浙教版八年级数学上册试题 4.3.3 平面直角坐标系 折叠问题（含答案）

4.3.3 平面直角坐标系-折叠问题
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（3，﹣1），将线段AB沿y轴折叠，使点B落在点B1（﹣3，﹣1）处，则点A的对应点A1坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
2．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（5，3），C（5，0），点D在线段OA上，将△ABD沿着直线BD折叠，点A的对应点为E，当点E在线段OC上时，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是OB上一点，将沿AC折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（ ）
B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，将沿直线折叠，使得点落在点处，与交于点，则点的纵坐标为（　　）
A． B． C． D．4
5．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OC、OA分别与x轴，y轴重合，连接OB，将长方形纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A，的位置，A，B与x轴交于D，若点B的坐标为（4，2），则点A，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（0，8），点M是正方形OABC的对称中心，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为点E，连接EM，当EM的值最小时，点D的坐标为（ ）
A．（4﹣4，8） B．（8﹣8，8） C．（16﹣8，8） D．（4，8）
7．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，把长方形纸片放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，与轴交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，点P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点处，则点的坐标为（ ）
A．(2，2) B．(，3) C．(2，) D．(，)
10．如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为____________．
12．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若，，则点E的坐标是______．
如图，长方形OACB在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝8，OB＝10．把长方形沿OP折叠，点B的对应点B1恰好落在AC边上，则点P的坐标是________．
14．如图，将长方形置于平面直角坐标系中，点的坐标为（0，4），点的坐标为（m，0）（m>0），点D（m，1）在上，将长方形沿折叠压平，使点落在坐标平面内，设点的对应点为点．
（1）当时，点的坐标为__，点的坐标为__；
（2）随着的变化，点能落在轴上，此时的值是__．
15．如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，BC⊥y轴，，点B的坐标为．将△ABC沿AC折叠得到△ADC，点B落在点D的位置，AD交y轴于点E，则点D的坐标为___________．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，4）点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为 _____．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，8），B（﹣6，0），连接AB．将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ___．
18．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为___________．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点D在边BC上，将该矩形沿AD折叠，点B恰好落在边OC上的E处，且△CDE为等腰直角三角形，若OA＝4，则点D的坐标是_____．
20．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在x的正半轴上，且，点E为的中点，连接，将沿折叠得到，其中交于点F，则点P的坐标是 ___________；点F的坐标是 ___________．
21．把一个矩形纸片如图放置在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C坐，点D，E分别在边上，连接，将矩形沿着折叠后，点A落在点处，点O与点B重合，回答下面的问题：
（1）线段与相等吗？___________；
（2）点E的坐标为________________；
（3）折痕的长为_____________．
三、解答题
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕所在的直线交轴正半轴于点，求点的坐标．
23．如图，平面直角坐标系中有一个长方形OABC，OA在x轴上，OC在⊙O上，B的坐标为（8，6），将△ABC沿OB折叠，使点A与点D重合，OD与BC交于点E.
求证：△OCE≌△BDE；
求点E的坐标.
在矩形中，，，点D为边上一点，将沿直线
折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求点D的坐标．
25．如图，长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O重合．B、D分别在x轴和y轴上，，．
直接写出C点坐标；
如图①折叠使B落在线段AC的处，折痕为CE，求E点坐标；
如图②点P在线段DC上，若为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标．
26．如图，将一张矩形纸片ABCD放入平面直角坐标系中，A（0，0），B（8，0），D（0，6），P为AD边上一点，将△ABP沿BP翻折，折叠后点A的对应点为A′．
如图①，当折叠后点A的对应点A′正好落在边DC上时，求A′C的长和A′的坐标；
如图②，当点P与点D重合时，点A的对应点为A′，A′B与DC相交于点E，求点E的坐标；
如图③，若沿BP翻折后PA′与CD相交于点E，恰好EA′=ED，BA'与CD相交于点F，求点P的坐标．（直接写出答案）
27．【问题初现】
（1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为，，D是BC边上的点，且D的坐标是，求线段BD的长．
【问题延伸】
（2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标．
【问题拓展】
（3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为、D点坐标为，在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明．
答案
一、单选题
1．B 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．C 10．D
二、填空题
11．(5，)
12．
13．（5，10）．
14． （3，4） （0，1）
15．
16．(0,-6)
17．
18．
19．（﹣4，）．
20．
21． 相等
三、解答题
22．
解：连接交BC延长线于D，
由折叠可知，，，
，，
∴，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
，
故答案为：．
23．
解：（1）∵四边形OCBA为矩形，
∴CO=AB，∠OAB=∠OCE．
由翻折的性质可知∠D=∠OAB，BD=AB，
∴OC=BD，∠D=∠OCE．
∴在△OCE和△BDE中，∠D=∠OCE，∠CEO=∠DEB，OC=BD，
∴△OCE≌△BDE．
（2）∵△OCE≌△BDE，
∴EO=EB．
设CE=x，则．
在Rt△OCE中，OC=6，根据勾股定理得，，
∴，，
∴x=，
∴E（，6）．
24．
解：∵矩形中，，，
∴，
∵将沿直线折叠，
∴，
在Rt△COE中
∴
设AD=m，则DE=BD=8-m，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，
即，解得m=3，
∴D（-3，-10）．
25．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，BC=AD=6,
∴；
（2）在中，
∵折叠使B落在线段AC的B处，
∴，
∴
∴
∴
即
解得：
∴；
（3）如图，若为等腰三角形，
①当，即点P在AB的垂直平分线上，
∴；
②当
∴
∴；
③当BA=BP=8，即
∴
∴
∴；
综上所述，若为等腰三角形，P点坐标为：．
26．（1）解：（1）∵A（0，0），B（8，0），D（0，6），
∴AD=6，AB=8，
∵矩形ABCD，
∴AD=BC=6，AB=DC=8，
由折叠知A′B=AB=8，
在Rt△BCA′中，∠C=90°，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵矩形ABCD，
∴DCAB，
∴∠ABD=∠BDC，
又由折叠知，∠ABD=∠A′BD，
∴∠BDC=∠A′BD，
∴ED=EB．
设DE=x，则EB=x，EC=8-x，
在Rt△ECB中，，即，
解得，
∴，
∴；
（3）解：根据折叠知∠A′=∠PAB=90°=∠PDE，AB=A′B=8，A′P=AP，
在△DPE和△A'FE中，
，
∴△DPE≌△A'FE（ASA），
∴PE=FE，PD=FA′，
DE+EF=A′E+PE=A′P=AP，
设AP=x，DP=A'F=6-x，CF=8-x，BF=A′B-A′F=8-（6-x）=x+2，
在Rt△CBF中，
即，
解方程得，
∴点P（0，）．
27．解：（1）∵C的坐标为
∴，
∵，
∴
在矩形OABC中，
∵D点坐标为
∴
∴
（2）如图1，过D作DH⊥OA于H，则
∵四边形ABCO是矩形，
∴
∴，
∴四边形OHDC是矩形
∴OH=CD=3，DH=OC=4
由折叠可得DE=BD=5
在中，
∴
∴E点坐标为
（3），理由如下：
如图2，设直线DF与x轴交于I点，
∵B点坐标为、D点坐标为
∴，
∴
由折叠可得，，
∵轴，
∴
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
∴
∴
∴．