2.4一元二次方程根与系数的关系-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业

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2.4一元二次方程根与系数的关系 同步分层作业
基础过关
1．若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝﹣3 D．
2. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．7 D．﹣7
3. 已知一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1，x2，下列式子正确的是（　　）
A．x1 x2＝4 B．x1+x2＝﹣2 C． D．
4. 已知一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有一个根为2，则另一根为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．7 D．3
5．已知x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（　　）
A．a＝3，b＝1 B．a＝3，b＝﹣1 C．a＝﹣，b＝﹣1 D．a＝﹣，b＝1
6．下列方程两根之和是﹣2的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2﹣2x+3＝0
7．关于x的一元二次方程的两根互为相反数，且二次项系数为1，写出符合条件的一个方程 　　．
8．关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝﹣2，则b的值是 　　．
9.已知x1，x2是关于x的一元二次方程2x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x2＝2x1，则m的值为 　　．
10.若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，求下列代数式的值．
（1）+ （2）x12+x22 （3）（x1﹣x2）2 （4）+
（5）（x1﹣2）（x2﹣2） （6）（x1+）（x2+）
11.已知关于x的一元二次方程x2+x+2m＝0有一个实根为﹣2，求m的值及方程的另一个实根．
12.已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
能力提升
13. 若m，n为方程x2+x﹣5＝0的两根，则m2+6m+5n的值为（　　）
A．0 B．1 C．10 D．15
14. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值．
15. 已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两实数根，求下列各式的值：
（1）x1x22+x12x2；
（2）（x1﹣x2）2；
（3）+．
16. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1（x1﹣x2）＝（4+x2）（4﹣x2），求实数k的值．
17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+m+3＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）若方程的两根的平方和小于5，求整数m的值．
培优拔尖
18. 设α，β是方程x2+3x+1＝0的两根，则（α2+4α）（β2+4β）的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
19. 已知m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣2021＝0的根，则代数式m2﹣4m﹣2n+2023的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．4039 D．4040
20.若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0，则的值是（　　）
A．﹣2023 B． C．1 D．﹣1
21.若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 　25　．
22.阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　3　．x1x2＝　﹣1　．
（2）类比应用：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
23.已知x1，x2是方程x2﹣2x+q＝0的两个实数根，且x1+2x2＝3+．
（1）求q的值；
（2）求x13﹣3x12﹣2x2+3的值．
24.阅读材料：①韦达定理：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R，a≠0）中，两根x1，x2有如下关系；
②已知p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0，且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，
∴；
∴1﹣q﹣q2＝0可变形为的特征．
所以p与是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根．
则，
∴＝1．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n．求：的值．
答案与解析
基础过关
1．若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则（　　）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝﹣3 D．
【点拨】直接利用根与系数的关系对各选项进行判断．
【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
2. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．7 D．﹣7
【点拨】由根与系数的关系，得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，即可得到答案．
【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
所以x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4﹣3＝﹣7．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
3. 已知一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1，x2，下列式子正确的是（　　）
A．x1 x2＝4 B．x1+x2＝﹣2 C． D．
【点拨】直接根据根与系数的关系对A、B选项进行判断；利用求代数式的值可对C、D选项进行判断．
【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，所以A选项、B选项不符合题意；
