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【冲击重高】浙教版2023-2024学年八下数学第1章二次根式
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列式子中，a取任何实数都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知是整数，正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．0 C．3 D．4
4．把化简得（ ）
A． B． C． D．
5．代数式的最小值是（ ）
A．0 B． C．1 D．不存在的
6．若，则的值是（ ）
A．3 B．±3 C． D．±
7．已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且，，则p（ ）
A．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时是有理数，有时是无理数
8．已知x= ，则x2-2x +2022的值为（ ）
A．1 B．2021 C．2022 D．2023
9．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．若u，v满足v=， 则u2-uv+v2=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若，则 ．
12．已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
13．若x2+y2=1，则的值为
14．已知实数a满足，则的值为 ．
15．设n，k为正整数，，，…，已知，则 .
16．在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3，则：
（1）较小正方形的边长为 ．
（2）设两处空白部分的面积分别为，，
① ；（填>， <或=）
②若，则正方形内部较大的正方形面积为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
18．观察下列等式，解答后面的问题：
①；
②；
③；
……
（1）请直接写出第⑤个等式是 （不用化简）；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明．
19．请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值.小敏的做法是：根据得，，得：.把作为整体代入：得.即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求代数式的值.
20．观察下列式子变形过程，完成下列任务：
===
（1）类比上述变形过程的基本思路，猜想 的结果并验证；
（2）算： .
21．先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）化去式子分母中的根号： ， ；
（3）比较与的大小，并说明理由.
22．【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简．
解：．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
（1）化简的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．
23．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为
，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为____.
A．互为相反数 B．互为倒数
C．绝对值相等 D．没有任何关系
（2）已知，，求的值.
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）.
24． 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，的小数部分是 .
（2）若是的整数部分，是的小数部分.求的平方根.
（3）若，其中是整数，且，求的值.
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【冲击重高】浙教版2023-2024学年八下数学第1章二次根式
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列式子中，a取任何实数都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
故答案为：A
2．已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵x=+2，y=-2，
∴x+y=，xy=(+2)(-2)=5-4=1，
∴==5.
故答案为：C.
3．已知是整数，正整数n的最小值为（ ）
A．2 B．0 C．3 D．4
【答案】A
【解析】∵是整数，
∴正整数n的最小值为2.
故答案为：A.
4．把化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据得，m-1＜0，所以，
故答案为：D.
5．代数式的最小值是（ ）
A．0 B． C．1 D．不存在的
【答案】B
【解析】由条件得，
解得：x≥2．
≥=．
即代数式的最小值是．
故答案为：B．
6．若，则的值是（ ）
A．3 B．±3 C． D．±
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：A.
7．已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且，，则p（ ）
A．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时是有理数，有时是无理数
【答案】A
【解析】∵m、n是两个连续自然数（m＜n），
∴n=m+1，
q=mn=m（m+1）
∴q+n=m（m+1）+m+1=（m+1）2；
q-m=m（m+1）-m=m2，
∴，
∴2m+1是奇数.
故答案为：A
8．已知x= ，则x2-2x +2022的值为（ ）
A．1 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【解析】∵ x= ，
∴
原式= x2-2x +2023-2023+2022=.
故答案为：B
9．已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】，整数部分为2，小数部分为，
，整数部分为4，小数部分为，
，整数部分为5，小数部分为，
，整数部分为7，小数部分为，
，整数部分为8，小数部分为，
……
∴n为奇数时， ，它的整数部分为 ，小数部分为，
∴n为偶数时， ，它的整数部分为 ，小数部分为，
∴①，①正确；
②的小数部分为，故②错误；
③，③正确；
④，故④错误；
⑤
=
．故⑤正确，
∴①③⑤正确；
故答案为：B．
10．若u，v满足v=， 则u2-uv+v2=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵
∴
∴
故答案为：
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若，则 ．
【答案】0
【解析】∵，
∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0，
当x＞0，y＜0时，
原式==1-1=0，
当x＜0，y＞0时，
原式==0，
∴原式的值为0；
故答案为：0.
