八年级数学上册试题 2.4.1 等边三角形及其性质与判定同步练习-浙教版（含答案）

2.4.1 等边三角形及其性质与判定
一、单选题
1．已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（　 　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．在中，，，．正确的结论是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．下列说法错误的是（ ）
A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
4．如图，△ABC是等边三角形，D是线段AC上一点（不与点A，C重合），连接BD，点E，F分别在线段BA，BC的延长线上，且DE=DF=BD，则△AED的周长等于( )
A． B．BF C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，，，，，，则CD的长为（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，已知和都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，BE交AC于点M，AD交CE于点N，AD，BE交于点P．则下列结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形、其中，正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ， ④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，O是三条高AD，BE，CF的交点，则以下结论中不一定成立的是（ ）
A．∠BOC＝120° B．AB＝2AE
C．∠BOD＝60° D．OE＋OF＝
9．如图所示，在四边形ABCD中，，，，，在AD上找一点P，使的值最小；则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
10．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，一定成立的是（　　）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
二、填空题
11．如图，在中，，，，，则为____________cm．
12．如图，等边△ABC中，AB＝2，高线AH＝，D是AH上一动点，以BD为边向下作等边△BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长为___________
13．如图，在等边中，D为边BC上一点，E为边CA延长线上的点，连接DE交AB边于点F，，若的面积为2，则的面积为______________．
14．如图在等边△ABC中，OA＝PB＝CD，若∠POD＝60°，OP＝3，则点P、D间的距离等于__________
15．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB=AD，过点A作分别交BC、BD于点E、F，若，则线段AE的长________．
16.如图，已知：，点、、……在射线上，点、、…在射线上，、、……均为等边三角形，若，则的边长为_______．
17．如图，等边中，，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段点B逆时针旋转60°得到，连接．在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．
18．如图，是等边三角形，点在上，，，．是延长线上一点，．连接交于点，则的值为______．
三、解答题
19．如图，在△中，，，，， 与相交于点．
(1) 求∠BOC的度数；
(2) 求证：△ABC为等边三角形．
20.如图，等边△ABC的边长为12cm，点P，Q分别是边BC，CA上的动点，点P，Q分别从顶点B，C同时出发，且它们的速度都为3cm/s．设运动时间为t秒．
(1)如图1，在P，Q运动的过程中，△PCQ能否成为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时的值．
(2)如图2，连接AP，交BQ于点M，在点P，Q运动的过程中，∠AMQ的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．
(1) 当MD⊥BC时．
① 若ME＝1，则点M到AB的距离为　 　；
② 若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周长；
(2) 若BC＝8，且△ABC的面积为40，则△CDM的周长的最小值为　 　．
22．八年级数学上册教材第80页有如下“探究”栏目：
探究．
如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
(1)图中直角边BC与斜边AB的数量关系是___________；
(2)爱动脑子的小明同学又用不同的方法对（1）中的结论进行了证明．如图，在中，，，作边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点P，连接CP．
①根据以上叙述在图中作出相应的辅助线：（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
②帮助小明完成证明过程．
23.两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；
(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；
(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
答案
一、单选题
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B
二、填空题
11．9
12．
13．6
14．3
15．15
16．16
17．3
18．
三、解答题
19．(1)解：∵，，，
∴，，
∴；
(2)证明：∵，且，
∴，
∴，
∵在中，，
∴为等边三角形．
20.（1）解：设经过t秒后，△PCQ是直角三角形．由题意：PC＝（12﹣3t）cm，CQ＝3t，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，当∠PQC＝90°时，∠QPC＝30°，∴PC＝2CQ，∴12﹣3t＝6t，解得t＝；当∠QPC＝90°时，∠PQC＝30°，∴CQ＝2PC，∴3t＝2（12﹣3t），解得t＝，∴经过秒或秒，△PCQ是直角三角形；
（2）解：∠AMQ的大小不变．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，∵点P，Q的速度相等，∴BP＝CQ，在△ABP和△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（SAS），∴∠BAP＝∠CBQ，∴∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°．
21.（1）解：①∵MD⊥BC，AB＝AC，D是BC的中点，∴A、M、D共线，∴AD是△ABC的对称轴，∵ME＝1，∴点M到AB的距离为1，故答案为：1；②∵D是BC的中点，MD⊥BC，∴MB＝MC，∴MD平分∠BMC，∴∠BMC＝2∠CMD＝60°，∴△BCM是等边三角形，∴BC＝BM＝MC，∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝6，∴BM＝MC＝BC＝6，∴△BCM的周长为BC+BM+MC＝18；
（2）连接AD交EF于点M，∵EF是AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴CM+MD＝AM+MD＝AD，此时△CMD的值最小，最小值为AD+CD，∵BC＝8，△ABC的面积为40，∴AD＝10，∵D是BC的中点，∴CD＝4，∴AD+CD＝14，∴△CMD的周长最小值为14，故答案为：14．
22.（1）中，，，．≌，,，是等边三角形（一角为的等腰三角形为等边三角形）．，，．
（2）①如图所示
②证明：，，．垂直平分，．，，，是等边三角形．，．，．
23.(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
(2)如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，
令AD与CE交于点G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°；
(3)∠A+∠BCD=180°．理由：
如图3，延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠ABC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．