1.3二次根式的运算-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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1.3二次根式的运算 同步分层作业
基础过关
1．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
2. 下列运算错误的是（　　）
A．＝2 B．＝1 C．＝ D．＝
3. 下列计算正确的是（　　）
A．2+3＝5 B．÷＝2 C．5×5＝5 D．＝2
4. 下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5. 下列计算正确的是（　　）
A． B．＝1
C． D．﹣1
6. 一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（　　）
A． B． C． D．
7. 计算：＝　　．
8. 计算：＝　3　．
9. 下面是小明和大刚分别计算：，的做法．
小明的做法：
解：＝＝＝6，．
大刚的做法：
解：＝＝6，．
两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目：
（1）；
（2）．
10.计算：．
解：原式＝…第1步，
＝…第2步，
＝…第3步，
＝…第4步．
（1）以上解答过程中，从 　　开始出现错误；
（2）请写出本题的正确解答过程．
11.计算：
（1）；
（2）．
12.计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
13.已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
14.同一地点从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体的高度有关．若物体从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s），且t与h的关系可以表示为t＝（k为常数），当h＝80时，t＝4．则从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为 　　．
能力提升
15. 计算÷× 的结果是（　　）
A． B． C． D．
16. 若三角形的三边分别是a，b，c，且，则这个三角形的周长是（　　）
A．+5 B． C． D．
17. 计算（1+）2010（1﹣）2011的结果是（　　）
A．1﹣ B．﹣1 C．1 D．﹣1
18. 如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）
A．8﹣8 B．8﹣12 C．4﹣2 D．8﹣2
19. 计算：
（1）．
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
20. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21. 计算：2×3++﹣．
22.已知：，．求下列各式的值．
（1）xy；
（2）x2﹣xy+y2．
23. 我们将（+），（﹣）称为一对“对偶式”，因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”，再将其相乘可以将（+）和（﹣）中的“”去掉，例如：＝像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号去掉，叫做分母有理化．
理解并运用以上材料提供的方法，解答以下问题．
（1）化简：＝　3+2　．
（2）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求x+的值．
24. 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而2＜＜3，所以的整数部分是2，将咸去其整数部分2，所得的差﹣2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是 　　，小数部分是 　 ；
（2）如果3+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+的值．
培优拔尖
25. 如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（　　）
A．4 B． C．9 D．
26. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）＝　﹣　．
（2）化简．
（3）若，则a4﹣4a3﹣4a+7的值 　　．
答案与解析
基础过关
1．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解析】解：
＝
＝．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．
2. 下列运算错误的是（　　）
A．＝2 B．＝1 C．＝ D．＝
【点拨】根据二次根式的除法法则进行计算即可．
【解析】解：A．÷
＝
＝
＝2，
则A不符合题意；
B．÷
＝
＝
＝，
则B符合题意；
C．÷
＝
＝
＝，
则C不符合题意；
D．÷
＝
＝
＝，
则D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的除法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3. 下列计算正确的是（　　）
A．2+3＝5 B．÷＝2 C．5×5＝5 D．＝2
【点拨】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．
【解析】解：A、2与3不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝2，所以B选项正确；
C、原式＝25＝25，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
4. 下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解析】解：A、原式＝6，所以A选项的计算错误；
B、5与5不能合并，所以B选项的计算错误；
C、原式＝8＝8，所以C选项的计算正确；
D、原式＝2，所以D选项的计算错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5. 下列计算正确的是（　　）
A． B．＝1
C． D．﹣1
【点拨】利用二次根式的化简方法，混合运算的计算方法，逐一计算得出答案即可．
【解析】解：A、﹣＝，原题计算错误；
B、＝＝，原题计算错误；
C、（2﹣）（2+）＝4﹣5＝﹣1，原题计算错误；
D、＝3﹣1，原题计算正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简与计算方法是解决问题的关键．
6. 一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】用长方形的面积除以一边的长即可求得另一边的长．
【解析】解：由题意得：÷＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是了解二次根式的除法法则，难度不大．
7. 计算：＝　　．
【点拨】根据二次根式的除法法则进行计算．
【解析】解：＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，掌握运算法则是解题的关键．
8. 计算：＝　3　．
【点拨】利用二次根式的乘法与除法的法则进行求解即可．
