2.2一元二次方程的解法-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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2.2一元二次方程的解法 同步分层作业
基础过关
1. 若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
2. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+2）2＝8 B．（x﹣2）2＝16 C．（x+4）2＝8 D．（x﹣4）2＝16
3. 方程2x2﹣x﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
4. 将x2﹣8x+10＝0通过配方转变为（x+a）2＝b的形式，下列结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝﹣6 B．（x+4）2＝6 C．（x﹣4）2＝6 D．（x﹣8）2＝﹣6
5. 如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9
6. 方程的解为 　 　．
7. 如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　 　步开始出错．（填序号）
解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…①2x＝﹣1…②x＝﹣…③
8. 一元二次方程3x（x﹣3）＝x﹣3的解为 　　．
9. 小明用直接降次法解方程（x﹣4）2＝（5﹣2x）2时，得出一元一次方程x﹣4＝5﹣2x，则他漏掉的另一个方程为 　　．
10. 数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题2（x+3）2＝x（x+3），小明同学的做法如下：
解：2（x+3）2＝x（x+3）
2（x+3）＝x…第一步
2x+6＝x…第二步
2x﹣x＝﹣6…第三步
x＝﹣6…第四步
（1）上面的运算过程中从第 　一　步开始出现了错误；
（2）请写出正确的解题过程．
11.解下列方程：（1）～（4）请用括号内指定的方法解答，（5）～（6）请用适当的方法解答
（1）（2x﹣3）2﹣16＝0（直接开平方法）
（2）x2﹣6x+18＝0（配方法）
（3）2x2﹣2x﹣5＝0（公式法）
（4）7x（5x+2）＝6（5x+2）（因式分解法）
（5）（y+2）2＝（3y﹣1）2
（6）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）﹣4＝0
12.（1）解方程：2x（x+1）＝x+1；
（2）已知关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
①求m的取值范围；
②若m为满足条件的最大整数，求方程的根．
能力提升
13. 若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
14. 已知等腰△ABC的底边长为5，其腰长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+6m﹣2＝0的根，则m的值是（　　）
A．2 B．4 C．1 D．3
15. 如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（　　）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．以上答案都不对
16. 已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 　　．
17.按要求解方程
（1）（直接开平方法）
（2）4x﹣1＝2x2（配方法）
（3）（公式法）
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
①4x（2x+1）＝3（2x+1）
②（x+1）2＝（2x﹣1）2
③x2﹣2x﹣3＝0
（5）换元法
①（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0
②．
18.阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2．
综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．
19. 定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程．
（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．
（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，请解出此方程．
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20. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现给出以下结论：
①若a﹣b+c＝0，则方程必有一根为﹣1；
②若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；
③若a、c异号，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若m是方程的根，则等式（2am+b）2＝b2﹣4ac一定成立．
其中正确的结论是 　　．（写出所有正确结论的序号）
21. 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；
④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 　　．
22.（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值等问题中都有着广泛的应用．
例如：①解方程：a2+6a＝﹣8．
解：∵a2+6a＝﹣8，
∴a2+6a+9＝﹣8+9．
∴（a+3）2＝1．
∴a+3＝±1．
∴a+3＝1或a+3＝﹣1．
∴a＝﹣2或a＝﹣4．
②求x2+8x+11的最小值．
解：原式＝x2+8x+16﹣16+11，
＝（x+4）2﹣5．
∵（x+4）2≥0，
∴（x+4）2﹣5≥﹣5．
即x2+8x+11的最小值为﹣5．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　　；
（2）解方程：x2﹣10x﹣11＝0；
（3）求x2+2x+7的最小值．
23.阅读下列材料：
a2±2ab+b2＝（a±b）2，我们把形如“a2+2ab+b2”或“a2﹣2ab+b2”的多项式叫做完全平方式，因为（a±b）2是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如x2+4x+6＝（x2+4x+4）+2＝（x+2）2+2．可知当（x+2）2＝0，即x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）m2﹣4m+7有最小值 　　．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