12．已知a，b，c为三角形三边，则 = ．
【答案】
【解析】由三角形的三边关系定理得：
则
故答案为： ．
13．若x2+y2=1，则的值为
【答案】2
【解析】因为x + y = 1，所以-1≤x≤1，-1≤y≤1，
∵
其中y-2<0，所以x+1≤0，
又因为-1≤x≤1，
所以x+1=0，x=-1，
所以y = 0，
所以原式
故答案为： 2
14．已知实数a满足，则的值为 ．
【答案】2024
【解析】∵，
∴a≥2024，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2024
15．设n，k为正整数，，，…，已知，则 .
【答案】1822
【解析】
故：
由
解得：
故答案为：1822.
16．在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置大小不同的两个小正方形，其中较小的正方形面积为10，重叠部分的面积为3，则：
（1）较小正方形的边长为 ．
（2）设两处空白部分的面积分别为，，
① ；（填>， <或=）
②若，则正方形内部较大的正方形面积为 ．
【答案】（1）
（2）=；12
【解析】
解：如图所示：
（1）∵S小正方形=边长边长
∴10=边长2
∴边长=
（1）①由外部为大正方形，则两空白部分的长和宽分别是大正方形与另两个正方形边长差，
易得两空白部分的长和宽分别相等，故S1=S2。
②由此易得，中间重叠部分为正方形，其边长为，
∵S1+S2=
∴S1=S2= =
∴S1这个长方形的长= =
∴较大正方形的边长为
∴S较大正方形= =12
故正确答案是：（1）
（2）① = ② 12
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．若x，y为实数，且y＝ ＋ ＋ ．求 － 的值．
【答案】解：要使y有意义，必须 ，即 ∴ x＝ ．当x＝ 时，y＝ ．
又∵ － ＝ －
＝| |－| |
∵x＝ ，y＝ ，∴ ＜ ．
∴原式＝ － ＝2
当x＝ ，y＝ 时，原式＝2 ＝
18．观察下列等式，解答后面的问题：
①；
②；
③；
……
（1）请直接写出第⑤个等式是 （不用化简）；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明．
【答案】（1）
（2）解：（n为正整数），
证明：∵左边，
n为正整数，即，
∴左边右边，
∴猜想成立．
【解析】（1）根据前面算式所表现规律可得：.
故答案为：
19．请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式的值.小敏的做法是：根据得，，得：.把作为整体代入：得.即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求代数式的值.
【答案】（1）解：，，，
，；
（2）解：，，
则，
.
20．观察下列式子变形过程，完成下列任务：
=
=
=
（1）类比上述变形过程的基本思路，猜想 的结果并验证；
（2）算： .
【答案】（1）解： ，
验证：
（2）解： ，
21．先阅读，再解答.由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
（1）的有理化因式是 ；
（2）化去式子分母中的根号： ， ；
（3）比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2）；
（3）解：，理由如下：，
，
∵，
∴，
所以.
【解析】（1）∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；
（2），；
故答案为：，；
22．【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简．
解：．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
（1）化简的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：化简，得．
∵，∴．
解得．
【解析】(1)，
故答案为：；
(2)，
故答案为：；
23．定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为
，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）对偶式与之间的关系为____.
A．互为相反数 B．互为倒数
C．绝对值相等 D．没有任何关系
（2）已知，，求的值.
（3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）.
【答案】（1）B
（2）解：由题意得=，=，
∴x+y=2，x-y=4，xy=1，
∴；
（3）解：令，则两边同乘以，得
24-x-（8-x）=2t，
解得t=8，
∵①，②，
∴①+②，得=10，
两边同时平方得4（24-x）=100，
解得x=-1，
经检验，x=-1是原方程的解.
【解析】（1）∵（）×（）=4-3=1，
∴对偶数与之间的关系是互为倒数，
故答案为：B；
24． 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，的小数部分是 .
（2）若是的整数部分，是的小数部分.求的平方根.
（3）若，其中是整数，且，求的值.
【答案】（1）；
（2）解：，即，
的整数部分，
又，
的整数部分为，的小数部分，
，
的平方根为
（3）解：，
，
又，其中是整数，且，
，，
，
答：的值为11.
【解析】（1），
的整数部分是，小数部分为，
，
，
，
的整数部分是1，小数部分为，
故答案为：，；
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