1.2二次根式的性质-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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1.2二次根式的性质 同步分层作业
基础过关
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2. 化简（﹣）2的结果是（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．9
3. 化简：＝（　　）
A． B．﹣2 C．4 D．2
4. 下列计算正确的是（　　）
A．＝±3 B．＝﹣3 C．（﹣）2＝3 D．（）2＝﹣3
5. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6.下列各式的化简中，正确的是（　　）
A．＝+＝17 B．＝﹣10
C．（﹣）2＝3 D．＝＝7
7. 化简：①＝　 　；②＝　　．③＝ 　 ．
8. 化简：＝　 ．
9. 计算＝　 　．
10. 化简：
（1）； （2）； （3）； （4）．
能力提升
11. 下列各式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
12. 若＝a﹣5，则a的取值范围是（　　）
A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5
13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b
14. 下列运算中，错误的有（　　）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15. 已知0＜x＜3，化简﹣的结果是（　　）
A．3x﹣4 B．x﹣4 C．3x+6 D．﹣x+6
16. 二次根式的值等于（　　）
A． B． C．± D．
17. 如果，那么等式成立的条件是 　 　．
18. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b||c|＝　　．
19. 若成立，则x满足的条件是　　．
20.化简：
（1） （2） （3） （4）
21.在什么条件下，下列各式有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
22. 有一道练习题是：对于代数式2a﹣，小明的解法对吗？若不对，请改正；若正确，请说明理由．
23.已知，化简．
培优拔尖
24.. 若+＝6，则a的取值范围是（　　）
A．a＝2 B．﹣4≤a≤2 C．a≤﹣4 D．a≥2
25.将a根号外的因式移到根号内，得（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
26. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，那么化简﹣2a﹣2b﹣2c＝　0　．
27. 先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①；
＝②；
＝③；
＝④．
在上述化简过程中，第 　　步出现了错误，化简的正确结果为 　　；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
28. 观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　　 ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　；
（3）请证明（2）中的结论．
29.化简：﹣a．
解：﹣a＝a﹣a ＝（a﹣1）．
阅读上面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程．
答案与解析
基础过关
1. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、＝＝，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝3，故C不符合题意；
D、＝，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 化简（﹣）2的结果是（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．9
【点拨】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解析】解：原式＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
3. 化简：＝（　　）
A． B．﹣2 C．4 D．2
【点拨】利用二次根式的性质进行化简，即可得到答案．
【解析】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题关键．
4. 下列计算正确的是（　　）
A．＝±3 B．＝﹣3 C．（﹣）2＝3 D．（）2＝﹣3
【点拨】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解析】解：（A）原式＝3，故A错误；
（B）原式＝3，故B错误；
（D）无意义，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
5. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解析】解：A.＝，故A不符合题意；
B.＝＝，故B不符合题意；
C.是最简二次根式，故C符合题意；
D.＝5，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键
6.下列各式的化简中，正确的是（　　）
A．＝+＝17 B．＝﹣10
C．（﹣）2＝3 D．＝＝7
