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第4章《平行四边形》单元达标试卷（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意．
故选：A．
2．在平行四边形中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用平行四边形的对角相等，邻角互补即可得出答案．
【详解】解：如图所示：四边形是平行四边形，
，，
，
，
的度数是：．
故选：D．
3．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形中位线的知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键，根据题意知是的中位线，利用中位线的定理可知，即可解答．
【详解】解：∵C，D是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选D．
在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，
则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由、坐标可求得的长，根据平行四边形的一组对边平行且相等，即可得出结论．
【详解】解：，的坐标分别是，，
，
四边形为平行四边形，
，且，
点纵坐标与点纵坐标相同，都为，点横坐标为：，
点坐标为，
故选：C．
在平行四边形中，对角线、交于点O，
若，，，的周长为（ ）
A．13 B．16 C．18 D．21
【答案】A
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出，的长，即可得出的周长．
【详解】解：∵的两条对角线交于点O，，，，
∴，，，
∴的周长为：．
故选：A．
如图，平行四边形中，以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点F，G，
再分别以F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线，交边于点E．
若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得到，求出，根据尺规作图可得平分，根据角平分线及平行线的性质即可求解．
此题主要考查角度的求解，解题的关键是根据尺规作图得到是角平分线．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
由图的尺规作图可知平分，
∴，
∴，
故选D．
如图，在平行四边形中，于点，于点，若，
平行四边形的周长为10，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据周长是10可得，根据平行四边形的面积可得，再由可得，从而得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
∵的周长是10，
，
，，
，
，
故选：C．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．∠ADE=∠CBF B．∠ABE=∠CDF C．DE=BF D．OE=OF
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质，以及平行四边形的判定定理即可作出判断．
【详解】A、在平行四边形ABCD中，
∵AO=CO，DO=BO，AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
若∠ADE=∠CBF，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、若∠ABE=∠CDF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵AO=CO，
∴OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
C、若DE与AC不垂直，则满足AC上一定有一点M使DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形，则选项错误；
D、若OE=OF，
∵OD=OB，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故选C．
平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为，，，
以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，判定点所在象限，画出图形是解题的关键，注意分类讨论．
根据题意画出图形，即可求解．
【详解】解：根据题意画出图形：
、、三点位置如图所示，要使四边形为平行四边形，
则点有三种可能，
即分别以、、为对角线的平行四边形，
第四个顶点不可能在第一象限．
故选：A．
10．读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，在中，分别是边的中点．
求证：，且．
证明：延长到点，使，连接
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明，再推理得出四边形是平行四边形．
乙：如图3，连接；先后证明四边形分别是平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲思路正确，乙思路错误 B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确 D．甲、乙两人思路都错误
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，分别按照甲、乙两人的思路写出证明过程即可做出判断．
【详解】解：按照甲的思路证明如下：
延长到点，使，连接，如图1，
∵，分别是边，的中点．
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
四边形是平行四边形，
∴，，
又，
，．
按照乙的思路证明如下：
如图2，延长到点，使，连接，，．
∵，分别是边，的中点．
∴，，
，，
四边形是平行四边形，，，
∴，，．
四边形是平行四边形，
∴，，
又，
，．
综上可知，甲、乙两人思路都正确，
故选：C
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．在平行四边形中，，则的度数是_______
【答案】
【分析】由在平行四边形中，，即可求得与的度数，继而求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为:
12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝ ．
【答案】5
【详解】试题分析：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵BC=10，∴DE=5．故答案为5．
13．如图，在平行四边形中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，，AC＝2，则BD的长是 ．
【答案】2
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质推出△ABC是等腰直角三角形，再利用平行四边形对角线互相平分和勾股定理求出OB，进而求出BD即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴ ，，
∵AB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=2，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，
∴BD=2BO=2．
14 .在平行四边形中，和的平分线交于边上的一点E，且，，
则的长为_______
【答案】10
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线，推出，勾股定理求出的长，即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵和的平分线交于边上的一点E，
∴，
∴，
∴；
故答案为：10．
15．如图，已知在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，BC边上的高AE＝2，则DC边上的高AF的长是 ．
【答案】3
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴S ABCD=BC AE=CD AF=6×2=12，
∴AF=3．
∴DC边上的高AF的长是3．
故答案为3．
16.如图所示，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，过点作，交于点，连接，则的周长为 ．
【答案】8
【分析】根据平行四边形的性质，得知AO＝OC，由于OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可知AE＝EC，则△CDE的周长为CD与AD之和，即可得解．
【详解】根据平行四边形的性质，
∴AO＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE为AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴△CDE的周长为：CD＋AD＝5＋3＝8，
故答案为：8．
17 .如图，在图1中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，
在图2中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，…，
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个．
【答案】3n
【分析】在图１中，有3个平行四边形；在图2中，有6个平行四边形；.观察发现规律即可完成解答．.
