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2023-2024学年浙江八年级数学下学期第一章《二次根式》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级温州市第三中学校考期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次根式的被开方数是非负数，即．
【详解】解：依题意得：，
解得．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．（本题3分）（2012下·浙江宁波·八年级统考期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质求出即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．
3．（本题3分）（2023下·浙江台州·八年级校考期中）若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
4．（本题3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得．
【详解】解：A、，故错误，不合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、和不能合并，故错误，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握二次根式的加减乘除法则是解题关键．
5．（本题3分）（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小正方形方格的顶点上，则边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，分母有理化．利用网格的特征和勾股定理求得的面积和线段的长度，再利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：的面积，
，
设边上的高为，
，
，
．
故选：B．
6．（本题3分）（2021下·浙江绍兴·八年级统考阶段练习）在长方形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果．
【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，
∴，，
∴空白部分的面积
故选：A．
7．（本题3分）（2023下·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据乘法公式，对作分母有理化变形，得，比较判断．
【详解】解：
∵
∴．
故选：C ．
【点睛】本题考查二次根式的化简，分母有理化，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
8．（本题3分）（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期末）适合的正整数a的所有值的平方和为（ ）
A．13 B．14 C．5 D．16
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号，求出正整数a的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵,
∴
∴，
∴，
∴正整数a的值为1，2，3，
∴．
故选：B．
9．（本题3分）（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知是的小数部分，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握完全平方公式和．首先根据题意可得，再根据完全平方公式可得，再代入求值即可．
【详解】解：是的小数部分，
，
．
故选：．
10．（本题3分）（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先根据得出，，根据要有意义，得出，根据得出，从而得出，将代入即可求出式子的值．
【详解】解：∵，
∴，，
∵要有意义，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式有意义的条件得出．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2023下·浙江湖州·八年级统考期中）当时，二次根式的值是 ．
【答案】
【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可．
【详解】解：当时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
12．（本题3分）（2023下·浙江·八年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
13．（本题3分）（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，已知，，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理即可求出的长，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【详解】解：∵，，
∴在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：,
故答案为：．
14．（本题3分）（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）已知，则的值为 ．
【答案】0
【分析】先算出的值，然后得出，再把原式进行整理即可得出结果．
【详解】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据式子特点找到简便方法．
15．（本题3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ．
【答案】3
【分析】根据同类二次根式的定义得到，据此求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
16．（本题3分）（2023下·浙江宁波·八年级校考阶段练习）已知，，则代数式的值是 ；
【答案】
【分析】根据题意可判断，，然后再根据二次根式乘除法法则和合并同类二次根式法则进行化简求值即可．
【详解】，，
，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式乘除法公式和合并同类二次根式法则是解本题的关键．
17．（本题3分）（2023下·浙江·八年级专题练习）等式在实数范围内成立，其中、、是互不相等的实数，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的非负性，得出，，推出，同理，得出，即，，推出，得出，代入已知等式可变为，移项、开平方得出，利用代入法求式子的值．
【详解】解：∵等式在实数范围内成立，
∴，，
∴，
∴，即，，
∴，
∴，
把代入已知条件，则，
∴，
∴原式．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，根据二次根式的非负性求出a的值和代入法求分式的值是解本题的关键．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2023下·浙江嘉兴·八年级校联考阶段练习）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简二次根式，再进行四则混合运算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）
【点睛】此题靠考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键．
19．（本题8分）（2023下·浙江·八年级专题练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴，∴，
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】（1）；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程．
20．（本题8分）（2023下·浙江·八年级专题练习）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为、宽为．
(1)求该矩形土地的周长；
(2)若种植造价每平方米元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用．（提示：结果保留整数，）
【答案】(1)
(2)元
【分析】（1）根据矩形的周长公式结合二次根式的运算法则进行计算即可；