答案与解析
基础过关
1. 若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
【点拨】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程的根为，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴这个方程是x2+2x﹣4＝0，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程﹣公式法是解题的关键．
2. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0时，下列变形正确的为（　　）
A．（x+2）2＝8 B．（x﹣2）2＝16 C．（x+4）2＝8 D．（x﹣4）2＝16
【点拨】先移项，再在等式两边同时加上4，即可得到答案．
【解析】解：∵x2﹣4x﹣12＝0，
移项得x2﹣4x＝12，
配方可得x2﹣4x+4＝12+4，
即（x﹣2）2＝16，
故选：B．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式是解题的关键．
3. 方程2x2﹣x﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
【点拨】求出判别式的值可得结论．
【解析】解：∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣4）＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
4. 将x2﹣8x+10＝0通过配方转变为（x+a）2＝b的形式，下列结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝﹣6 B．（x+4）2＝6 C．（x﹣4）2＝6 D．（x﹣8）2＝﹣6
【点拨】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解析】解：x2﹣8x+10＝0，
x2﹣8x＝﹣10，
x2﹣8x+16＝6，
（x﹣4）2＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
5. 如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9
【点拨】分当方程是一元二次方程时和当方程是一元一次方程时两种情况求解即可．
【解析】解：∵关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，
∴当方程是一元二次方程时，Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0，
解得：m≤9，且m≠0；
当方程是一元一次方程时，则m＝0，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根．
6. 方程的解为 　x1＝，x2＝﹣5　．
【点拨】根据因式分解，可得答案．
【解析】解：，
于是x﹣＝0或x+5＝0，
解得x1＝，x2＝﹣5，
故答案为：x1＝，x2＝﹣5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程的关键是分解因式．
7. 如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第 　②　步开始出错．（填序号）
解方程：2x2+8x＝﹣4﹣x解：2x（x+4）＝﹣（x+4）…①2x＝﹣1…②x＝﹣…③
【点拨】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解析】解：如上图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第②步开始出错，错误的原因是等式的两边同时除以（x+4），而x+4可能为0，
故答案为：②．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
8. 一元二次方程3x（x﹣3）＝x﹣3的解为 　x1＝1，x2＝　．
【点拨】先移项，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．
【解析】解：∵3x（x﹣3）＝x﹣3，
∴3x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，即（x﹣3）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或3x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝．
故答案为：x1＝1，x2＝．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．
9. 小明用直接降次法解方程（x﹣4）2＝（5﹣2x）2时，得出一元一次方程x﹣4＝5﹣2x，则他漏掉的另一个方程为 　x﹣4＝﹣（5﹣2x）　．
【点拨】根据转化思想、直接开平方法解答．
【解析】解：开平方，得x﹣4＝±（5﹣2x），
∴x﹣4＝5﹣2x或x﹣4＝﹣（5﹣2x），
∴他漏掉的另一个方程为x﹣4＝﹣（5﹣2x），
故答案为：x﹣4＝﹣（5﹣2x）．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
10. 数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题2（x+3）2＝x（x+3），小明同学的做法如下：
解：2（x+3）2＝x（x+3）
2（x+3）＝x…第一步
2x+6＝x…第二步
2x﹣x＝﹣6…第三步
x＝﹣6…第四步
（1）上面的运算过程中从第 　一　步开始出现了错误；
（2）请写出正确的解题过程．
【点拨】（1）当x+3＝0时，方程两边不能同时除以（x+3）；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解析】解：（1）∵当x+3＝0时，方程两边不能同时除以（x+3），
∴上面的运算过程中从第一步开始出现了错误；
故答案为：一；
（2）2（x+3）2＝x（x+3），
移项得：2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，
因式分解得：（x+3）（2x+6﹣x）＝0，
∴x+3＝0或2x+6﹣x＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣6．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是关键．
11.解下列方程：（1）～（4）请用括号内指定的方法解答，（5）～（6）请用适当的方法解答
