浙教版八年级数学上册试题 第2章 特殊三角形 单元复习题（含答案）

《特殊三角形》单元复习题
一、单选题
1．下列图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是(　　)
A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
3．在中，线段AD，AE，AF分别是的高、中线、角平分线，以下两个结论：①若，则点D，E，F重合；②若，则点F总在点D，E之间，其中（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②均是假命题 D．①②均是真命题
4．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
5．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若AE=2，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．若把这根芦苇拉向水池一边，顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（ ）尺．
A．6 B．5 C．13 D．12
7．如图，要使，下面给出的四组条件，错误的一组是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于点P．则下列结论：①图形中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；③OD＝OE；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、DE在同一条直线上，CM平分∠DCE连接BE以下结论：①CM⊥AE；②AD=BE；③AE=BE+2CM；④CMBE，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．勾股定理是历史是第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝42°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则∠BCD的度数为 _____．
12．如图已知A、B、C在同一条直线上，且、、，那么的角度是______．
13．如图，中，，，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为_____________．
14．如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连接CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为 __．
15．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠COE=________度．
16．如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，则的度数是______度．
17．如图，中，，平分交于点，交的延长线于点，交于点．若，，．则的长为_________．
18．如图，中，平分，、分别是的两外角的平分线，射线的反向延长线交于点P，下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是___________（直接填写序号）．
三、解答题
19．如图，在若干个长度为的小正方形组成的网格中，点，，在小正方形的顶点上．
(1) 在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2) 求的面积；
(3) 在直线上找到一点，使的长最短，在图中标出这一点的位置．
20．如图，在中，，．
（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
21．如图，在ABC中，∠C＝90 ，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
22．如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP求证：
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
23.在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得
(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
24．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；
图1
（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.
图2
25．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
答案
一、单选题
1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A
二、填空题
11．27°
12．62
13．
14．2.5
15．75
16．
17．8
18．①②④⑤
三、解答题
19．（1）解：如图所示，点，，关于直线的对称点分别为点，，，
连接，，，
∴即为所作．
（2）
．
（3）连接，与直线交于点，
∵点与点关于直线对称，
∴，
∴，
∴当点，，共线时，的长最短，即的长最短，
∴点即为所作．
20．解：（1）由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，
故答案为：垂直平分线，角平分线；
（2）∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵射线是的平分线，
∴．
21．
解：（1）过点O作OM⊥AB于点M
∵正方形OECF
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F
∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E
∴OM＝OE＝OF
∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E
∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°
∵
∴Rt△AMO≌Rt△AFO
∴∠MA0＝∠FAO
∴点O在∠BAC的平分线上
(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12
∴AB＝13
∴BE＝BM，AM＝AF
又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE
∴BM＋AM＝AB
即BE＋AF＝13
12－OE＋5－OE＝13
解得OE＝2
22．
解：（1）证明：∵三角形ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
∵点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，
∴BQ=AP，
在△ABQ与△CAB中，
∴．
（2）角度不变，60°，理由如下：
∵
∴∠CPA=∠AQB，
在△AMP中，
∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，
∴∠QMC=∠AMP=60°，
故∠QMC的度数不变，度数为60°．
（3）角度不变，120°，理由如下：
当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，
有AP=BQ，∴BP=CQ
∵∠ABC=∠BCA=60°，
∴∠CBP=∠ACQ=120°，
∴
∴∠Q=∠P，
∵∠QCM=∠BCP，
∴∠QMC=∠CBP=120°，
故∠QMC的度数不变，度数为120°．
23．（1）证明：在和中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴．
（2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，
∴ 垂直平分BM，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴ ，∠CME=∠CBD，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵∠CME=∠CBD，
∴，
∴∠BHE=∠AEM=900 ，即，
∵，
∴ ，
∴ ．
24．
（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形，
∴，，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，，
理由如下：由（1）的方法得，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
25．
解：（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．