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第4章《平行四边形》单元复习与检测试卷（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项不符合题意；
故选：D．
2．在平行四边形ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值可能是（ ）
A．2∶5∶2∶5 B．3∶4∶4∶5 C．4∶4∶3∶2 D．2∶3∶5∶6
【答案】A
【详解】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴B,C.,D不正确，A正确；
故选A.
如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，
量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．15米 B．20米 C．25米 D．30米
【答案】C
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长，也就是等边三角形的边长，周长也就不难得到．
【详解】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=5米，
∴BC=2EF=10米，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴BE=CF=BC=5米，
∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米．
故选C．
4．如图，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行且相等可得，，再根据顶点A，B，D的坐标求出长及点C的纵坐标即可．
【详解】四边形是平行四边形，
，，
A，B，D的坐标分别是，，，
，，
，点C的纵坐标为2，
顶点C的坐标是．
故选B．
5 . 如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，
若 ABCD的周长为18，，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】C
【详解】∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO
∴∠EAO=∠FCO
∵在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO
∴AE=CF，EO=FO=1.5
∵C四边形ABCD=18
∴CD+AD=9
∴C四边形CDEF=CD+DE+EF+FC=CD+DE+EF+AE=CD+AD+EF=9+3=12.
故选C
6.在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
【详解】解：根据平行四边形的判定，A、B、C条件均不能判定为平行四边形，
D选项中，由于AB∥CD，∠A＝∠C，所以∠B＝∠D，
所以只有D能判定．
故选：D．
如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．
如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．绿花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
【答案】C
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形的面积一分为四，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上对产生质疑．
根据平行四边形的性质可知把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得，，，根据等量相减原理知，依此就可找出题中说法错误的．
【详解】解：∵，
把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，
∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二且相等，
得，故A正确；
，
根据等量相减原理知，故B正确；
与显然不相等．故C错误；
，故D正确；
故答案为：C
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，
给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．
其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【详解】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO，
∴EO=FO，
∵AE=CF，
∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
②由E＝BF无法证明四边形DEBF是平行四边形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CDF，
∴∠AED=∠CFB，
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
④同理可证当∠ABE＝∠CDF时，四边形DEBF是平行四边形；
∴只有①③④可以，
故选B．
9．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104° C．114° D．124°
【答案】C
【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°，
故选C．
如图1，点E是平行四边形边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，
设点E经过的路径长为x，的面积是y，图2是点E运动时y随x变化的关系图象，
则与间的距离是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据点E的运动可得，设与间的距离是d，当点E在上时，的面积占平行四边形面积的一半，再根据平行四边形面积公式求解即可．
【详解】由图2可知，，
设与间的距离是d，
当点E在上时， ，
解得，
故选：D．
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，若，则______
【答案】
【分析】根据平行四边形性质，得出，再根据与互补即可求解．
【详解】解：，四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：
12 .将一块直角三角形纸片折叠，使点与点重合，展开后平铺在桌面上(如图所示)．
若，，则折痕的长度是 cm．
【答案】4
【分析】根据图形翻折变换的性质可知是的垂直平分线，由于是直角，故，进而可得出是的中位线，由中位线定理即可得出结论．
【详解】解：则题意知是的垂直平分线，
∴，，
∵是直角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：．
13．如图，在 ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于______
【答案】2cm
【详解】解：如图，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3cm，
∴EC=BC-BE=5-3=2cm．
故答案为：2cm
14．如图，平行四边形中，，，，则的面积 ．
【答案】
【分析】首先根据勾股定理的逆定理得到，然后利用平行四边形面积公式求解即可．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
如图，以平行四边形ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，
建立如图所示的平面直角坐标系． 若D点坐标为（5，3），则B点坐标为 ．
【答案】（－5，－3）
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据平行四边形ABCD对角线的交点O为原点和点D的坐标，即可得到点B的坐标．
【详解】解：∵坐标原点O为平行四边形ABCD对角线的交点
∴B、D两点关于点O对称
∵D（5，3）
∴B（-5，-3）
故答案为：（-5，-3）
16.如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，
还需增加的一个条件是 （填一种情况即可）．
【答案】BE=DF
【分析】根据平行四边形的判定添加条件即可．
【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴当BE＝DF时，可得OE＝OF，则四边形AECF为平行四边形，
∴可增加BE＝DF，
故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．
17．如图，平行四边形ABCD的邻边AD：AB=5：4，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE=2cm，则AF= cm．
【答案】5
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AB=CD，
∴BC:CD=AD:AB=5:4，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S ABCD=BC AE=CD AF，
∴AF:AE=BC:CD=5:4，
∵AE=4cm，
∴AF=5cm.
