2.1一元二次方程-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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2.1一元二次方程 同步分层作业
基础过关
1. 下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x＝2 B．x2+2y＝1 C． D．x2+5x﹣1＝0
2. 若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m＝1 C．m＞1 D．m≠0
3. 方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．2x2和﹣3x B．2x2和3x C．2和﹣3 D．2和3
4. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
5. 将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6
C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2
6. 如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．+2 D．3
7. 若x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m＝（　　）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
8. 若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（　　）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
9. 若（a﹣1）x|a﹣3|+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　．
10. 下列方程是整式方程吗？还是一元一次方程？或一元二次方程？
（1）3x+2＝5x﹣3．
（2）x2＝4．
（3）（x﹣1）（x﹣2）＝x2+8．
（4）（x+3）（3x﹣4）＝（x+2）2．
11.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）4x2＝3x；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0；
（3）x（x+2）＝3（x+2）；
（4）（x+1）2﹣2（x+1）＝0．
12.若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
13. 已知关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
能力提升
14. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a为　 　．
15.若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2024﹣a﹣b的值是（　　）
A．2021 B．2024 C．2026 D．2027
16. 已知m是方程x2﹣16x+60＝0的一个根，则代数式3m2﹣48m+2022的值是 　 　．
17. 在一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a、b、c满足关系式a﹣b+c＝0，则这个方程必有一个根为　　．
18. 若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝　 　．
19. 已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程4x2+11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由．
（2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？
21．已知x＝1是方程x2﹣mx+1＝0的根，请化简：﹣．
培优拔尖
22. 已知m是一元二次方程x2﹣2005x+1＝0的解，求代数式的值．
23.已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根．
（1）求a3﹣2a2+2a+1的值；
（2）求a3﹣2a2﹣2a+1的值．
24.已知三个二元一次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0有公共根，求证：a+b+c＝0．
学号：26285845答案与解析
基础过关
1. 下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．3x＝2 B．x2+2y＝1 C． D．x2+5x﹣1＝0
【点拨】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【解析】解：A．方程3x＝2是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．x2+2y＝1是是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是x2+5x﹣1＝0一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠1 B．m＝1 C．m＞1 D．m≠0
【点拨】根据一元二次方程的定义解答即可．
【解析】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
解得：m≠1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3. 方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．2x2和﹣3x B．2x2和3x C．2和﹣3 D．2和3
【点拨】根据一元二次方程的一般形式，得出二次项系数和一次项系数即可．
【解析】解：方程2x2﹣3x﹣1＝0中，二次项系数为2，一次项系数为﹣3，
故选：C．
【点睛】本题考查了对一元二次方程的一般形式的应用，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
【点拨】先去括号，再移项，最后合并同类项即可．
【解析】解：（x﹣1）2＝6，
x2﹣2x+1﹣6＝0，
x2﹣2x﹣5＝0，
即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
5. 将一元二次方程（x+2）2＝5x﹣2化为一般形式后，对应的a，b，c的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2 B．a＝1，b﹣1，c＝6
C．a＝1，b＝﹣5，c＝6 D．a＝1，b＝﹣5，c＝2
【点拨】按照要求将一元二次方程化成ax2+bx+c＝0的形式，然后确定a，b，c的值即可．
【解析】解：（x+2）2＝5x﹣2，
x2+4x+4﹣5x+2＝0，
x2﹣x+6＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝6．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c＝0（a＞0）．
6. 如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．+2 D．3