（1）（2x﹣3）2﹣16＝0（直接开平方法）
（2）x2﹣6x+18＝0（配方法）
（3）2x2﹣2x﹣5＝0（公式法）
（4）7x（5x+2）＝6（5x+2）（因式分解法）
（5）（y+2）2＝（3y﹣1）2
（6）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）﹣4＝0
【点拨】（1）（2）（3）（4）按规定解法求解即可；
（5）移项后用因式分解法（平方差公式）比较简便；
（6）把（x﹣1）看作一个整体，利用十字相乘法求解比较简便．
【解析】解：（1）移项，得（2x﹣3）2＝16，
∴2x﹣3＝±4，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝﹣．
（2）移项，得x2﹣6x＝﹣18，
配方，得x2﹣6x+9＝﹣9，
∴（x﹣3）2＝﹣9，
因为一个数平方不能为负
∴原方程无解．
（3）这里a＝2，b＝﹣2，c＝﹣5，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）
＝8+40＝48．
∴x＝
＝，
∴x1＝，x2＝．
（4）移项，得7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
∴（7x﹣6）（5x+2）＝0
∴7x﹣6＝0或5x+2＝0
∴x1＝，x2＝﹣．
（5）移项，得（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0，
∴（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0，
∴（4y+1）（3﹣2y）＝0，
∴4y+1＝0或3﹣2y＝0，
∴y1＝﹣，y2＝．
（6）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）﹣4＝0
（x﹣1﹣4）（x﹣1+1）＝0，
∴（x﹣5）×x＝0，
∴x1＝5，x2＝0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，题目难度不大，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解决本题的关键．
12.（1）解方程：2x（x+1）＝x+1；
（2）已知关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
①求m的取值范围；
②若m为满足条件的最大整数，求方程的根．
【点拨】（1）先移项得到2x（x+1）﹣（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）①直接利用b2﹣4ac＝16﹣4（m+2）＞0，进而得出m的取值范围；
②利用①中所求得出m的值，再代入解方程即可．
【解析】解：（1）2x（x+1）﹣（x+1）＝0，
（x+1）（2x﹣1）＝0，
x+1＝0或2x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝；
（2）①∵关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝16﹣4（m+2）＞0，
解得：m＜2；
②∵m＜2，
∴m的最大整数值为：1，
当m＝1时，
x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
【点睛】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，正确得出m的取值范围是解答（2）题的关键．
能力提升
13. 若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
【点拨】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解析】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
14. 已知等腰△ABC的底边长为5，其腰长恰好是方程x2﹣2（m+1）x+6m﹣2＝0的根，则m的值是（　　）
A．2 B．4 C．1 D．3
【点拨】根据题意Δ＝0，即可得到[﹣2（m+1）]2﹣4（6m﹣2）＝0，解关于m的方程即可．
【解析】解：由题意得，Δ＝0，则[﹣2（m+1）]2﹣4（6m﹣2）＝0，
解得m＝1或3，
当m＝1时，一元二次方程为x2﹣4x+4＝0
解得x＝2，因为2+2＜5，舍去；
当m＝3时，一元二次方程为x2﹣8x+16＝0
解得x＝4，因为4+4＞5，符合题意；
故m的值为3，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确Δ＝0，把问题转化为关于m的方程解决．
15. 如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（　　）
A．±5 B．5 C．﹣5 D．以上答案都不对
【点拨】设a2+b2＝x，则方程化为（x+3）（x﹣3）＝16，求出x的值，再得出选项即可．
【解析】解：（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，
设a2+b2＝x，则方程化为：（x+3）（x﹣3）＝16，
x2﹣9＝16，
x2＝25，
x＝±5，
当x＝5时，a2+b2＝5，
当x＝﹣5时，a2+b2＝﹣5，
∵不论a、b为何值，a2+b2≥0，
∴此时不行，
即a2+b2＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
16. 已知等腰三角形两边a，b，满足a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，则这个等腰三角形的周长为 　12　．
【点拨】首先利用完全平方公式将等式变形，根据偶次方的非负性，即可分别求出a、b，再根据三角形三边关系、等腰三角形的概念计算即可求得．
【解析】解：a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0，
∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣10b+25）＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0，
∵a﹣2≥0，b﹣5≥0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
解得，a＝2，b＝5，
∵2、2、5不能组成三角形，
∴这个等腰三角形的三边长分别为5、5、2，
∴这个等腰三角形的周长为：5+5+2＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查的是偶次方的非负性、等腰三角形的性质以及三角形三边之间的关系，灵活运用完全平方公式，是解题的关键．
17.按要求解方程
（1）（直接开平方法）
（2）4x﹣1＝2x2（配方法）
（3）（公式法）
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
