浙教版八年级数学上册试题 2.4 等腰三角形的性质与判定同步测试（含答案）

2.4 等腰三角形的性质与判定
一、单选题
1．等腰三角形的一个外角等于130°，则它的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
2．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，相交于M、N两点；②直线MN交AD于点E；③连接EB．下列结论中错误的是（　　）
A．AD⊥BC B．EA＝EB C．∠AEB＝2∠ACB D．∠EBD＝2∠EBA
4．如图，在△ABC中，小美同学按以下步骤作图：①以点C为圆心，以BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD；②分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧交于点E；③作射线CE交BD于点F，连接AF．若△ABC的面积为10，则△ACF的面积为（　　）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．8
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过AB的中点E作FE⊥AB，垂足为E．下列说法正确的有（ ）个
①AF＝BF；②AD⊥BC；③BF⊥AC；④若AB＝10，BD＝4，则△BCF的周长为18
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，已知直线，将等边三角形如图放置．若，则等于（ ）
A．17° B．22° C．27° D．32°
7．如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
8．如图，是正三角形（等边三角形），D、E分别是边BC、AC上的两点，且，AD与BE相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
9．△ABC为等边三角形，点E为边AB的中点，点Q为边BC上一动点，以EQ为边作等边△EQF（点F在EQ的右侧），连接AF、FC，点P在射线CB上，且满足PE=EQ，有以下四个结论①∠FQC＝∠QEB；②FQ＝FC；③PB+QC=AE；④当AF⊥AB时，BC＝4PB，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，△ABC 中，AC＝DC＝3，BD 垂直∠BAC 的角平分线于 D，E 为 AC 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．6 B．4.5 C．3 D．2
二、填空题
11．等腰三角形的周长为，若有一边长为，则等腰三角形的其他两边长分别是____________．
12．如图，中，H是高的交点，且，则_____________．
13．如图，课间小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，他不小心将三角尺掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直），已知DC=3cm，CE＝4cm，则两条凳子的高度之和为 ___cm．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．
15．如图，AB=AC=CD，CD⊥AB于E，BD⊥BC于B，BC=4，则△BCD的面积是_____．
16．如图，等边△ABC中，AB＝2，高线AH＝，D是AH上一动点，以BD为边向下作等边△BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长为___________
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，AD＝6，AD是∠BAC的角平分线．若E，F分别是AD和AC上的动点，则EC＋EF的最小值是________．
18．如图，中，E是线段上一点，，，于D，，四边形的面积为8，则的面积为________．
三、解答题
19．阅读下列分解因式的过程：
．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：；
(2)三边，，满足，判断的形状
20．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD⊥BC，CE⊥AB．求证：
△AEF≌△CEB； (2) AF＝2CD．
21．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度数．
22．已知，在中，，，点为直线上一动点（点不与点，重合），连接，以为边作，使，，且点和点分别在直线的异侧，连接．
(1) 如图1，当点在线段上时，求的度数；
(2) 若，，请直接写出的长．
23．如图1，点C在线段AB上，点D，E分别在AB的上方和下方，且，，______．
(1)请你从①，②中选择一个合适的条件填入上述横线中，使得（只填序号），并给出证明；
(2)在（1）的条件下，连接DE，作平分交DE于点F，如图2，试判断CF与DE的位置关系，并给出证明．
24．如图1，在等边中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且．
请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：______________；______________．
【推广探究】如图2，在等边中，P、M分别为边AB、AC上的点，且，过点P作交AC于点O，过点M作交BC于点N，PQ与MN交于点F．
（1）______________．
（2）求证：．
【深入探究】如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFN的周长为，四边形CNFQ的周长为，，则______________（请用含有a、b的代数式表示）．
答案
一、单选题
1．C 2．D 3．D 4．B 5．C
6．B 7．A 8．C 9．C 10．B
二、填空题
11．9cm、1cm或5cm、5cm．
12．45°
13．7
14．
15．4
16．
17．
18．6
三、解答题
19．
(1)解：
(2)∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
即：或，
∴是等腰三角形．
20．
(1)证明：∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝45°，
∴AE＝CE，
∵AD⊥BC，
∴∠B＋∠BAD＝90°＝∠B＋∠BCE，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）；
(2)证明：∵△AEF≌△CEB，
∴AF＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2CD，
∴AF＝2CD．
21．
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD+∠EBA=60°，
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
∴∠BFD=60°．
22．
(1)解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC ∠DAC＝∠DAE ∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ECB＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°；
(2)解：当点D在线段BC上时，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝BC CD＝3，
由（1）得△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴CE＝3，
当点D在线段BC的延长线上时，如图，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝BC＋CD＝7，
∴CE＝7，
综上，CE长为3或7．
23．
(1)选择②．
证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
(2)．
证明：∵，
∴，
∵CF平分，
∴．
24．
解：如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
∴∠AOE=∠OBA+∠BAD=∠OBA+∠CBE=∠CBA=60°，
故答案为：AD=BE，60；
【推广探究】
（1）∵PQ∥BE，MN∥AD，
∴∠QMF=∠EAO，∠MQF=∠AEO，
在△MQF中，∠MFQ+∠QMF+MQF=180°，
在△AEO中，∠AOE+∠EAO+∠AEO=180°，
∴∠MFQ=∠AOE=60°，
故答案为：60；
（2）∵∠APQ+∠PAQ+∠PQA=180°，
∠MFQ+∠MQF+∠FMQ=180°，
且∠PAQ=∠MFQ=60°，
∴∠APQ=∠FMQ，
∵AM=BP，
∴AP=CM，
在△PAQ和△MCN中，
，
∴△PAQ≌△MCN（ASA），
∴PQ=MN；
【深入探究】
∵AM=BP，CQ=BN，
∴AP+AM=CQ+CN，
∵PQ=MN，
∴PF+b=a+c，
∴PF=a+c-b，
∴a+PF-b-c=a+a+c-b-b-c=2a-2b，
故答案为：2a-2b．