2.3一元二次方程的应用-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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2.3一元二次方程的应用 同步分层作业
基础过关
1. 某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（　　）
A．12.8（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x）2＝12.8
C．20（1﹣x）2＝20﹣12.8 D．20（1﹣2x）＝12.8
2. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
3. 祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（　　）
A．（3+x）（50+10x）＝120 B．（3﹣x）（50+10x）＝120
C．（3+x）（50﹣10x）＝120 D．（3﹣x）（50﹣10x）＝120
4. 在一次同学聚会上，见面时两两握手一次，共握36次手，设共有x名同学参加聚会，则可列方程为 　　．
5. 五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　　cm2．
6. 如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
7. 2022年北京冬季奥运会在北京市和张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
8. 果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；
（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．
能力提升
9. 某服装原价300元，连续两次涨价，每次都涨m%后的价格为363元，则m是（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
10. 随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　）
A．50000（1+x）2＝20000 B．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝20000
C．5000+5000×3x＝20000 D．5000+5000×2x＝20000
11. 秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　）
A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121 C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121
12. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
13. 近期，哈尔滨冰雪大世界受到广大游客的喜爱，游玩人数剧增．元旦三天假期，第一天游客数量a万人，第二天人数比第一天增长200%，第三天在第二天的基础上回落25%，则第二天和第三天这两天的平均增长率为 　　．
14. 如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　　．
15. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本．
（1）若每本降价10元，平均每天可销售多少本书？此时每天销售获利多少元？
（2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价．
（3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由．
16.如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为22米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽AB；
（2）能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
17.把一边长为60cm的正方形硬纸板，进行剪裁，折成一个长方体盒子．
（1）如图1，若正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为625cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，直接写出这个侧面积的最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）如图2，若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上）将剩余部分正好折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为2800cm2，求长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．
18.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，且0≤t≤6．
（1）BP＝　（12﹣2t）　cm，BQ＝　4t　cm；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2？
（3）△PBQ的面积能达到40cm2，试做出判断，并说明理由．
19.2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
培优拔尖
20. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　　米．
17. 如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为 　　．
22. （1）如图1，在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草
坪，测得草坪的面积是504m2，道路的宽度是多少？
（2）后来要在这块长为30m，宽为20m的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横两竖的道路（横竖道路
各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度比为2：3剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是
地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？
23. 如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）
学号：26285845
答案与解析
基础过关
1. 某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为12.8元，且两次降价的百分比均为x，则可列方程为（　　）
A．12.8（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x）2＝12.8
C．20（1﹣x）2＝20﹣12.8 D．20（1﹣2x）＝12.8
【点拨】利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分比）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：依题意得：20（1﹣x）2＝12.8，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2. 如图是一张长8cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是18cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，那么x满足的方程是（　　）
A．40﹣4x2＝18 B．（8﹣2x）（5﹣2x）＝18
C．40﹣2（8x+5x）＝18 D．（8﹣2x）（5﹣2x）＝9