故答案为5.
如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，
点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，
则 秒后四边形成为一个平行四边形．
【答案】2
【分析】设运动时间为t秒，则AP=t，QC=2t，而四边形ABQP是平行四边形，所以AP=BQ，则得方程t=6-2t求解．
【详解】解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，
则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=6-2t，
∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故答案为：2．
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线上的两点，且，
求证：
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．
根据平行四边形的性质，利用证明，即可推出；
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
又，
∴．
∴．
20．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知．
(1)作出关于轴对称的（不写做法）．
(2)作出关于原点对称的并写出点的坐标（不写做法）．
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)
【分析】本题考查了作轴对称图形，作中心对称图形，求三角形的面积；
（1）先利用关于x轴对称的点的坐标特征，即可作出关于轴对称的；
（2）先利用关于原点对称的点的坐标特征，作出关于原点对称的，根据坐标系写出点的坐标；
（3）根据长方形的面积减去四个直角三角形的面积．
【详解】（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作，点的坐标为．
（3）的面积为．
21．如图，、、、在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)连接、，求证四边形为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定；
（1）由可证；
（2）结合（1），用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
，
（2）如图：
由（1）知，
，，
，
四边形为平行四边形．
22．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
(1)给出以下条件；①，②，③，请你从中选取两个条件证明；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）选取①②，利用ASA判定；也可选取②③，利用AAS判定；还可选取①③，利用SAS判定；
（2）根据可得，，再根据等式的性质可得，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．
【详解】（1）证明：选取①②，
∵在和中，
∴（ASA）；
（2）由（1）得：，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质可证，可得，根据一组对边平行且相等可判定四边形为平行四边形即可求解；
（2）过点作，交的延长线于，根据含角的直角三角形的性质可求出的长，根据平行四边形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
，
平行四边形的面积．
24．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，
点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
【详解】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
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第4章《平行四边形》单元复习与检测试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值可能是（ ）
A．2∶5∶2∶5 B．3∶4∶4∶5 C．4∶4∶3∶2 D．2∶3∶5∶6
如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，
量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（ ）
A．15米 B．20米 C．25米 D．30米
4．如图，平行四边形的顶点A，B，D的坐标分别是，，，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5 . 如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，
若 ABCD的周长为18，，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．
如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．绿花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，
给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．
其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104° C．114° D．124°
如图1，点E是平行四边形边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，
设点E经过的路径长为x，的面积是y，图2是点E运动时y随x变化的关系图象，
则与间的距离是（ ）
A．5 B．4 C． D．
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，若，则______
12 .将一块直角三角形纸片折叠，使点与点重合，展开后平铺在桌面上(如图所示)．
若，，则折痕的长度是 cm．
13．如图，在 ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于______
14．如图，平行四边形中，，，，则的面积 ．
如图，以平行四边形ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，
建立如图所示的平面直角坐标系． 若D点坐标为（5，3），则B点坐标为 ．
16.如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，
还需增加的一个条件是 （填一种情况即可）．
17．如图，平行四边形ABCD的邻边AD：AB=5：4，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE=2cm，则AF= cm．
如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，
点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，
则 秒后四边形成为一个平行四边形．
解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线上的两点，且，
求证：
20．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知．
(1)作出关于轴对称的（不写做法）．
(2)作出关于原点对称的并写出点的坐标（不写做法）．
(3)求的面积．
21．如图，、、、在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)连接、，求证四边形为平行四边形．
22．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
(1)给出以下条件；①，②，③，请你从中选取两个条件证明；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加，求证：四边形ABCD是平行四边形．
23．如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的面积．
24．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，
点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．
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