中小学教育资源及组卷应用平台
【冲击重高】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，是的两个根，且，则b的值是（ ）
A．1 B． C．1或7 D．7或
【答案】A
【解析】∵，是的两个根，
∴，，且，
∵，
∴，
∴，
解得：或-7，
当时，，
当时，，不合题意，舍去，
综上所述，b的值是1．
故答案为：A
2．已知：关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为 ， 其中 ，若 是关于 的函数，且 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 是关于 的一元二次方程，
，
由求根公式，得 .
或 .
， ，
， .
，
解得 ，
.
故答案为：D.
3．已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数m，使得，则称函数和具有性质P.以下函数和具有性质P的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【解析】当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，
对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；
对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
故答案为：A.
4．设k为非负实数，且方程-2kx+4=0的两实数根为a，b，则+的最小值为（ ）
A．-7 B．-6 C．2 D．4
【答案】C
【解析】∵x2-2kx+4=0有两个实数根
∴ =（-2k）2-4×4=4k2-16≥0
∴k2≥4
∵k为非负实数
∴k≥2
由韦达定理得：a+b=2k，ab=4
∴（a-1）+（b-1）=2k-2，
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=4-2k+1=5-2k
∴(a-1)2+(b-1)2=[(a-1)+(b-1)]2-2(a-1)(b-1)=(2k-2)2-2(5-2k)=4(k-)2-7
令y=4(k-)2-7，则函数图象开口向上，在对称轴右侧，y随k的增大而增大
∴当k=2时，y有最小值4（2-）2-7=2，即 + 的最小值为2
故答案为：C.
5．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD=a，DE=b，CE=c，关于x的方程（ ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
【答案】A
【解析】∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴△ADM≌△AEM（ASA）
∴∠ADM=∠AEM，MD=ME=DE=b，
∴∠BDM=∠MEC=90°+∠BAC，
∴∠BDM=∠MEC=∠BMC，
∵M是△ABC三条角平分线的交点，
∴∠DBM=∠MBC，
∴△DBM∽△MBC，
同理可证：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△MEC，
∴BD：ME=MD：CE，即a：b=b：c，
∴ac=b2，
即b2-4ac=0，
∴ 方程 一定有两个相等实根 .
故答案为：A.
6．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
【答案】D
【解析】∵x2≥0，∴2[x]≥0，即x≥0，
当0 ≤ x＜1时，[x]=0，∴x=0；
当1 ≤ x＜2时，[x]=1，∴x=或 x=-(舍)；
当2 ≤ x＜3时，[x]=2，∴x=2 或 x=-2(舍)；
当 x≥3时，无解.
故答案为：D.
7．已知两个关于x的一元二次方程 ，其中 .下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
【答案】D
【解析】A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0， <0，所以a与c符号相反， <0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得 c+ b+a=0，所以 是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意.
故答案为：D.
8．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】①当x=1时，a×+b×1+c=a+b+c=0，
那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，
此时b2-4ac≥0成立，那么①一定符合题意．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，
故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②符合题意．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，
则ac+b+1=0；当c=0，
则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定符合题意．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，
由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．
由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
则ax02+bx0+c＝0成立，那么④符合题意．
综上：正确的有①②④，共3个．
故答案为：A．
9．已知多项式，下列说法正确的个数为（ ）
若，则代数式的值为； 当时，代数式的最小值为； 当时，若，则的取值范围是．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】
解：∵ =0
∴，x=
∴代数式则错误，不合题意；
a=-3时， M-N =（ ）- （）=-6x-5，则错误，不合题意；
当时，
∴
∴
∴，则 错误，不合题意；
综上，正确的个数是0
故答案为：A.
10．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①∵，，
∴，，
∴，
∴点是点的“倍增点”；
∵， ，
∴，，
∴，
∴点 是点的“倍增点”；
∴结论①正确；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：a=0，
∴A（0，2）；
∴结论②错误；
③设点是的“倍增点”，
∴，
∴，
∴，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线上存在两个点是点的“倍增点”，
∴结论③正确；
④设点B（m，n），
∵点是点的“倍增点”，
∴2（m+1)=n，
∵B（m，n）， ，
∴，
∵5＞0，
∴的最小值是，
∴的最小值是，
∴结论④正确；
综上所述：正确结论的个数是①③④，共3个，
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知方程的根为，，则方程的根是 ．
【答案】，
【解析】∵x2-10x+21=0的两根为x1=3，x2=7，
∴方程(2x-1)2-10(2x-1)+21=0的根为2x-1=3或2x-1=7，
解得x1=2，x2=4.
故答案为：x1=2，x2=4.
12．若方程只有 3 个不相等的实数根，则a 的值为 .