【详解】解：在图1中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1//AC,A1B1∥AB,BC //B1C , A1C1=AC,A1B1=AB,BC =B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四边形，共有3个；
同理，第2个图形有6个，第3个图形有9个，以此类推可得，第n个图形有3n个．
故答案为3n．
18．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为，当 时，以为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】或
【分析】此题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，分别从点在的左侧与点在的右侧两种情况去分析，根据当时，以为顶点四边形是平行四边形，得出方程，解方程即可求求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【详解】解：当点在的左侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得；
当点在的右侧时，根据题意得：，，
则，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得；
综上可得，当或时，以为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图，在 ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
【答案】证明见解析.
【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴得△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF．
20．如图所示，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）根据平行四边形的性质，利用证明，即可推出；
（2）由推出，利用邻补角的性质以及平行线的判定定理即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
又，
∴．
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴．
∴．
21．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F.
（1）求证：OE=OF；
（2）连结DE、BF，试说明四边形BFDE是平行四边形.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易证得△OAE≌△OCF，则可得OE=OF；
（2）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=DF，BE∥DF，进而得出答案．
【详解】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴OE=OF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
又∵△OAE≌△OCF，
∴AE=FC，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将先左平移2个单位、再向下平移4个单位，请画出平移后；
(2)将绕着点旋转，请画出旋转后
(3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________．
(4)在平面直角坐标系中存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)、、．
【分析】（1）本题考查平移作图，根据题干条件，先平移关键点，再依次连接关键点的对应点即可．
（2）本题考查旋转作图，作图关键在于找准旋转中心，旋转角和旋转方向，先旋转关键点，再依次连接关键点的对应点即可．
（3）本题考查对称中心的概念，对应点连线的交点即是对称中心．
（4）本题考查平行四边形的判定，根据判定即可解题．
【详解】（1）
（2）
（3）
解：如图所示：对称中心为，
故答案为：．
（4）
解：因为点使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，
如图所示：点的坐标为、、．
故答案为：、、．
23 . 在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，
过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
(1)如图1，若点P在BC边上，此时PD＝0，易证PD，PE，PF与AB满足的数量关系是PD＋PE＋PF＝AB；当点P在△ABC内时，先在图2中作出相应的图形，并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的结论；
(2)如图3，当点P在△ABC外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系(不用说明理由)．
【答案】（1），证明见解析；（2）
【详解】解：（1）作图如图2：结论：
证明：过点P作MNBC，
四边形是平行四边形
四边形是平行四边形
又，MNBC
，∠AMN=∠B，
（2）作图如图3，结论：，
证明：过点P作MNBC，交AB、AC的延长线于M、N，
同（1）可得：AE=PF，PD=BM，PE=ME，
∴，
24 .我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，
点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形
【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．
（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．
（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
【详解】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD．
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
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第4章《平行四边形》单元达标试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2． 在平行四边形中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取，的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，的坐标分别是，，，
则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
在平行四边形中，对角线、交于点O，
若，，，的周长为（ ）
A．13 B．16 C．18 D．21
如图，平行四边形中，以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点F，G，
再分别以F，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线，交边于点E．
若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
如图，在平行四边形中，于点，于点，若，
平行四边形的周长为10，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A．∠ADE=∠CBF B．∠ABE=∠CDF C．DE=BF D．OE=OF
平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为，，，
以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．读下面的材料：定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图1，在中，分别是边的中点．
求证：，且．
证明：延长到点，使，连接
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图2，先证明，再推理得出四边形是平行四边形．
乙：如图3，连接；先后证明四边形分别是平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲思路正确，乙思路错误 B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确 D．甲、乙两人思路都错误
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11 . 在平行四边形中，，则的度数是_______
12． 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝ ．
如图，在平行四边形中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，，AC＝2，则BD的长是 ．
14 . 在平行四边形中，和的平分线交于边上的一点E，且，，
则的长为_______
如图，已知在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，BC边上的高AE＝2，则DC边上的高AF的长是 ．
如图所示，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，过点作，
交于点，连接，则的周长为 ．
17 . 如图，在图1中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，
在图2中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，…，
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个．
18 . 如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，
点从点出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为，
当 时，以为顶点的四边形是平行四边形．
解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图，在 ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
20．如图所示，在平行四边形中，E、F是对角线上的两点，且，求证：
(1)；
(2)．
21．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F.
（1）求证：OE=OF；
（2）连结DE、BF，试说明四边形BFDE是平行四边形.
22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)将先左平移2个单位、再向下平移4个单位，请画出平移后；
(2)将绕着点旋转，请画出旋转后
(3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________．
(4)在平面直角坐标系中存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，
请直接写出点的坐标是___________．
23 . 在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，
过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
如图1，若点P在BC边上，此时PD＝0，易证PD，PE，PF与AB满足的数量关系是PD＋PE＋PF＝AB；当点P在△ABC内时，先在图2中作出相应的图形，
并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的结论；
如图3，当点P在△ABC外时，先在图3中作出相应的图形，
然后写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系(不用说明理由)．
24 .我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，
点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．
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