浙教版八年级数学上册试题 1.1认识三角形：三角形中的折叠问题同步测试（含答案）

1.1认识三角形-三角形中的折叠问题
一、填空题
1．如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．
2．如图，在中，，在边上取点，使得，连接．点、分别为、边上的点，且，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若，则的度数为_______．
如图1，已知长方形纸带，，．将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置．再沿折叠成图2．点、分别落在、的位置，已知，则_______．

4．如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是___.
5．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，把△ABD沿AD折叠后，使得点B落在点E处，连接CE，若∠DBE=15°，则∠ADC的度数为________
6．如图，在四边形 ABCD 中，∠C＋∠D＝210°，E、F 分别是 AD，BC 上的点，将四边形 CDEF 沿直线 EF 翻折，得到四边形 C′D′EF， C′F 交 AD 于点 G，若△EFG 有两个角相等，则∠EFG＝______ °．
7．如图，在中，,沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，若，则的度数是________.
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角.
（1）如图2，在△ABC中，∠B>∠C，若经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系是_______；
（2）如果一个三角形的最小角是20°，则此三角形的最大角为______时，该三角形的三个角均是此三角形的好角．
9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=120°，则∠A=__________
10．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是____________°．
二、解答题
11．阅读理解：如图 ， 中，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分：将余下部分沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分； 将余下部分沿 的平分线 折叠，点 与点 重合，无论折叠多少次，只要最后一次折叠恰好重合， 就被称为是 的好角． 探究发现： 小丽和小亮展示了确定 是 的好角的两种情形．小丽展示的如图 ，沿等腰三角形 顶角 的平分线 折叠，点 与点 重合；小亮展示的如图 ，沿 的平分线 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 的平分线 折叠，此时点 与点 重合．
（1）问题解决： 图 中 与 的关系为______，图 中 与 的关系为______．
（2）小丽又经过三次折叠发现了 是 的好角，请探究 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______． 根据以上内容猜想：若经过 次折叠 是 的好角，则 与 （不妨设 ）之间的等量关系为______．
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 ，，，发现 和 的两个角都是此三角形的好角．如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠，如果以 为好角，那么这个三角形需要经过______次折叠．
（4）应用提升： 如果一个三角形的最小角是 ，若使该三角形的三个角均是此三角形的好角，则三角形另外两个角的度数是多少？ 请以（______，______）的形式写出所有可能的结果；
12．教材呈现：如图是下册数学教材第76页的部分内容．
如图，已知△ABC分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3＝180°． 解：延长BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE＝∠2，则CD∥BA（同位角相等，两直线平行）
（1）请根据教材提示，结合图一，将证明过程补充完整．
（2）结论应用：
①如图二，在△ABC中，∠A＝60°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．
②如图三，将△ABC的∠A折叠，使点A落在△ABC外的A1处，折痕为DE．若∠A＝α，∠BDA1＝β，∠CEA1＝γ，则α、β、γ满足的等量关系为 　 　（用含α、β、γ的代数式表示）．
13．（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系（不必证明）
（2）如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数；
（3）如图3，在锐角中，于点F，于点G，、交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论．
14．如图1，三角形中，．点E是边上的定点，点D在边上运动．沿折叠三角形，点C落在点G处．
（1）如图2，若，求的度数．
（2）如图3，若，求的度数．
（3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出的度数
15．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
（1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ；
（2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ；
（3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
（4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 .
16．直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接．
（1）如图1，已知，分别是和角的平分线，
①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小．
②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________．
（2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数．
17.【问题探究】
将三角形纸片沿折叠，使点A落在点处.
（1）如图，当点A落在四边形的边上时，直接写出与之间的数量关系；
（2）如图，当点A落在四边形的内部时，求证：；
（3）如图，当点A落在四边形的外部时，探索，，之间的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】
（4）如图，若把四边形纸片沿折叠，使点A、D落在四边形的内部点、的位置，请你探索此时，，，之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.
（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设的度数为x，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
19．如图，将△ABC 分别沿 AB，AC 翻折得到△ABD 和△AEC，线段 BD 与AE 交于点 F．
（1）若∠ABC=16 ，∠ACB=30°，求∠DAE 及∠BFE 的值；
（2）若 BD 与 CE 所在的直线互相垂直，求∠CAB 的度数．
20.问题情境
如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折 叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿 ∠Bn An C 的平分线 An Bn－1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，我们就称 ∠BAC是△ABC 的正角．
以图 2 为例，△ABC 中，∠B=70°，∠C=35°，若沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，则∠AA1B=70°.沿 A1B1 剪掉重叠部分，在余下的△B1A1C 中，由三角形的内角和定理可知∠A1B1C=35°，若沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 第二次折叠，则点 B1 与点 C 重合. 此时，我们就称∠BAC 是△ABC 的正角.