+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣4）＝12，所以C选项符合题意；
+＝＝＝﹣，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4. 已知一元二次方程x2﹣5x+2m＝0有一个根为2，则另一根为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．7 D．3
【点拨】设方程的另一个根为x2，根据两根之和等于5，即可得出关于x2的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：设方程的另一个根为x2，
则2+x2＝5，
解得：x2＝3．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣是解题的关键．
5．已知x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，且x1+x2＝3，x1x2＝1，则a、b的值分别是（　　）
A．a＝3，b＝1 B．a＝3，b＝﹣1 C．a＝﹣，b＝﹣1 D．a＝﹣，b＝1
【点拨】利用根与系数的关系，构建方程求解即可．
【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣2a，x1 x2＝b．
又∵x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴﹣2a＝3，b＝1，
∴a＝﹣，b＝1．
故选：D．
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．
6．下列方程两根之和是﹣2的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2﹣2x+3＝0
【点拨】根据一元二次方程的两根之和等于分别计算．
【解析】解：A、在x2﹣2x﹣3＝0中，两根之和等于，故不合题意；
B、在x2+2x﹣3＝0中，两根之和等于，故符合题意；
C、在x2+2x+3＝0中，Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，无实数根，故不合题意；
D、在x2﹣2x+3＝0中，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，无实数根，故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，也涉及了根的判别式，解题的关键是知道一元二次方程的两根之和等于．
7．关于x的一元二次方程的两根互为相反数，且二次项系数为1，写出符合条件的一个方程 　x2﹣1＝0（答案不唯一）　．
【点拨】因为方程的两根互为相反数，所以两根之和为0，即一次项系数为0，方程可设为x2+a＝0（a≤0）．任意取一a值，即得所求方程．故此题答案不唯一．
【解析】解：∵方程的两根互为相反数，根据两根之和公式可知一次项系数为0，
为了保证方程有意义，△必须大于等于0．
所以一元二次方程可写为x2﹣1＝0等．
故答案为：x2﹣1＝0（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系写出方程，答案不唯一；做好此题要熟知：若二次项系数为1，当x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，本题利用后者的关系写出方程．
8．关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝﹣2，则b的值是 　﹣1　．
【点拨】由关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝﹣2，利用根与系数的关系，即可求得b的值．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝﹣2，
∴x1+x2＝b＝1﹣2＝﹣1，
∴b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】此题考查了根与系数的关系．此题比较简单，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，则x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
9.已知x1，x2是关于x的一元二次方程2x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x2＝2x1，则m的值为 　4　．
【点拨】根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1 x2＝，再根据x2＝2x1，求出x1＝1，x2＝2，即可得出答案．
【解析】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程2x2﹣6x+m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣＝3，x1 x2＝，
∵x2＝2x1，
∴x1＝1，x2＝2，
∴x1 x2＝＝2，
∴m＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10.若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，求下列代数式的值．
（1）+
（2）x12+x22
（3）（x1﹣x2）2
（4）+
（5）（x1﹣2）（x2﹣2）
（6）（x1+）（x2+）
【点拨】利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2和x1x2的值，然后把它们的值代入代数式可以求出代数式的值．
【解析】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝﹣．
（1）+＝＝＝﹣3；
（2）x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（﹣）＝；
（3）（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×（﹣）＝；
（4）+＝＝＝﹣；
（5）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣﹣2×+4＝；
（6）（x1+）（x2+）＝x1x2+2+＝﹣+2+＝﹣．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系求出两根的和与两根的积，然后把两根的和与两根的积代入代数式求出代数式的值．
11.已知关于x的一元二次方程x2+x+2m＝0有一个实根为﹣2，求m的值及方程的另一个实根．
【点拨】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得，﹣2+t＝﹣1，﹣2t＝2m，然后分别解方程得到t与m的值．
【解析】解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得，﹣2+t＝﹣1，﹣2t＝2m，
解得t＝1，m＝﹣1，