【点拨】根据二次根式乘法、商的算术平方根等概念分别判断．
【解析】解：A、∵＝＝13≠17，故错误；
B、∵＝|﹣10|＝10≠﹣10，故错误；
C、∵（﹣）2＝（﹣）×（﹣）＝3，正确；
D、∵＝＝，故错误．
故选：C．
【点睛】正确理解二次根式乘法、商的算术平方根等概念是解答问题的关键．
7. 化简：①＝　0.3　；②＝　　．③＝　　．
【点拨】这①、②道题都是要根据二次根式的性质化简，运用进行求解就可以了．第③是运用二次根式的除法法则进行计算．
【解析】解：①原式＝|﹣0.3|＝0.3；
②原式＝|2﹣|＝﹣2；
③原式＝＝＝．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简以及二次根式的除法运算．
8. 化简：＝　　．
【点拨】根据二次根式的性质解答即可．
【解析】解：原式＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
9. 计算＝　2　．
【点拨】先计算（﹣4）×（﹣5），再计算即可．
【解析】解：＝＝2．
故答案是2．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是注意二次根式的计算结果要化成最简二次根式．
10. 化简：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【点拨】（1）根据5＝（）2约分即可；
（2）把根式内的分母开出来即可；
（3）先化成分数，再开出来即可；
（4）先开方，再相乘即可．
【解析】解：（1）＝；
（2）＝＝；
（3）＝＝；
（4）＝0.2×0.7＝0.14．
【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的化简能力和计算能力．
能力提升
11. 下列各式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【解析】解：A.的被开方数是分式，因此它不是最简二次根式，所以选项A不符合题意；
B.的被开方数是分式，因此它不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；
C.符合最简二次根式的定义，因此选项C符合题意；
D.的被开方数中含有能开得尽方的因式a2，因此它不是最简二次根式，所以选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查最简二次根式，理解“被开方数是整数或整式，且不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式”是正确判断的关键．
12. 若＝a﹣5，则a的取值范围是（　　）
A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5
【点拨】根据二次根式的性质解答即可．
【解析】解：∵＝a﹣5，
∴a﹣5≥0，
∴a≥5．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b
【点拨】利用已知条件确定出a+1，b﹣1，a﹣b的符号，再利用二次根式的性质和绝对值的意义化简运算即可．
【解析】解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a
＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
14. 下列运算中，错误的有（　　）
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据二次根式的性质逐个进行计算即可．
【解析】解：①，故正确；
②，故正确；
③，故正确；
④，故错误；
∴错误的有④，共1个，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
15. 已知0＜x＜3，化简﹣的结果是（　　）
A．3x﹣4 B．x﹣4 C．3x+6 D．﹣x+6
【点拨】先根据已知条件，判断出（2x+1）及（x﹣5）的符号，然后根据二次根式的意义及绝对值的性质化简．
【解析】解：∵0＜x＜3，
∴x﹣5＜0，2x+1＞0；
原式＝2x+1﹣[﹣（x﹣5）]
＝2x+1+x﹣5
＝3x﹣4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根据二次根式的意义与绝对值的性质．
二次根式规律总结：当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a．
绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
16. 二次根式的值等于（　　）
A． B． C．± D．
【点拨】算术平方根为非负数，可知2＞，开方后即为2﹣．
【解析】解：∵2＞，
∴原式＝2﹣．
故选：B．
【点睛】考查了算术平方根在计算中的应用，须知算术平方根恒为非负数．
17. 如果，那么等式成立的条件是 　﹣2≤x≤0　．
【点拨】根据解答即可．
【解析】解：如果，
那么x≤0，2+x≥0，
解得﹣2≤x≤0
故答案为：﹣2≤x≤0．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握的化简以及二次根式有意义的条件是解题的关键．
18. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b||c|＝　0　．
【点拨】根据数轴得到a﹣c＞0，c﹣b＜0，根据二次根式的性质化简，合并同类项得到答案．
【解析】解：由数轴可知，c＜b＜0＜a，
则c﹣a＜0，a﹣b＞0，
∴原式＝﹣b﹣a+b﹣c+a+c＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数轴的概念，掌握二次根式的性质是解题的关键．
19. 若成立，则x满足的条件是　1≤x＜2　．
【点拨】直接根据二次根式的性质即可求出x的取值范围．