探究发现
（1）△ABC 中，∠B= 2∠C ，则经过两次折叠后，∠BAC 是不是△ABC 的正角？ （填“是”或“不是” ) .
（2）小明经过三次折叠发现∠BAC 是△ABC 的正角，则 ∠B 与∠C （不妨设 ∠B ＞∠C ) 之间的等量关系 为 ．
根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠 ∠BAC 是△ABC 的正角，则∠B 与 ∠C （不妨设∠B＞ ∠C ) 之间 的等量关系为 ．
应用提升
（3）如果一个三角形的最小角是 10°，直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角均是 它的正角.
如图 1，一张△ABC 纸片，点 M、N 分别是 AC、BC 上两点.
（1）若沿直线 MN 折叠，使 C 点落在 BN 上，则∠AMC′与∠ACB 的数量关系是 ；
（2）若折成图 2 的形状.猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的数量关系，并说明理由.
猜想： .
理由：
（3）若折成图3 的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB 的数量关系是 .（写出结论即可）.
（4）将上述问题推广，如图4，将四边形 ABCD 纸片沿 MN 折叠，使点 C、D 落在四边形 ABNM 的内部时，∠AMD′＋∠BNC′与∠C、∠D 之间的数量关系 是 （写出结论即可）.
22．在中，于点
（1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数；
（2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明；
（3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.
23．（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠A=50°，求∠1+∠2的度数，猜想并直接写出∠1+∠2与∠A的数量关系．（不必证明）
（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=110°，求∠BIC的度数；
（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．
24．如图所示，分别为的边上两点，将沿折叠，点落在边上的点处，连结，求的度数．
25．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，连接AB,
（1）如图，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
①点A、B在运动的过程中，∠ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB的大小．
②如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，记作点C′，则∠ABO＝　 　°；如图，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，记作点C′′，则∠ABO＝　 　°．
（2）如图，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的倍，求∠ABO的度数．
答案
一、填空题
1．
2．
3．63°
4．2∠C=∠1+∠2
5．75°或105°
6．40 或 50
7．70°
8． 140°、120°或80°
9．600
10．105°
二、解答题
11．
解：（1）∵折叠后，B，C重合，
∴∠B=∠C；
∠B=2∠C，
小丽展示的情形二中，
∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠A1B1C=∠C；
∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），
∴∠B=2∠C．
故答案为：∠B=∠C，∠B=2∠C．
（2）在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；
将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，
将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，
则∠BAC是△ABC的好角．
∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，
∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．
故答案为：∠B=3∠C，∠B=n∠C．
（3）当以60°为好角，105°÷15°=7，需要折叠7次，
当以105°为好角，60°÷15°=4，需要折叠4次．
故答案为：7，4．
（4）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，
∵最小角是4°是△ABC的好角，
根据好角定义，则可设另两角分别为4m°，4mn°（其中m，n都是正整数）．
由题意，得4m+4mn+4=180，
∴m（n+1）=44，
∵m，n都是正整数，
∴m与n+1是44的整数因子，
因此有：m=4，n=10或m=11，n=3或m=22，n=1或m=2，n=21或m=1，n=33，；
当m=4，n=10时，4m=16°，4mn=160°；
当m=11，n=3时，4m=44°，4mn=132°；
当m=22，n=1时，4m=88°，4mn=88°；
当m=2，n=21时，4m=8°，4mn=168°；
当m=1，n=43时，4m=4°，4mn=172°；
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：16°，160°或44°，132°或88°，88°或8°，168°或4°，172°．
12．解：（1）证明：由题意知：
，
，
（平角的定义），
（等量代换）；
①如图二，中，，
．
平分，平分，
．
，
．
故答案为：．
②取与的交点为
翻折得到，
,
，
，
又，
在四边形中，
，
即，
化简得：，
故答案是：．
13.