（2）根据矩形的面积公式计算出矩形的面积乘以种植造价每平方米元即可得出答案．
【详解】（1）解：，
即该矩形土地的周长为；
（2）解：，
（元）．
故在该矩形土地上全部种植草坪的总费用约为15360元．
【点睛】本题考查了二次根式的实际应用以及矩形的周长和面积公式，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解本题的关键．
21．（本题8分）（2023下·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，在所给网格中按下列要求画出图形：
(1)已知点在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段，长度为，且点在格点上；
(2)以上题中所画线段为一边，另外两条边长分别是3，，画一个三角形，使点在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）；
(3)所画的三角形的边上高线长为________．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据网格的特点，勾股定理，画出，即可求解；
（2）根据网格的特点画出，即可求解；
（3）根据等面积法，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求，
（3）三角形的边上高线长为：
＝
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，二次根式的混合运算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22．（本题9分）（2023下·浙江金华·八年级校联考阶段练习）求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：
解：原式 解：原式
(1)________的解法是正确的；
(2)化简代数式，（其中）；
(3)若，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)小芳
(2)3
(3)
【分析】（1）根据题意，利用二次根式性质化简后求值即可验证；
（2）由得到，利用二次根式性质化简后求值即可得到答案；
（3）利用二次根式性质化简后，利用绝对值的代数意义，分三类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
即
当时，原式，
小芳的解法是正确的，
故答案为：小芳；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
当时，，解得；
当时，；
当时，，解得；
综上，a的取值范围是．
【点睛】本题考查代数式化简求值，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键．
23．（本题10分）（2023下·浙江·八年级专题练习）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则 ， ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）将展开，利用恒等式的性质，进行求解即可；
（2）将展开，得到，求出正整数解即可；
（3）将转化为，进行求解即可．
【详解】解：（1），
∵，且均为整数，
，
故答案为：；
（2），
∵，
∴ ，
又∵均为正整数，
∴ 或，
即或；
（3）．
【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的化简．理解并掌握题干中给定的解题方法，是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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2023-2024学年浙江八年级数学下学期第一章《二次根式》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2023下·浙江温州·八年级温州市第三中学校考期中）若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）（2012下·浙江宁波·八年级统考期中）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（2023下·浙江台州·八年级校考期中）若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C．D．
5．（本题3分）（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图，已知每个小方格的边长为1，，，三点都在小正方形方格的顶点上，则边上的高等于（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）（2021下·浙江绍兴·八年级统考阶段练习）在长方形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）（2023下·浙江湖州·八年级统考阶段练习）已知，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期末）适合的正整数a的所有值的平方和为（ ）
A．13 B．14 C．5 D．16
9．（本题3分）（2023下·浙江丽水·八年级期末）已知是的小数部分，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（2023下·浙江湖州·八年级统考期中）当时，二次根式的值是 ．
12．（本题3分）（2023下·浙江·八年级专题练习）计算： ．
13．（本题3分）（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，已知，，，则 ．
14．（本题3分）（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）已知，则的值为 ．
15．（本题3分）（2023下·浙江杭州·八年级校考阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ．
16．（本题3分）（2023下·浙江宁波·八年级校考阶段练习）已知，，则代数式的值是 ；
17．（本题3分）（2023下·浙江·八年级专题练习）等式在实数范围内成立，其中、、是互不相等的实数，则的值是 ．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（2023下·浙江嘉兴·八年级校联考阶段练习）计算：
(1)．
(2)．
19．（本题8分）（2023下·浙江·八年级专题练习）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵
∴，∴，
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
20．（本题8分）（2023下·浙江·八年级专题练习）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为、宽为．
(1)求该矩形土地的周长；
(2)若种植造价每平方米元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用．（提示：结果保留整数，）
21．（本题8分）（2023下·浙江杭州·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，在所给网格中按下列要求画出图形：
(1)已知点在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段，长度为，且点在格点上；
(2)以上题中所画线段为一边，另外两条边长分别是3，，画一个三角形，使点在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）；
(3)所画的三角形的边上高线长为________．（直接写出答案）
22．（本题9分）（2023下·浙江金华·八年级校联考阶段练习）求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：
解：原式 解：原式
(1)________的解法是正确的；
(2)化简代数式，（其中）；
(3)若，直接写出a的取值范围．
23．（本题10分）（2023下·浙江·八年级专题练习）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则 ， ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简．
试卷第1页，共3页
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