【解析】解：＝＝，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9. 下面是小明和大刚分别计算：，的做法．
小明的做法：
解：＝＝＝6，．
大刚的做法：
解：＝＝6，．
两人的做法是否都正确？并选一个你认为合适的方法，计算下面的题目：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）（2）先判断正确性，再对照已知做法计算即可．
【解析】解：两人的做法都正确，
（1）＝＝；
（2）＝＝＝．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法和除法，解题的关键是掌握运算法则，并判断已知做法的正确性．
10.计算：．
解：原式＝…第1步，
＝…第2步，
＝…第3步，
＝…第4步．
（1）以上解答过程中，从 　第3步　开始出现错误；
（2）请写出本题的正确解答过程．
【点拨】（1）与不能合并，所以第3步开始出现错误；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【解析】解：（1）以上解答过程中，从第3步开始出现错误；
故答案为：第3步；
（2）正确解答为：
原式＝
＝．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
11.计算：
（1）；
（2）．
【点拨】（1）先根据根式的性质化简，再利用合并同类二次根式的法则求解即可得到答案；
（2）先根据平方差公式，完全平方公式及二次根式性质展开，再利用合并同类二次根式的法则求解即可得到答案．
【解析】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
【点睛】本题考查根式的性质，平方差公式，完全平方公式，合并同类二次根式的法则，解题的关键是熟练掌握，，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，．
12.计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【点拨】（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简，再算减法即可；
（3）先计算二次根式的乘除法，再算减法即可；
（4）先利用完全平方公式计算，再化简二次根式，然后算加减即可．
【解析】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝﹣3
＝4﹣3
＝1；
（3）
＝
＝6﹣7
＝﹣1；
（4）
＝
＝
＝
＝；
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
13.已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：
（1）a2﹣2ab+b2；
（2）a2﹣b2．
【点拨】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；
（2）结合平方差公式计算得出答案．
【解析】解：∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝+2+﹣2＝2，
a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，
（1）a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2
＝42
＝16；
（2）a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝2×4
＝8．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
14.同一地点从高空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间与物体的质量无关，只与该物体的高度有关．若物体从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s），且t与h的关系可以表示为t＝（k为常数），当h＝80时，t＝4．则从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为 　2s　．
【点拨】先将h＝80，t＝4代入t＝，运用二次根式知识求得k的值，再将h＝100代入求解．
【解析】解：由题意得＝4，
解得k＝5，
∴当h＝100时，
t＝＝＝2（s），
∴从高度为100m的空中自由下落的物体，其落到地面所需的时间为2s，
故答案为：2s．
【点睛】此题考查了二次根式运算的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行列式、求解．
能力提升
15. 计算÷× 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据二次根式的乘除法运算即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16. 若三角形的三边分别是a，b，c，且，则这个三角形的周长是（　　）
A．+5 B． C． D．
【点拨】根据几个非负数的和的性质得到a﹣2＝0，a﹣b﹣1＝0，c﹣4＝0，可解得a＝2，b＝2﹣1，c＝4，然后计算a+b+c即可．
【解析】解：根据题意得a﹣2＝0，a﹣b﹣1＝0，c﹣4＝0，
∴a＝2，b＝2﹣1，c＝4，
∴三角形的周长为2+2﹣1+4＝4+3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的应用：在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．也考查了非负数的性质．
17. 计算（1+）2010（1﹣）2011的结果是（　　）
A．1﹣ B．﹣1 C．1 D．﹣1
【点拨】根据同底数幂的乘法得出（1+）2010×（1﹣）2010×（1﹣），根据积的乘方得出[（1+）×（1﹣）]2010×（1﹣），求出即可．
【解析】解：（1+）2010（1﹣）2011
＝（1+）2010×（1﹣）2010×（1﹣）
＝[（1+）×（1﹣）]2010×（1﹣）
＝（﹣1）2010×（1﹣）
＝1﹣，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，积的乘方，同底数幂的乘法的应用，主要考查学生灵活运用性质进行计算的能力．
18. 如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）
A．8﹣8 B．8﹣12 C．4﹣2 D．8﹣2
【点拨】直接利用二次根式的性质表示出其边长，进而利用长方形面积减去两正方形面积，进而得出答案．
【解析】解：∵在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，
∴两正方形的边长分别为：2和4，
则AB＝4+2，AD＝4，
故图中空白部分的面积为：4（4+2）﹣8﹣16＝8﹣8．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确表示出长方形边长是解题关键．
19. 计算：
（1）．
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【点拨】（1）先算二次根式的乘除法，并化简，再合并计算；
（2）先将括号展开，再算乘除法，最后合并；
（3）利用二次根式的乘法计算，利用平方差公式展开，再合并；
（4）分别化简二次根式，去括号，再合并计算；
（5）先算负指数幂，零指数幂，将括号展开，再合并计算；
（6）先化简二次根式，计算乘法，零指数幂，再合并计算．