【点拨】根据一元二次方程的定义得出p2﹣2＝2且p﹣2≠0，再求出p的值即可．
【解析】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴p2﹣2＝2且p﹣2≠0，
∴p＝±2且p≠2，
即p＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出p2﹣2＝2且p﹣2≠0是解此题的关键．
7. 若x＝1是方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m＝（　　）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
【点拨】把x＝1代入一元二次方程得到1﹣m+3＝0，然后解一次方程即可．
【解析】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+3＝0得1﹣m+3＝0，
解得m＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8. 若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（　　）
A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【点拨】先根据一元二次方程根的定义得到3a2﹣a＝1，再把2021﹣6a2+2a变形为2021﹣2（3a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a﹣1＝0，
∴3a2﹣a＝1，
∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）
＝2021﹣2×1
＝2019．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算可简化计算．
9. 若（a﹣1）x|a﹣3|+5＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为 　5　．
【点拨】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．据此即可求解．
【解析】解：由题意得：|a﹣3|＝2且a﹣1≠0，
∴a＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，关键是一元二次方程定义的应用．
10. 下列方程是整式方程吗？还是一元一次方程？或一元二次方程？
（1）3x+2＝5x﹣3．
（2）x2＝4．
（3）（x﹣1）（x﹣2）＝x2+8．
（4）（x+3）（3x﹣4）＝（x+2）2．
【点拨】根据分母中不含未知数的方程式整式方程，可得整式方程，根据整式方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，可得一元二次方程；
根据整式方程中含有一个未知数，且未知数的次数是一次的方程是一元一次方程，可得一元一次方程．
【解析】解：都是整式方程，
（1）3x+2＝5x﹣3，是一元一次方程；
（2）x2＝4，是一元二次方程；
（3）（x﹣1）（x﹣2）＝x2+8，是一元一次方程；
（4）（x+3）（3x﹣4）＝（x+2）2是一元二次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，整式方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，注意要化简后才能判断．
11.将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）4x2＝3x；
（2）（x﹣1）2﹣9＝0；
（3）x（x+2）＝3（x+2）；
（4）（x+1）2﹣2（x+1）＝0．
【点拨】根据一元二次方程的一般式及各部分名称进行解答．
【解析】解：（1）4x2﹣3x＝0，二次项系数是4、一次项系数是﹣3，常数项是0；
（2）x2﹣2x﹣8＝0，二次项系数是1、一次项系数是﹣2，常数项是﹣8；
（3）x（x+2）＝3（x+2）
x2+2x＝3x+6，
x2﹣x﹣6＝0，
二次项系数是1、一次项系数是﹣1，常数项是﹣6；
（4）（x+1）2﹣2（x+1）＝0，
x2+2x+1﹣2x﹣2＝0，
x2﹣1＝0，
二次项系数是1、一次项系数是0，常数项是﹣1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，一次项系数b；c叫做常数项．
12.若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
【点拨】将x＝a代入x2﹣3x+9＝0得a2﹣3a+9＝0，由（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）＝a2﹣3a﹣13即可求解．
【解析】解：将x＝a代入x2﹣3x+9＝0得a2﹣3a+9＝0，
∴a2﹣3a＝﹣9，
（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）
＝a2﹣16﹣3a+3
＝a2﹣3a﹣13
＝﹣9﹣13
＝﹣22．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据所求代数式进行变换求解是解题的关键．
13. 已知关于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【点拨】（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【解析】解：（1）∵（m﹣1）x2+x﹣2＝0，
∴此方程是一元一次方程，则m﹣1＝0，
解得m＝1．
即m＝1时，此方程是一元一次方程；
（2）∵（m＝1）x2+x＝2＝0，
此方程是一元二次方程，则﹣1≠0，
解得m≠1．
即m≠1时，此方程是一元一次方程．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义以及一元二次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
能力提升
14. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a为　2　．
【点拨】把x＝0代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．注意：a+2≠0．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，
∴a2﹣4＝0且a+2≠0．
解得 a＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，以及根与系数的关系．注意：一元二次方程的二次项系数不等于零．
15.若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2024﹣a﹣b的值是（　　）
A．2021 B．2024 C．2026 D．2027
【点拨】先根据一元二次方程解的定义得到a+b＝﹣3，再把2024﹣a﹣b变形为2024﹣（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+3＝0得a+b+3＝0，
∴a+b＝﹣3，
∴2024﹣a﹣b＝2024﹣（a+b）＝2024﹣（﹣3）＝2027．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16. 已知m是方程x2﹣16x+60＝0的一个根，则代数式3m2﹣48m+2022的值是 　1842　．