即m的值为﹣1，方程的另一个根为1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解答的关键是熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根的关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12.已知：关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
【点拨】（1）根据根的判别式先求出“△”的值，再判断即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2（m﹣1），x1 x2＝m2﹣2m，变形后代入，即可求出答案．
【解析】（1）证明：x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣2m）＝0，
Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m）
＝4＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程x2﹣2（m﹣1）x+（m2﹣2m）＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2（m﹣1），x1 x2＝m2﹣2m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝10，
∴4（m﹣1）2﹣2（m2﹣2m）＝10，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m＝3或﹣1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
能力提升
13. 若m，n为方程x2+x﹣5＝0的两根，则m2+6m+5n的值为（　　）
A．0 B．1 C．10 D．15
【点拨】由方程的解得定义可得m2+m＝5，再根据根与系数的关系可得m+n＝﹣1，然后对m2+6m+5n变形即可解答．
【解析】解：∵m，n为方程x2+x﹣5＝0的两根，
∴m2+m﹣5＝0，即m2+m＝5；m+n＝﹣1，
∴m2+6m+5n＝（m2+m）+5（m+n）＝5+5×（﹣1）＝0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识点，根据题意得到m2+1m＝5和m+n＝﹣1是解答本题的关键．
14. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）当该方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
（2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值．
【点拨】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根，则Δ＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围．
（2）利用根与系数的关系得到2m+1＝0，解关于m的方程即可求解．
【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴[﹣（2m+1]）2﹣4（m2﹣2）＞0，
解得：m＞﹣．
∴m的取值范围是m＞﹣．
（2）根据题意得2m+1＝0，
解得m＝﹣，
故m的值为﹣．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
15. 已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两实数根，求下列各式的值：
（1）x1x22+x12x2；
（2）（x1﹣x2）2；
（3）+．
【点拨】根据根与系数的关系找出x1+x2＝，x1 x2＝．再将（1）（2）（3）中的代数式转化成只含x1+x2与x1 x2的算式，代入数据即可得出结论．
【解析】解：∵x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝．
（1）x1x22+x12x2＝x1 x2 （x1+x2）＝×＝；
（2）（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1 x2＝（）2﹣4×＝；
（3）+＝＝＝＝．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2＝，x1 x2＝．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
16. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1（x1﹣x2）＝（4+x2）（4﹣x2），求实数k的值．
【点拨】（1）利用判别式的意义得到（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣1，利用x1（x1﹣x2）＝（4+x2）（4﹣x2）得到（1﹣2k）2﹣3（k2﹣1）﹣16＝0，然后解方程后利用k的范围确定k的值．
【解析】解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，
解得k≤；
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
∵x1（x1﹣x2）＝（4+x2）（4﹣x2），
∴（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16＝0，
∴（1﹣2k）2﹣3（k2﹣1）﹣16＝0，
整理得k2﹣4k﹣12＝0，
解得k1＝﹣2，k2＝6，
∵k≤，
∴k的值为﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+m+3＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）若方程的两根的平方和小于5，求整数m的值．
【点拨】（1）根据根的判别式的值即可判断；
（2）根据根与系数的关系解答即可．
【解析】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（m+3）＝m2+4m+4＝（m+2）2，
∴无论m取任何实数，总有（m+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝m+4，x1 x2＝m+3，
∵x12+x22＜5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＜5，
∴（m+4）2﹣2（m+3）＜5，
∴（m+3）2+1＜5，即（m+3）2＜4，
∴|m+3|＜2，
∵m是整数，
∴|m+3|＝0或|m+3|＝1．
∴m+3＝0或m+3＝±1，
∴整数m的值为﹣2，﹣3，﹣4．
【点睛】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
培优拔尖
18. 设α，β是方程x2+3x+1＝0的两根，则（α2+4α）（β2+4β）的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
【点拨】由一元二次方程的解的定义得到α2+3α＝﹣1，β2+3β＝﹣1；然后根据根与系数的关系得到α+β＝﹣3，αβ＝1；最后将其代入整理后的代数式求值即可．
【解析】解：∵α，β是方程x2+3x+1＝0的两根，