【解析】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝
＝；
（3）
＝3﹣（5﹣3）
＝3﹣2
＝1；
（4）
＝
＝
＝；
（5）
＝
＝；
（6）
＝
＝．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【点拨】（1）先根据二次根式的乘法进行运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类项，计算括号里面的，最后根据二次根式的乘法进行计算即可；
（3）先把二次根式化为最简二次根式，化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再合并同类项即可；
（4）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可求解．
【解析】解：（1）
＝4+﹣+2
＝；
（2）
＝
＝
＝
＝；
（3）
＝
＝
＝；
（4）
＝
＝
＝3﹣2﹣5+2﹣1
＝．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的加减混合运算，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
21. 计算：2×3++﹣．
【点拨】先算二次根式的乘法，化简，分母有理化，再算二次根式的加减即可．
【解析】解：2×3++﹣
＝12+
＝12++2+
＝．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握
22.已知：，．求下列各式的值．
（1）xy；
（2）x2﹣xy+y2．
【点拨】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的加法法则求出x+y的值，先根据完全平方公式进行变形，再代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解析】解：（1）∵x＝+，y＝﹣，
∴xy＝（+）×（﹣）
＝（）2﹣（）2
＝7﹣5
＝2；
（2）∵x＝+，y＝﹣，
∴x+y＝（+）+（﹣）＝2，
∵xy＝2，
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2）2﹣3×2
＝28﹣6
＝22．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
23. 我们将（+），（﹣）称为一对“对偶式”，因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b．所以构造“对偶式”，再将其相乘可以将（+）和（﹣）中的“”去掉，例如：＝像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号去掉，叫做分母有理化．
理解并运用以上材料提供的方法，解答以下问题．
（1）化简：＝　3+2　．
（2）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求x+的值．
【点拨】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；
（2）先求得x的值，再把相应的值代入所求的式子运算即可．
【解析】解：（1）
＝
＝
＝3+2，
故答案为：3+2；
（2）∵点B关于点A的对称点为C，点B到点A的距离为：﹣1，
∴x＝1﹣（）＝2﹣，
∴x+
＝2﹣+
＝2﹣+
＝2﹣+2+
＝4．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，数轴，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
24. 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而2＜＜3，所以的整数部分是2，将咸去其整数部分2，所得的差﹣2就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题：
（1）的整数部分是 　4　，小数部分是 　﹣4　；
（2）如果3+的小数部分为a，5﹣的整数部分为b，求a+的值．
【点拨】（1）根据4＜＜5求出的整数部分和小数部分；
（2）先求出a、b，再根据算术平方根计算，得到答案．
【解析】解：（1）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是﹣4，
故答案为：4，﹣4；
（2）∵2＜＜3，
∴2+3＜3+＜3+3，即5＜3+＜6，
∴3+的整数部分是5，小数部分a＝﹣2，
∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴5﹣2＜5﹣＜5﹣1，即3＜5﹣＜4，
∴5﹣的整数部分b＝3，
∴a+＝﹣2+＝+1．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值、估算无理数的大小，根据算术平方根的定义进行无理数的估算是解题的关键．
培优拔尖
25. 如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形条的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（　　）
A．4 B． C．9 D．
【点拨】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．
【解析】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，
∴重叠部分也为正方形，
∵空白部分的面积为，
∴一个空白长方形面积＝2﹣2，
∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1，
∴大正方形边长＝，重叠部分边长＝1，
∴空白部分的长＝﹣1，
设空白部分宽为x，可得：（﹣1）x＝2﹣2，
解得：x＝2，
∴小正方形的边长＝空白部分的宽+阴影部分边长＝2+1＝3，
∴小正方形面积＝32＝9，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．
26. 在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的：
∵
∴
∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）＝　﹣　．
（2）化简．
（3）若，则a4﹣4a3﹣4a+7的值 　8　．
【点拨】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用a＝+2得到a﹣2＝，两边平方得到a2﹣4a＝1，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解析】解：（1）
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）
＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1+﹣+﹣+﹣…﹣+﹣+
＝﹣1+；
（3）∵，
∴a﹣2＝，
∴（a﹣2）2＝5，
即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+7
＝a2（a2﹣4a）﹣4a+7
＝a2×1﹣4a+7
＝a2﹣4a+7
＝1+7
＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
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