【点拨】由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（8﹣2x），宽为（5﹣2x），然后根据底面积是18cm2即可列出方程．
【解析】解：设剪去的正方形边长为xcm，
依题意得（8﹣2x） （5﹣2x）＝18，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
3. 祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降x元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为（　　）
A．（3+x）（50+10x）＝120 B．（3﹣x）（50+10x）＝120
C．（3+x）（50﹣10x）＝120 D．（3﹣x）（50﹣10x）＝120
【点拨】当售价下降x元时，每千克酥梨的销售利润为（3﹣x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，利用超市每天销售酥梨获得的利润＝每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：当售价下降x元时，每千克酥梨的销售利润为8﹣x﹣5＝（3﹣x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，
依题意得：（3﹣x）（50+10x）＝120．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4. 在一次同学聚会上，见面时两两握手一次，共握36次手，设共有x名同学参加聚会，则可列方程为 　x（x﹣1）＝36　．
【点拨】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：×学生数×（学生数﹣1）＝总握手次数，把相关数值代入即可．
【解析】解：参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x﹣1）次，
∴可列方程为：x（x﹣1）＝36，
故答案为：x（x﹣1）＝36．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．
5. 五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　9　cm2．
【点拨】设小长方形的长为xcm，宽为xcm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论．
【解析】解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x） x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂图意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
6. 如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
【点拨】设剪去的正方形的边长为x cm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为（3﹣x）cm，根据长方形铁盒的底面积是6cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解析】解：设剪去的正方形的边长为x cm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为﹣x＝（3﹣x）cm，
依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，
整理得：2x2﹣11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝，
当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；
当x＝时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．
答：剪去的正方形的边长为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 2022年北京冬季奥运会在北京市和张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”．
（1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？
（2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？
【点拨】（1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量＝该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量×（1+该工厂平均每月生产量的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+5y）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解析】（1）解：设该工厂平均每月生产量的增长率为x，
依题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该工厂平均每月生产量的增长率为20%．
（2）解：设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利（40﹣y）元，平均每天可售出（20+5y）个，
依题意得：（40﹣y）（20+5y）＝1440，
整理得：y2﹣36y+128＝0，
解得：y1＝4，y2＝32（不符合题意，舍去）．
答：每个“冰墩墩”应降价4元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；
（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．
【点拨】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可；
（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【解析】解 （1）设田丰每次价格下调的百分率为x．
由题意，得15（1﹣x）2＝9.6．
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1＝0.2＝20%．
答：田丰每次价格下调的百分率是20%．
（2）小李选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000＝25920（元），
方案二所需费用为：9.6×3000﹣400×3＝27600（元）．
∵25920＜27600，
∴小李选择方案一购买更优惠．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．
能力提升
9. 某服装原价300元，连续两次涨价，每次都涨m%后的价格为363元，则m是（　　）
A．20 B．15 C．10 D．5
【点拨】利用该服装经过两次涨价后的价格＝原价×（1+每次涨价的百分数）2，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解析】解：根据题意得：300（1+m%）2＝363，
解得：m1＝10，m2＝﹣210（不符合题意，舍去），
∴m的值为10．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10. 随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　）
A．50000（1+x）2＝20000 B．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝20000
C．5000+5000×3x＝20000 D．5000+5000×2x＝20000
