八年级数学上册试题1.1认识三角形 双角平分线同步练习 浙教版（含答案）

1.1认识三角形-双角平分线
一、单选题
1．如图：、是、的角平分线，，（ ）
A．∠BPC=70 B．∠BPC=140
C．∠BPC=110 D．∠BPC=40
2．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是A2BD∠的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1=α，则∠A2013为（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，则∠BDC的度数是 （ ）
A．150° B．135° C．140° D．120°
4．如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36° B．30° C．20° D．18°
5．在中， ，若的平分线交于点，则的度数
是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：
①和都是等腰三角形
②；
③；
④若，则．
其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，平分，平分，与交于点，若，，则（ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
8．如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______．
10．如图，五边形在处的外角分别是分别平分和且相交于点P．若，则________．
11．如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．
12．如图，的角平分线、相交于点，，则______．
13．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD
的平分线，交BO的延长线于点E，记，，则以下结论①，②，③，④，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）
14．如图，在中，，，平分，平分，则______.
15．在△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，∠BOC=115°，则∠A的度数是_____．
16．如图，在△ABC中，．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2013BC与∠A2013CD的平分线相交于点A2014，得∠A2014 ．如果∠A＝n度，则∠A2014＝___________度．（直接用含n的代数式表示）
17．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝_________．
18．三角形ABC中，∠A=60°，则内角∠B，∠C的角平分线相交所成的角为_____．
19． 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得
（1）若，则_______，________，________
（2）若，则________．
20．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________．
三、解答题
21．如图，四边形中，和的平分线交于点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请直接写出与的数量关系．
如图，已知、的平分线相交于点，过点且．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求、的度数．
23．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
24.（1）问题发现：
如图1，在中，，和的平分线交于，则的度数是______
（2）类比探究：
如图2，在中，的平分线和的外角的角平分线交于，则与的关系是______，并说明理由．
（3）类比延伸：
如图3，在中，外角的角平分线和的外角的角平分线交于，请直接写出与的关系是______．
25．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
26.【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．
直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
(1)如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB的度数．
(2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
(3)在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数．
28．在△ABC中，已知∠A＝α．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D．求∠BDC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，求∠BFC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）．
29．如图1，△ABC的外角平分线交于点F．
（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为　 　；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是　 　；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
30．（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．
（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________．
（3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数．
答案
一、单选题
1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A
二、填空题
9．
10．105°
11．
12．．
13．①④
14．
15．50°
16．
17．36°
18．120°和60°
19． 40° 20° 10°
20．15°
三、解答题
21．
解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°，
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB= ，
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°；
（2）
证明：在四边形ABCD中，
∴
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
∴
22．
解：（1）∵和的平分线与相交于点，
∴，，
又，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵和的平分线与相交于点，
∴，．
23．
解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，
∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，
∴∠D=α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-α；
（3）如图，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，
∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．
故答案为：β．
24．
解：（1）∵，
∴，
∵和的平分线交于，
∴，，
∴
故答案为110°
（2），
证明：∵是的外角，
是的外角，
∴
，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）由（1）得，，
故答案为：．
25．
解：（1）∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
26．解：（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．
在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，
∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，
∴∠P=36°．
（3）∠P=26°，理由是：如图3：
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．
∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，
∴∠P+∠1=∠B+∠4．
∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．
（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，
∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，
∵∠C=α，∠B=β，
∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，
∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），
∴2α+β=3∠P
∴∠P=．
故答案为：∠P=．
②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，
∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，
∴∠P=．
故答案为：∠P=．
27．解：（1）∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，
∴∠ABO=50°．
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠EAB=∠OAB=35°，∠EBA=∠OBA=25°，
∴∠AEB=180°-35°-25°=120°；
（2）不发生变化，理由如下：
如图，延长BC、AD交于点F，
∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，
∴∠FAB=∠PAB=(180°-∠OAB)，∠FBA=∠MBA=(180°-∠OBA)，
∴∠FAB+∠FBA=(180°-∠OAB)+(180°-∠OBA)=(180°+∠AOB)=90°+∠AOB，
∵∠AOB=60°，
∴∠F=180°-(∠FAB+∠FBA)=90°-∠AOB=60°，
同理可求∠CED =90°-∠F=60°；
（3）①当∠DCE=2∠E时，显然不符合题意；
②当∠DCE=2∠CDE时，∠DCE==80°；
③当∠DCE=∠CDE时，∠DCE==40°，
综上可知，∠DCE的度数40°或80°．
28．
解：（1）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，
∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；
∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，
∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，
∴∠BFC＝∠A＝；
（3）∵∠GBC的平分线与∠GCB的平分线交于点M，
∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，
∵将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，
∴∠G＝∠BFC＝，
∴∠BMC＝90°+.
29．
解：（1）如图1，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，
∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°；
（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A ，
∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A ）＝90°﹣∠A，
又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，
∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，
∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
故答案为：α+β﹣∠A＝90°；
（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：
如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．
分两种情况：
如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，
∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，
即β﹣α﹣∠A＝90°；
如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，
∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，
即α﹣β﹣∠A＝90°；
综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．
30．
解：（1）如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为
∴
又∵
∴
∵在四边形中，内角和为
∴．
（2）法一：∵和分别平分和
∴
又∵
∴
∴
∴．
法二：连接BD，∵B、P、D三点共线
∴BD、AF、CE交于P点
∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，
∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB
∵和分别平分和，
∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB，
∵∠APC＝100°，
∴∠PAC＋∠PCA＝180° 100°＝80°，
∴∠PAB＋∠PCB＝80°，
∴∠B＝∠APC （∠PAB＋∠PCB）＝100° 80°＝20°．
（3）法一：如图：连接AC
∵，
∴
∴
又∵和分别平分和
∴
∴
∴．
法二：如图，连接BD并延长到G，
∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD，
∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，
∴∠2＋∠4=30°
同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70°
∴∠B＝70°．