【点拨】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣16m＝﹣60，再把3m2﹣48m+2022变形为3（m2﹣16m）+2022，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】解：∵m是方程x2﹣16x+60＝0的一个根，
∴m2﹣16m+60＝0，
∴m2﹣16m＝﹣60，
∴3m2﹣48m+2022＝3（m2﹣16m）+2022＝3×（﹣60）+2022＝1842．
故答案为：1842．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17. 在一元二次方程ax2+bx+c＝0中，若a、b、c满足关系式a﹣b+c＝0，则这个方程必有一个根为　﹣1　．
【点拨】由ax2+bx+c＝0，可得：当x＝1时，有a+b+c＝0；当x＝﹣1时，有a﹣b+c＝0，故问题可求．
【解析】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0，满足a﹣b+c＝0，
∴当x＝﹣1时，一元二次方程ax2+bx+c＝0即为：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0；
∴a﹣b+c＝0，
∴当x＝1时，代入方程ax2+bx+c＝0，有a+b+c＝0；
综上可知，方程必有一根为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，此类题目的解法是常常将1或﹣1或0代入方程，来推理判断方程系数的关系．
18. 若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝　6　．
【点拨】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入变形后的式子计算即可．
【解析】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，
∴m2+
＝（m﹣）2+2
＝（）2+2
＝22+2
＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值，本题代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2﹣1＝2m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
19. 已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．
【点拨】先根据一元二次方程的解的定义得到1﹣a﹣b＝0，即a+b＝1，然后利用整体代入的方法计算代数式a2﹣b2+2b的值．
【解析】解：∵﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，
∴1﹣a﹣b＝0，
∴a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根．
20．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程4x2+11x+7＝0是否为“黄金方程”，并说明理由．
（2）已知3x2﹣mx+n＝0是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？
【点拨】（1）根据已知条件中的新定义，找出a，b，c的值，代入a﹣b+c判断是否为0即可；
（2）根据已知条件中的新定义，找出a，b，c的值，求出m，n的关系式，然后把n化成m，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可．
【解析】解：（1）方程 4x2+11x+7＝0 是“黄金方程”，理由如下：
∵a＝4，b＝11，c＝7，
∴a﹣b+c
＝4﹣11+7
＝0，
∴一元二次方程 4x2+11x+7＝0 是“黄金方程”；
（2）∵3x2﹣mx+n＝0 是关于x的“黄金方程”，
∵a＝3，b＝﹣m，c＝n，
∴a﹣b+c＝0，
3﹣（﹣m）+n＝0，
∴n＝﹣3﹣m，
∴原方程可化为 3x2﹣mx﹣3﹣m＝0，
∵m是此方程的一个根，
∴3m2﹣m2﹣3﹣m＝0，即 2m2﹣m﹣3＝0，
解得m＝﹣1或 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，解题关键是理解已知条件中的新定义．
21．已知x＝1是方程x2﹣mx+1＝0的根，请化简：﹣．
【点拨】将x＝1代入到x2﹣mx+1＝0中求得m的值，然后利用二次根式的性质化简所求代数式即可．
【解析】解：∵x＝1是方程x2﹣mx+1＝0的根，
∴12﹣m+1＝0，
∴m＝2，
∴：﹣
＝3﹣m﹣（m﹣1）
＝4﹣2m
＝4﹣2×2
＝0．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程解的定义和二次根式的性质与化简，根据一元二次方程解的定义求出m的值是解题的关键．
培优拔尖
22. 已知m是一元二次方程x2﹣2005x+1＝0的解，求代数式的值．
【点拨】把m代入方程有：m2﹣2005m+1＝0，可以得到：m2﹣2004m＝m﹣1，m2+1＝2005m，代入代数式求出代数式的值．
【解析】解：把m代入方程有：
m2﹣2005m+1＝0
得到：m2﹣2004m＝m﹣1，
m2+1＝2005m，
代入代数式，原式＝m﹣1+＝﹣1＝2005﹣1＝2004．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的式子，代入代数式可以求出代数式的值．
23.已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根．
（1）求a3﹣2a2+2a+1的值；
（2）求a3﹣2a2﹣2a+1的值．
【点拨】已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根，解方程就可以求出a的值，然后代入所求代数式就可求值．可先对所求代数式进行化简，然后再代入计算．
【解析】解：∵已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴a2﹣3a+1＝0即a2﹣2a＝a﹣1，
∴a＝，
∴（1）a3﹣2a2+2a+1＝a（a2﹣2a）+2a+1＝a（a﹣1）+2a+1＝a2+a+1＝a2﹣2a+3a+1＝a﹣1+3a+1＝4a＝6±2；
（2）a3﹣2a2﹣2a+1＝a（a2﹣2a）﹣2a+1＝a（a﹣1）﹣2a+1＝a2﹣2a﹣a+1＝a﹣1﹣a+1＝0．
【点睛】求解本题的关键是正确对式子进行变形．
24.已知三个二元一次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0有公共根，求证：a+b+c＝0．
【点拨】把x＝t代入3个方程得出a t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
【解析】证明：设这三个方程的一个公共根为t．
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a t+b＝0，
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1≠0，
∴a+b+c＝0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
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