【答案】±4
【解析】∵|x2＋ax|＝4，
∴x2＋ax 4＝0①或x2＋ax＋4＝0②，
方程①②不可能有相同的根，且原方程有3个不相等的实数根，
∴方程①②中有一个有等根，
而△1＝a2＋16＞0，
∴△2＝a2 16＝0，
∴a＝±4，
故答案为±4.
13．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 ．
【答案】20
【解析】由题意得：
令则原方程可化简为
∴
解之得： ，（不合题意，舍去）
∴
．
故答案为：20.
14．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
【答案】
【解析】∵，
∴3（c-a）2=（b-a）（b-c）
∵c=a+k（b-a），
∴c-a=k（b-a），
∴3（c-a）2=3
=（b-a）（b-c），
∵b＞a，即b-a≠0，
∴3k2（b-a）=b-c，
∴3k2（b-a）=b-a-k（b-a），
∴3k2=1-k，即3k2+k-1=0，
整理，解得：k=
或
，
又∵0≤k≤1，
∴ k=
.
故答案为：.
15．已知实数a、b、c，，，则c的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】∵，，
∴，
∴a和b为方程的两个根，
∴，
∴当c＜0时，，
当c＞0时，c≥2，
综上所述，c的取值范围是或，
故答案为：或
16．若，且，，则的值是 .
【答案】
【解析】，
∴，
.
把两边都除以，得.
，
，
，是方程的两个不相等的实数根，
.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．一个矩形的长为a，宽为b(a＞0，b＞0)，则矩形的面积为a b.代数式xy(x＞0，y＞0)可以看作是边长为x和y的矩形的面积.我们可以由此解一元二次方程：x2+x-6＝0(x＞0).具体过程如下：
①方程变形为x(x+1)＝6.
②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+1)2，又SABCD＝4x(x+1)+12.
∴(x+x+1)2＝4x(x+1)+1，又x(x+1)＝6，
∴(2x+1)2＝25，
∵x＞0，
∴x＝2.
参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx-n＝0的解(x＞0，m＞0，n＞0).(要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤)
【答案】解：①方程变形为x(x+m)＝n；
②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+m)2，又SABCD＝4x(x+m)+m2.
∴(x+x+m)2＝4x(x+m)+m2，又x(x+m)＝n，
∴(2x+m)2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝(-m)(m＞0，n＞0).
18．关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数k，使得 ？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，
解得：k＞
（2）解：存在，
∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，
∴将|x1|﹣|x2|= 两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，
代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：k=4
19．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
【答案】（1）n+3；n+2
（2）解：第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；
∴y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．
（3）解：当y＝506时，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．
解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．
∴此时的n值为20．
（4）解：白瓷砖的块数：n（n+1）＝20×21＝420．
黑瓷砖的块数：506﹣420＝86．
∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．
（5）解：不存在黑白瓷砖块数相等的情况，理由如下：
当黑白瓷砖块数相等时，有：
n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．
∴n2﹣3n﹣6＝0．
解得：或
∵n是整数．
∴不合题意，故不存在黑白瓷砖块数相等的情形．
【解析】（1）观察图形可知，每一横行有 （n+3）块瓷砖，每一竖列有（n+2）块瓷砖．
故答案为：n+3，n+2．
20．
（1）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排场比赛．
①共有 场比赛；
②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛 场，列方程： ．
（2）【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？
（3）【综合运用】
将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）28；x-1；；
（2）解：设有人参加聚会，
根据题意，得：，
解得，（舍去）
答：一共有人参加聚会；
（3）解：依题意得，，
，
∵n为正整数，
∴当时，；
当时，；
∴当或时，为整数．
【解析】（1）①共有场比赛；
②可设比赛组织者应邀请x队参赛，那么每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有x（x-1）场比赛，
根据题意，列出相应方程：x（x-1）=28，
故答案为：28；②（x-1），，；
21．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE= c，这时我们把关于x的形如ax2+ +b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是
12 ，求△ABC面积.
【答案】（1）解： （答案不唯一）
（2）解：
∴必有实数根
（3）解：∵x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0的一个根
∴ ，
∵四边形ACDE的周长是
∴
∴∴c=4
∴ ，
∴==
22．阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ .
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 的值.
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以 ＝﹣3.
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ .
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1.求 的值.
【答案】（1）-2；-
（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，
∴m+n＝1，mn＝﹣ ，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣ ×1＝﹣ ；
（3）把t2+99t+19＝0变形为19 （ ）2+99 +1＝0，
实数s和 可看作方程19x2+99x+1＝0的两根，
∴s+ ＝﹣ ，s ＝ ，
∴ ＝s+4 + ＝﹣ +4× ＝﹣ .
【解析】（1）x1+x2＝﹣ ＝﹣2，x1x2＝﹣ ；
故答案为：﹣2；﹣ ；
23．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
.
，
.
因此，该式有最小值1.
②已知：将其变形，，
，可得.
（1）按照上述方法，将代数式变形为的形式；
（2）已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
（3）已知.