∴α2+3α+1＝0，β2+3β+1＝0，α+β＝﹣3，αβ＝1，
∴α2+3α＝﹣1，β2+3β＝﹣1．
∴（α2+4α）（β2+4β）
＝（α2+3α+α）（β2+3β+β）
＝（α﹣1）（β﹣1）
＝αβ﹣（α+β）+1
＝1﹣（﹣3）+1
＝5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
19. 已知m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣2021＝0的根，则代数式m2﹣4m﹣2n+2023的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．4039 D．4040
【点拨】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出m2﹣2m＝2021，，将原式化简求值即可．
【解析】解：∵m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣2021＝0的根，
∴m2﹣2m＝2021，，
∴m2﹣4m﹣2n+2023
＝m2﹣2m﹣2（m+n）+2023
＝2021﹣2×2+2023
＝4040，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
20.若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0，则的值是（　　）
A．﹣2023 B． C．1 D．﹣1
【点拨】根据非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0，得出a、b是方程x2﹣x﹣2023＝0的解，再根据一元二次方程根与系数的关系得出a+b与ab的值，把算式变形代入计算即可．
【解析】解：∵非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2023＝0，b2﹣b﹣2023＝0，
∴a、b是方程x2﹣x﹣2023＝0的解，
∴a+b＝1，ab＝﹣2023，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
21.若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 　25　．
【点拨】根据一元二次方程跟与系数的关系，结合“α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根”，得到α+β＝2，α2＝2α+4，代入α3+8β+1，经过整理变化，即可得到答案．
【解析】解：根据题意得：α+β＝2，α2＝2α+4，
α3+8β+1
＝α α2+8β+1
＝α（2α+4）+8β+1
＝2α2+4α+8β+1
＝4α+8+4α+8β+1
＝8α+8β+9
＝8（α+β）+9
＝16+9
＝25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
22.阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　3　．x1x2＝　﹣1　．
（2）类比应用：已知一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．
【点拨】（1）根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得：m+n＝3，mn＝﹣1，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
（3）可把s与t看作是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则有s+t＝3，st＝﹣1，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．
【解析】解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝3，x1x2＝＝﹣1，
故答案为：3，﹣1；
（2）∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n＝3，mn＝﹣1，
∴＝＝＝＝﹣11；
（3）∵实数s、t满足s2﹣3s﹣1＝0，t2﹣3t﹣1＝0，
∴s与t看作是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，
∴s+t＝3，st＝﹣1，
∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，
（s﹣t）2＝32﹣4×（﹣1），
（s﹣t）2＝13，
∴s﹣t＝，
∴
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把s，t看作是相应的方程的两个实数根．
23.已知x1，x2是方程x2﹣2x+q＝0的两个实数根，且x1+2x2＝3+．
（1）求q的值；
（2）求x13﹣3x12﹣2x2+3的值．
【点拨】（1）利用根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝q，则通过解方程组得x1＝1﹣，x2＝1+，然后计算q的值；
（2）先利用一元二次方程根的定义得到x12＝2x1+2，则x13＝6x1+4，所以x13﹣3x12﹣2x2+3化为﹣2x2+1，然后把x2＝1+代入计算即可．
【解析】解：（1）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝q，
由得x1＝1﹣，x2＝1+，
所以q＝（1﹣）（1+）＝1﹣3＝﹣2；
（2）∵x1是方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根，
∴x12﹣2x1﹣2＝0，即x12＝2x1+2，
∴x13＝2x12+2x1＝4x1+4+2x1＝6x1+4，
∴x13﹣3x12﹣2x2+3＝6x1+4﹣3（2x1+2）﹣2x2+3＝﹣2x2+1＝﹣2（1+）+1＝﹣1﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
24.阅读材料：①韦达定理：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c∈R，a≠0）中，两根x1，x2有如下关系；
②已知p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0，且pq≠1，求的值．
解：由p2﹣p﹣1＝0及1﹣q﹣q2＝0，可知p≠0，q≠0．
又∵pq≠1，
∴；
∴1﹣q﹣q2＝0可变形为的特征．
所以p与是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根．
则，
∴＝1．
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n．求：的值．
【点拨】根据题意知、是关于x的方程x2+5x﹣2＝0的两个根，根据根与系数的关系进行解答即可．
【解析】解：依题意得、是关于x的方程x2+5x﹣2＝0的两个根，则+＝﹣5．
【点睛】本题考查了根与系数的关系．根据阅读材料得出关于x的方程的一般形式是解题的难点．
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