①4x（2x+1）＝3（2x+1）
②（x+1）2＝（2x﹣1）2
③x2﹣2x﹣3＝0
（5）换元法
①（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0
②．
【点拨】（1）先移项，变成（x+1）2＝，然后直接开平方．
（2）把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
（3）找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
（4）①先移项，然后通过提取公因式（3x﹣2）进行因式分解；
②先移项，然后通过平方差进行因式分解；
③通过十字相乘进行因式分解；
（5）①先设y＝2x+1，则原方程变形为y2﹣3y﹣28＝0，运用因式分解法解得y1＝7，y2＝﹣4，再把y＝7和﹣4分别代入y＝2x+1得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
②先设y＝x+，则原方程变形为y2﹣2y﹣3＝0，运用因式分解法解得y1＝3，y2＝﹣1，再把y＝3和﹣1分别代入y＝x+得到关于x的分式方程，然后求得x的值，最后进行检验即可．
【解析】解：（1）（直接开平方法），
（x+1）2＝，
∴x+1＝±，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）4x﹣1＝2x2（配方法）
2x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣2x＝﹣，
∴x2﹣2x+1＝﹣+1，
∴（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（3）（公式法）
这里a＝1，b＝﹣4，c＝10，
∵b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×10＝48﹣40＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，
则x1＝2+，x2＝2﹣．
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
①4x（2x+1）＝3（2x+1）
4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，
（2x+1）（4x﹣3）＝0
∴2x+1＝0，4x﹣3＝0，
∴x1＝﹣，x2＝；
②（x+1）2＝（2x﹣1）2
（x+1）2﹣（2x﹣1）2＝0
（x+1+2x﹣1）（x+1﹣2x+1）＝0，
∴3x＝0，2﹣x＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
③x2﹣2x﹣3＝0
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0，x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（5）换元法
①（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0，
设y＝2x+1，
原方程变形为y2﹣3y﹣28＝0，
（y﹣7）（y+4）＝0，
解得y1＝7，y2＝﹣4，
当y＝7时，2x+1＝7，解得x＝3；
当y＝﹣4时，2x+1＝﹣4，解得x＝﹣，
所以原方程的解为x1＝3，x2＝﹣．
②．
y＝x+，则原方程化为y2﹣2y﹣3＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1．
当y＝3时，x+＝3，
整理，得x2﹣3x+1＝0
解得：x1＝，x2＝；
当y＝﹣1时，x+＝﹣1
整理，得x2+x+1＝0，△＝1﹣4×1＜0，此方程无实数解；
经检验，x1＝，x2＝是原方程的解．
∴原方程的解为x1＝，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法、配方法、换元法是解题的关键．
18.阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2．
综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．
【点拨】仿照题干所给例题分类讨论：当x≥3时，去绝对值得到x2﹣x＝0，利用因式分解求解；当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，利用因式分解法求解．
【解析】解：①当x≥3时，
原方程可化为x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，
解得x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝1（不符合题意，舍去）；
②当x＜3时，原方程可化为x2+x﹣3﹣3＝0，
解得x3＝﹣3，x4＝2．
综上所述，原方程的根是x3＝﹣3，x4＝2．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
19. 定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“蛟龙”方程．
（1）当b＜0时，判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．
（2）若“蛟龙”方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，请解出此方程．
【点拨】（1）根据“蛟龙”方程的定义得b＝ac，故Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4），当b＜0时，Δ＞0，根据判别式的意义即可得出结论；
（2）根据“蛟龙”方程的定义得m＝2n，根据判别式的意义得Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，求出n，进而得到方程的解．
【解析】解：（1）“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，理由如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“蛟龙”方程，
∴b＝ac，
∵b＜0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4）＞0，
∴“蛟龙”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
（2）∵方程2x2+mx+n＝0为“蛟龙”方程，
∴m＝2n，
∵方程2x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，
∴n＝0或2，
当n＝0时，方程为2x2＝0，解得 x1＝x2＝0；
当n＝2时，方程为2x2+4x+2＝0，解得 x1＝x2＝﹣1．
故此方程的解为0或﹣1．
【点睛】此题考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是了解“蛟龙”方程的定义，难难度不大．