【解析】解：∵，
∴x﹣1≥0，且2﹣x＞0，
∴x满足的条件是1≤x＜2．
故答案为：1≤x＜2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，其中正确使用二次根式的性质是化简的关键．
20.化简：
（1） （2） （3） （4）
【点拨】根据二次根式乘法、商的算术平方根的性质分别计算．
【解析】解：（1）原式＝；
（2）原式＝＝2；
（3）原式＝；
（4）原式＝．
【点睛】正确运用二次根式乘法、商的算术平方根的性质是解答问题的关键．
21.在什么条件下，下列各式有意义？
（1）
（2）
（3）
（4）
【点拨】利用根式的性质进行求解．
【解析】解：（1）a≥0，
（2）x＝0，
（3）a≥0，
（4）x＞2．
【点睛】此题主要考查二次根式的性质，主要根号里面数的非负性，是一道基础题．
22. 有一道练习题是：对于代数式2a﹣，小明的解法对吗？若不对，请改正；若正确，请说明理由．
【点拨】根据＝即可作出判断．
【解析】解：不对．
原因：a与2的大小关系不确定．
当a≥2时，原式＝a+2；
当a＜2时，原式＝3a﹣2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，理解二次根式的性质是关键．
23.已知，化简．
【点拨】根据绝对值的意义，确定x的取值范围，然后用二次根式的性质对代数式化简．
【解析】解：由绝对值的意义有：x≥0．
当0≤x≤1时，|1﹣|＝|1﹣（1﹣x）|＝x；
当x＞1时，|1﹣|＝|1﹣（x﹣1）|＝|2﹣x|≠x；
所以：0≤x≤1．
原式＝|x﹣|+|x+|，
＝x++|x﹣|＝．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质，先根据绝对值的意义确定x的取值范围，然后用二次根式的性质对代数式计算．
培优拔尖
24.. 若+＝6，则a的取值范围是（　　）
A．a＝2 B．﹣4≤a≤2 C．a≤﹣4 D．a≥2
【点拨】根据二次根式的性质＝a（a≥0），可得答案．
【解析】解：+＝6，得
2﹣a+a+4＝6，
2﹣a≥0，a+4≥0，解得a≤2，a≥﹣4，
即﹣4≤a≤2，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．
25.将a根号外的因式移到根号内，得（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【点拨】直接利用二次根式的性质得出a的符号，进而变形得出答案．
【解析】解：a＝﹣＝﹣．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
26. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，那么化简﹣2a﹣2b﹣2c＝　0　．
【点拨】由于a、b、c为△ABC的三边，根据三角形的三边的关系可以得到a+b+c、a+b﹣c、a﹣b﹣c、c+a﹣b的正负，然后利用绝对值的性质即可求解．
【解析】解：∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b+c＞0、a+b﹣c＞0、a﹣b﹣c＜0、c+a﹣b＞0，
∴﹣2a﹣2b﹣2c
＝a+b+c+a+b﹣c+b+c﹣a+c+a﹣b﹣2a﹣2b﹣2c
＝0．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，同时利用了三角形的三边的关系，解题首先利用三角形的三边关系得到根号内面的代数式的正负，然后利用绝对值的性质即可化简求解．
27. 先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①；
＝②；
＝③；
＝④．
在上述化简过程中，第 　④　步出现了错误，化简的正确结果为 　﹣　；
（2）化简；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：．
【点拨】（1）第④步出现了错误，；
（2）类比例题，将（9分）别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可；
（3）类比例题，将（8分）别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可．
【解析】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下：
＝
＝
＝
＝．
故答案为：④，；
（2）
＝
＝
＝
＝；
（3）
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键．
28. 观察下列各式：①＝2，②＝3；③＝4，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：　＝5　；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　＝（n+1）　；
（3）请证明（2）中的结论．
【点拨】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
【解析】解：（1）＝5；
（2）＝（n+1）；
（3）
＝
＝
＝
＝（n+1）．
故答案为：（1）＝5；
（2））＝（n+1）．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
29.化简：﹣a．
解：﹣a＝a﹣a ＝（a﹣1）．
阅读上面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程．
【点拨】根据二次根式的乘除法，可化简二次根式．
【解析】解：不正确；
﹣a＝﹣a﹣a＝﹣a+a＝（1﹣a）．
【点睛】本题考查了二次根式性质与化简，注意a是负数，不能改变符号．
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