【点拨】设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，关系式为：三个月总揽件数＝十月揽件数+十一月揽件数+揽件数×（1+揽件平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解析】解：设该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，由题意可得方程：
5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝20000．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
11. 秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　）
A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121 C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121
【点拨】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝121．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【点拨】若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，根据三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为3（1+x）亿元，第三天票房约为3（1+x）2亿元，
依题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13. 近期，哈尔滨冰雪大世界受到广大游客的喜爱，游玩人数剧增．元旦三天假期，第一天游客数量a万人，第二天人数比第一天增长200%，第三天在第二天的基础上回落25%，则第二天和第三天这两天的平均增长率为 　50%　．
【点拨】设第二天和第三天这两天的平均增长率为x，利用第三天的游客数量＝第一天的游客数量×（1+第二天和第三天这两天的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解析】解：设第二天和第三天这两天的平均增长率为x，
根据题意得：a（1+x）2＝a×（1+200%）×（1﹣25%），
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去），
∴第二天和第三天这两天的平均增长率为50%．
故答案为：50%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14. 如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18m，宽15m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224m2，则图中x的值为 　1m　．
【点拨】由题意：剩余绿地的面积为224m2，列出一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224，
整理得：x2﹣24x+23＝0，
解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去），
即图中x的值为1m，
故答案为：1m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本．
（1）若每本降价10元，平均每天可销售多少本书？此时每天销售获利多少元？
（2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价．
（3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由．
【点拨】（1）根据销售单价每降低5元，每天可多销售100本即可求得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”列方程，解方程即可求解；
（3）根据“总利润＝每千克利润×销售量”列方程，解方程即可得到结论．
【解析】解：（1）∵这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本．
∴降价10元，平均每天可销售：500+2×100＝700（本），
每天销售获利：（25﹣10﹣10）×700＝3500（元），
答：若每本降价10元，平均每天可销售700本书，此时每天销售获利3500元．
（2）依题意有：，
化简得：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝6000，
解得：x1＝20，x2＝40，
∵10≤x≤30，
∴x＝20；
答：该书的销售单价20元；
（3）销售该书每天的利润不能达到9000元．理由如下：
根据题意得：，
化简得：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝9000，
整理得x2﹣60x+950＝0，
∵Δ＝602﹣4×1×950＝﹣200＜0，
∴该方程没有实数根，
∴销售该书每天的利润不能达到9000元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
16.如图，有长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为22米）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门，设花圃的宽AB为x米．
（1）若围成的花圃面积为96平方米，求此时的宽AB；
（2）能围成面积为120平方米的花圃吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【点拨】（1）由篱笆的总长度可得出花圃的长AD为（34+2﹣3x）米，根据花圃面积为96平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙的最大可用长度为22米，即可得出结论；
（2）不能围成面积为120平方米的花圃，根据花圃面积为120平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣48＜0，可得出该方程无实数根，即不能围成面积为120平方米的花圃．
【解析】解：（1）∵花圃的宽AB为x米，
∴花圃的长AD为（34+2﹣3x）米．
依题意得：x（34+2﹣3x）＝96，
解得：x1＝4，x2＝8．
当x＝4时，34+2﹣3x＝24＞22，不合题意，舍去；
当x＝8时，34+2﹣3x＝12＜22，符合题意．
答：此时宽AB为8米；
（2）不能围成面积为120平方米的花圃，理由如下：
依题意得：x（34+2﹣3x）＝120，
整理得：x2﹣12x+40＝0，
∵Δ＝（﹣12）2﹣4×1×40＝﹣16＜0，
∴该方程无实数根，
即不能围成面积为120平方米的花圃．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
17.把一边长为60cm的正方形硬纸板，进行剪裁，折成一个长方体盒子．
（1）如图1，若正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为625cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，直接写出这个侧面积的最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）如图2，若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上）将剩余部分正好折成一个有盖的长方体盒子．若折成的一个长方体盒子的表面积为2800cm2，求长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．
【点拨】（1）①设剪掉的正方形的边长为x cm，由题意：折成的长方体盒子的底面积为625cm2，列出一元二次方程，解方程即可；
②设剪掉的正方形的边长为a cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系为y＝4（60﹣2a）a，再利用二次函数最值求出即可；