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20. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），现给出以下结论：
①若a﹣b+c＝0，则方程必有一根为﹣1；
②若a﹣b+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；
③若a、c异号，则方程一定有两个不相等的实数根；
④若m是方程的根，则等式（2am+b）2＝b2﹣4ac一定成立．
其中正确的结论是 　①③④　．（写出所有正确结论的序号）
【点拨】①当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c，由此即可判定说法正确；
②由a﹣b+c＝0，可得b＝a+c，再根据Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，由此即可判定说法错误；
③由a、c异号，a≠0，可得Δ＝b2﹣4ac＞0，由此即可判定说法正确；
④将所求式子作差，判断差的符号即可判断说法正确．
【解析】解：①∵a﹣b+c＝0，
∴当x＝﹣1时，ax2+bx+c＝a﹣b+c＝0，
∴x＝﹣1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故结论①正确；
②∵a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴方程有两个实数根，故结论②错误；
③∵a、c异号，a≠0，
∴ac＜0，﹣4ac＞0
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故结论③正确；
④∵x＝m方程的一个根，
∴am2+bm+c＝0，
∴（2am+b）2﹣（b2﹣4ac）＝4a2m2+4abm+b2﹣b2+4ac＝4a（am2+bm+c）＝0，
∴（2am+b）2＝b2﹣4ac，故结论④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式和方程的解等知识，是基础题，需熟练掌握．
21. 对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若a﹣b+c＝0，则它有一根为﹣1；
④若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的 　②③④　．
【点拨】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解析】解：若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
∴c＝0或ac+b+1＝0，故①错误；
若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
若a﹣b+c＝0，则ax2+bx+c＝a﹣b+c，即：ax2﹣a+bx+b＝0
∴a（x﹣1）（x+1）+b（x+1）＝0，即：（x+1）[a（x﹣1）+b]＝0，
∴它有一根为﹣1，故③正确；
若b＝2a+3c，则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+8ac+9c2＝4a2+8ac+4c2+5c2，
即：Δ＝4（a+c）2+5c2，
∵a≠0，∴Δ＝4（a+c）2+5c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形．
22.（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值等问题中都有着广泛的应用．
例如：①解方程：a2+6a＝﹣8．
解：∵a2+6a＝﹣8，
∴a2+6a+9＝﹣8+9．
∴（a+3）2＝1．
∴a+3＝±1．
∴a+3＝1或a+3＝﹣1．
∴a＝﹣2或a＝﹣4．
②求x2+8x+11的最小值．
解：原式＝x2+8x+16﹣16+11，
＝（x+4）2﹣5．
∵（x+4）2≥0，
∴（x+4）2﹣5≥﹣5．
即x2+8x+11的最小值为﹣5．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　；
（2）解方程：x2﹣10x﹣11＝0；
（3）求x2+2x+7的最小值．
【点拨】（1）根据完全平方公式解答；
（2）利用配方法解出一元二次方程；
（3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【解析】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，
故答案为：4；
（2）∵x2﹣10x﹣11＝0，
∴x2﹣10x＝11，
∴x2﹣10x+25＝11+25，
∴（x﹣5）2＝36，
∴x﹣5＝±6，
∴x﹣5＝6或x﹣5＝﹣6，
∴x1＝11，x2＝﹣1；
（3）x2+2x+7
＝x2+2x+1﹣1+7
＝（x+1）2+6，
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+6≥6，
∴x2+2x+7的最小值为6．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
23.阅读下列材料：
a2±2ab+b2＝（a±b）2，我们把形如“a2+2ab+b2”或“a2﹣2ab+b2”的多项式叫做完全平方式，因为（a±b）2是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如x2+4x+6＝（x2+4x+4）+2＝（x+2）2+2．可知当（x+2）2＝0，即x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）m2﹣4m+7有最小值 　3　．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
【点拨】（1）将m2﹣4m+7化为（m﹣2）2+3，即可求解；
（2）将a2+b2﹣4a+6b+18化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，即可求解；
（3）可得（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，即可求解．
【解析】解：（1）m2﹣4m+7
＝m2﹣4m+4+3
＝（m﹣2）2+3，
∴（m﹣2）2＝0，即m＝2时，m2﹣4m+7有最小值，最小值是3；
故答案为：3．
（2）由题意得，
a2+b2﹣4a+6b+18
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）由题意得，
∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了完全平方式非负性的应用，理解非负性，会用非负性解决问题是解题的关键．
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