的面积为3，求点C的坐标．
【答案】（1）∵点A在反比例函数y=的图象上，且点A的纵坐标为6，
∴点A的坐标为(2，6)．∵直线y=x+b经过点A，∴6=×2+b，∴b=9．
（2）如图，
设直线AB与x轴的交点为D，
设点C(a，0)．∵直线AB与x轴的交点为D，∴点D(6，0)，由题意可得
解得或
∵已知点A的纵坐标为6，
∴点B的坐标为(4，3)．
∵S△ACB=S△ACD-S△BCD，
∴3=CD×(6-3)，
∴CD=2．∴点C的坐标为(4，0)或(8，0)．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据点A的纵坐标可求出点A坐标，然后代入解析式可求即可解答；
（2）先联立直线和反比例函数解析式求出点D坐标，然后由面积的和差关系可求CD＝2，即可解答．
3．如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y= 相交于A(-1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．
（1）求m，n的值；
（2）求直线AC的表达式；
（3）点P在双曲线上，且△POC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标．
【答案】（1）∵直线y=mx与双曲线y=相交于A(-1，a)，B两点，
∴点B的横坐标为1，即点C的坐标为(1，0)．∵△AOC的面积为1，∴点A的坐标为(-1，2)．
将A(-1，2)代人y=mx，y=可得m=-2，n=-2．
（2）设直线AC的表达式为y=kx+b，
∵直线y=kx+b经过点A(-1，2) ，C(1，0)，
∴
解得
∴直线AC的表达式为y=-x+1．
（3）∵A(-1，2) ，C(1，0)，∴B(1， -2)，∴S△ABC=×2×2=2．
∵△POC的面积等于△ABC面积的，S△POC=
∵S△POC=OC·|yp|，∴=×1·|yp|，解得yp=±1，
∴点P的坐标为(-2，1)或(2，-1)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）由题意，根据中心对称的性质得到B的横坐标为1，从而得出点C的坐标，然后根据三角形AOC的面积求出A的纵坐标，可得出点A的坐标，然后将点A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
（2）设直线AC解析式为y＝kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AC的解析式；
（3）根据题意先求出△POC的面积为，根据三角形面积公式得到 |yP|，解得yP＝±1，从而求得P的坐标即可解答．
4．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(-1，4)，B(a，-1)两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点P(n，0)在x轴负半轴上，连结AP，过点B作BQ∥AP，交y=的图象于点Q，连结PQ．当BQ=AP时，若四边形APQB的面积为36，求n的值
【答案】（1）反比例函数y=的图象过A(-1 ，4)，B(a，-1)两点，
∴m=-1x4=a·(-1)，
∴m=-4，a=4，
∴反比例函数的表达式为y=，点B的坐标为(4，-1)，
把点A ，B的坐标代人y=kx+b ，得
解得
∴一次函数的表达式为y=-x+3．
（2）∵A(-1，4)，B(4，-1)，P(n，0) ，BQ∥AP，BQ=AP，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A向左平移(-1-n)个单位，向下平移4个单位得到点P．
∴点B(4，-1)向左平移(-1-n)个单位，向下平移4个单位得到点Q(5+n，-5)．
∥点Q在y=上，
∴-5=
解得n=
∴Q(，-5)
连结AQ交x轴于点C，
设直线AQ的表达式为y=k'x+b'，
则
解得
∴直线AQ的表达式为y=-5x-1．
令y=0，则x=
∴点C的坐标为(，0)，
∴PC==4，
∴S△APQ =S△APC+S△QPC=×4×(4+5)= 18，
∴四边形APQB的面积为36，
故n=符合题意．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数的图象过A（﹣1，4），B（a，﹣1），可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的表达式；
（2）先证得四边形APQB是平行四边形，根据平移的性质求出Q点的坐标，然后代入反比例函数解析式即可求得n的值．
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