（2）设剪掉的长方形盒子的高为x cm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为2800cm2，列出一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为x cm，
由题意得：（60﹣2x）2＝625，
即60﹣2x＝±25，
解得：x1＝42.5（不合题意，舍去），x2＝17.5，
答：剪掉的正方形的边长为17.5cm；
②侧面积有最大值，理由如下：
设剪掉的小正方形的边长为a cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y与x的函数关系为：y＝4（60﹣2a）a，
即y＝﹣8a2+240a＝﹣8（a﹣15）2+1800，
∵﹣8＜0，
∴y有最大值，
当a＝15时，y最大＝1800，
即长方体盒子的侧面积的最大值为1800cm2，此时剪掉的正方形的边长为15cm；
（2）设长方体盒子的高为x cm，则长为（60﹣2x）cm，宽为（30﹣x）cm，
则表面积为：2（60﹣2x）（30﹣x）+2x（30﹣x）+2x（60﹣2x）＝2800，
解得：x1＝﹣40（不合题意，舍去），x2＝10，
则60﹣2x＝60﹣2×10＝40，30﹣x＝30﹣10＝20，
答：长方体盒子的长为40cm，宽为20cm，高为10cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t，且0≤t≤6．
（1）BP＝　（12﹣2t）　cm，BQ＝　4t　cm；
（2）t为何值时△PBQ的面积为32cm2？
（3）△PBQ的面积能达到40cm2，试做出判断，并说明理由．
【点拨】（1）当运动时间为t s时，BP＝（12﹣2t）cm，BQ＝4t cm；
（2）根据△PBQ的面积为32cm2，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）△PBQ的面积不能达到40cm2，假设△PBQ的面积能为40cm2，根据△PBQ的面积为40cm2，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣4＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即△PBQ的面积不能达到40cm2．
【解析】解：（1）当运动时间为t s时，BP＝（12﹣2t）cm，BQ＝4t cm．
故答案为：（12﹣2t），4t；
（2）根据题意得：BP BQ＝32，
即×（12﹣2t）×4t＝32，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4．
答：当t为2秒或4秒时，△PBQ的面积为32cm2；
（3）△PBQ的面积不能达到40cm2，理由如下：
假设△PBQ的面积能为40cm2，
根据题意得：BP BQ＝40，
即×（12﹣2t）×4t＝40，
整理得：t2﹣6t+10＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即△PBQ的面积不能达到40cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、三角形的面积以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出BP，BQ的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．
19.2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【点拨】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数＝经过两轮传染后患病人数×（1+12），即可求出结论．
【解析】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
培优拔尖
20. 如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　1　米．
【点拨】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解析】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，
整理，得x2﹣35x+34＝0．
解得，x1＝1，x2＝34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．
17. 如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为 　3米　．
【点拨】设道路的宽为x m，可借助平移性质得到长为（33﹣x）m、宽为（20﹣x）m的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程，解方程即可．
【解析】解：设道路的宽为x m，
由题意得（33﹣x）（20﹣x）＝510，
整理得x2﹣53x+150＝0，
解得x1＝3，x2＝50（不合题意，舍去），
故道路的宽为3米．
故答案为：3米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解题的关键．
22. （1）如图1，在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上，修建有道路，道路都是等宽的，剩余部分种上草
坪，测得草坪的面积是504m2，道路的宽度是多少？
（2）后来要在这块长为30m，宽为20m的矩形地面上，进行重新规划，打算修建两横两竖的道路（横竖道路
各与矩形的一条边平行），如图2，横、竖道路的宽度比为2：3剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是
地面面积的四分之一，应如何设计道路的宽度？
【点拨】（1）利用平移的性质，进而得出等式（30﹣x）（20﹣x）＝504，求出即可．
（2）设横道路的宽度为2xm，则竖道路的宽度为3xm，种植草坪的部分可合成长为（30﹣2×3x）m，宽为（20﹣2×2x）m的矩形，根据草坪的面积是地面面积的四分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其符合题意的值代入2x，3x中即可求出结论．
【解析】解：（1）设道路的宽应为x米，根据题意可得：
（30﹣x）（20﹣x）＝504，
解得：x1＝2，x2＝48（不合题意，舍去），
答：道路的宽应为2米．
（2）设横道路的宽度为2xm，则竖道路的宽度为3xm，种植草坪的部分的∽∵长为（30﹣2×3x）m，宽为（20﹣2×2x）m的矩形，
依题意得：（30﹣2×3x）（20﹣2×2x）＝×30×20，
整理得：（5﹣x）2＝，
解得：x1＝，x2＝（不符合题意，舍去），
∴2x＝2×＝5，3x＝3×＝．
答：横道路的宽度为5m，竖道路的宽度为 m．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23. 如图1，将一张宽10cm的矩形硬纸片裁剪掉图中阴影部分（两个正方形，两个矩形）之后，恰好折成如图2的底面为正方形的有盖纸盒（底面积大于侧面积），纸盒侧面积为32cm2，求该有盖纸盒的底面边长．（单位：cm）
【点拨】设剪掉的小正方形的边长为x cm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，根据纸盒侧面积为32cm2，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合底面积大于侧面积，可确定x的值，再将其代入（10﹣2x）中，即可求出结论．
【解析】解：设剪掉的小正方形的边长为x cm，则该有盖纸盒的底面边长为（10﹣2x）cm，
根据题意得：4x（10﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
当x＝1时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×1）2＝64＞32，符合题意，此时10﹣2x＝10﹣2×1＝8；
当x＝4时，（10﹣2x）2＝（10﹣2×4）2＝4＜32，不符合题意，舍去．
答：该有盖纸盒的底面边长为8cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
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