①若，，则代数式 ▲ ；
②若，求代数式的最小值.
【答案】（1）解：；
（2）解：，
，
，
，，
且，
且，
，
为等边三角形；
（3）解：①；
②解：
∴====，
当时，取最小值.
【解析】（3）①，
即：，
∴，，
则，
故答案为：；
24．综合与实践：
问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题．
（1）操作探究：小广将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，，已知长，则点、之间的距离为 ．
（2）操作探究：小都将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．
其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小都同学求出此时点、之间的距离；
（3）操作探究：随后，小将图②中的换成了含角的三角板，同相是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，小广提出，如果把三角板也换成了含角的三角板，并利用旋转的知识，结论将更容易得到，你能求出此时点，之间的距离吗？
【答案】（1）；
（2）解：连接，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
解得：（负值舍去）；
（3）解：过作的延长线于点，过作的延长线于点，
，
四边形是矩形，
，
连接，
为中点且，
，
，即
，
，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得：或舍去，
，
，
是等腰直角三角形，
；
【解析】（1）操作探究：连接，
，，，
且，
四边形是正方形，
，，，
，
、、三点共线，
，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
，
解得：（负值舍去），
故答案为：；
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
【冲击重高】浙教版2023-2024学年八下数学第2章一元二次方程
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若，是的两个根，且，则b的值是（ ）
A．1 B． C．1或7 D．7或
2．已知：关于 的一元二次方程 ，设方程的两个实数根分别为 ， 其中 ，若 是关于 的函数，且 ，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数m，使得，则称函数和具有性质P.以下函数和具有性质P的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
4．设k为非负实数，且方程-2kx+4=0的两实数根为a，b，则+的最小值为（ ）
A．-7 B．-6 C．2 D．4
5．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD=a，DE=b，CE=c，关于x的方程（ ）
A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根
6．定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
7．已知两个关于x的一元二次方程 ，其中 .下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则 是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
8．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
9．已知多项式，下列说法正确的个数为（ ）
若，则代数式的值为； 当时，代数式的最小值为； 当时，若，则的取值范围是．
A．个 B．个 C．个 D．个
10．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知方程的根为，，则方程的根是 ．
12．若方程只有 3 个不相等的实数根，则a 的值为 .
13．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为 ．
14．商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得
，据此可得，最佳利好系数k的值等于 ．
15．已知实数a、b、c，，，则c的取值范围是 ．
16．若，且，，则的值是 .
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．一个矩形的长为a，宽为b(a＞0，b＞0)，则矩形的面积为a b.代数式xy(x＞0，y＞0)可以看作是边长为x和y的矩形的面积.我们可以由此解一元二次方程：x2+x-6＝0(x＞0).具体过程如下：
①方程变形为x(x+1)＝6.
②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+1)2，又SABCD＝4x(x+1)+12.
∴(x+x+1)2＝4x(x+1)+1，又x(x+1)＝6，
∴(2x+1)2＝25，
∵x＞0，
∴x＝2.
参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx-n＝0的解(x＞0，m＞0，n＞0).(要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤)
18．关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 、 ，存不存在这样的实数k，使得 ？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．
19．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
20．
（1）【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排场比赛．
①共有 场比赛；
②设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队要与其他 个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛 场，列方程： ．
（2）【小试牛刀】
参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？
（3）【综合运用】
将，，，……，，共个点每两个点连一条线段共得到条线段，将，，，……，．共个点每两个点连一条线段共得到条线段，问能否为整数？写出你的结论，并说明理由．
21．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE= c，这时我们把关于x的形如ax2+ +b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+ +b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是
12 ，求△ABC面积.
22．阅读材料：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ .
材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求 的值.
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，所以 ＝﹣3.
根据上述材料解决以下问题：
（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝ ，x1x2＝ .
（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：
（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，且st≠1.求 的值.
23．阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用.
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
.
，
.
因此，该式有最小值1.
②已知：将其变形，，
，可得.
（1）按照上述方法，将代数式变形为的形式；
（2）已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
（3）已知.
①若，，则代数式 ▲ ；
②若，求代数式的最小值.
24．综合与实践：
问题情境：数学课上，小广和小都两位同学利用三角板操作探究图形的旋转问题．
（1）操作探究：小广将两块全等的含角的直角三角板按如图①方式在平面内放置，其中两锐角顶点重合于点，，已知长，则点、之间的距离为 ．
（2）操作探究：小都将两块全等的含角的直角三角板按如图②方式在平面内放置．
其中两个角顶点重合于点，与重合，已知长，请你帮小都同学求出此时点、之间的距离；
（3）操作探究：随后，小将图②中的换成了含角的三角板，同相是顶点重合于点，与重合，已知直角边与长均为，他还想求点，之间距离，小广提出，如果把三角板也换成了含角的三角板，并利用旋转的知识，结论将更容易得到，你能求出此时点，之间的距离吗？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