解：（1）根据翻折的性质，∠ADE=（180°-∠1），∠AED=（180°-∠2），
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°，
整理得2∠A=∠1+∠2；
（2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，
∴∠A=55°，
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）
=（180°-∠A）=90°-∠A，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB），
=180°-（90°-∠A）=90°+×55°=117.5°；
（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∠FHG+∠A=180°，
∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=（∠1+∠2），
∴∠BHC=180°-（∠1+∠2）．
14．
解：（1）由折叠可知：
∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，
∵DE∥AB，AB⊥BC，
∴DE⊥BC，则G在BC上，
∴∠CDE=∠A=∠GDE=58°，
∴∠ADG=180°-58°×2=64°；
（2）由折叠可知：∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，∠DEC=∠DEG，
∵GE∥AB，
∴∠B=∠CEG=∠BEG=90°，
∴，
∴∠ADE=45°+32°=77°，∠GDE=180°-45°-32°=103°，
∵∠A=58°，∠B=90°，
∴∠ADG=∠GDE -∠ADE =103°-77°=26°；
（3）如图，DG∥AB，
则∠CDG=∠A=58°；
如图，DG∥BC，
∠ADG=∠C=32°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =148°；
如图，EG∥AC，
∠ADG=∠G=∠C=32°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =148°；
；
如图，EG∥AB，
∴∠A=∠CFE=58°，∠B=∠CEG=90°，
由折叠可知：∠DEG=∠DEC=45°，
∴∠CDE=180°-45°-32°=103°=∠EDG，
∴∠EDF=180°-103°=77°，
∴∠ADG=103°-77°=26°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =154°；
如图，DG∥AB，
∴∠ADG=∠A=58°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =122°；
如图，DE∥AB，
∴∠ADG=2∠C=64°，
∴∠CDG=180°-∠ADG =116°；
如图，GE//AB，
∴∠CEG=∠B =90°，
∴∠CDG=∠CEG -∠C-∠G =26°；
综上：其他所有情况下∠CDG的度数为58°或148°或154°或122°或116°或26°．
15．
解：（1）∵△是△EDA折叠得到
∴∠A=∠
∵∠1是△的外角
∴∠1=∠A+∠
∴；
（2）∵在四边形中，内角和为360°
∴∠A++∠∠=360°
同理，∠A=∠
∴2∠A+∠∠=360°
∵∠BDA=∠CEA=180
∴∠1+∠∠+∠2=360°
∴ ；
（3）数量关系：
理由：如下图，连接
由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠
∴；
（4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE
相加得：．
16．
解：（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵图2中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵图3中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为：30，60；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，
∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）；
②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；．
∴∠ABO为60°或72°．
17．
解：（1）如图，∠1=2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A；
∵∠1=∠A+∠EA′D，∴∠1=2∠A．
（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，
∴∠A′+∠A=∠1+∠2，
由折叠知识可得∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2．
（3）如图，∠1=2∠A+∠2
理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，
（4）如图，
根据翻折的性质，，，
∵，
∴，
整理得，．
18．
解：（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，
其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②∵∠AED=x，∠ADE=y，
∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，
∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③∠A=（∠1+∠2）；
∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，
∴x=90-∠1，y=90-∠2，
∴∠A=180°-x-y=190-（90-∠1）-（90-∠2）=（∠1+∠2）．
（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，
∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，
整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A=（∠2-∠1）．
19．
解：（1）∵∠ABC=16°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=134°，
∵△ABC≌△ABD，△ABC≌△AEC，
∴∠BAD=∠EAC=134°；∠DAE=134°×3－360°=42°．
∵∠D=∠ACB=30°，
∴∠BFE=∠DFA=180°－42°-30°=108°；
（2）∵BD 所在直线与 CE 所在直线互相垂直，
∴∠DBC+∠ECB=90°，
∵翻折
∴∠ABC=∠DBC ∠ACB =∠ECB
∴∠ABC+∠ACB= ( ∠DBC+∠ECB )=45°，
∴∠CAB=180°－(∠ABC+∠ACB )= 135°．
20．
解：（1）∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，
∴∠B=∠AA1B1；
又∵∠AA1B1=∠A1B1C+∠C且∠B= 2∠C
∴2∠C=∠A1B1C+∠C，得出∠C=∠A1B1C
又∵平分线A1B2
∴∠B1 A1 B2 =∠C A1 B2
∴ B1 A1 B2≌ C A1 B2
∴将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
∴∠BAC是不是△ABC的正角
故填：是；
（2）折叠的情况如下图：
∵根据折叠的性质知：∠B=∠AA1B1，∠A1B1C=∠A1A2B2，∠C=∠A2B2C，
∴∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；
∴∠AA1B1=∠A1B1C+∠C=∠A1A2B2+∠C=2∠C+∠C=3∠C
∴∠B=∠AA1B1=3∠C，即∠B=3∠C
故填：∠B=3∠C；
由折叠1次知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的正角；
由折叠2次知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的正角；
由折叠3次知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的正角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的正角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C
故填：∠B=n∠C；
（3）由∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的正角，
因为最小角是10°是△ABC的正角，
根据正角定义,则可设另两角分别为10m°,10mn°(其中m、n都是正整数)，
由题意,得10m+10mn+10=180,所以m(n+1)=,17，
∵m、n都是正整数，所以m与n+1是17的整数因子，
∴m=1，n+1=17，
∴m=1，n=16，
∴10m=10°,10mn=160°，
∴该三角形的另外两个角的度数分别为：10°、160°.
21．
解：（1）由折叠得：∠ACB=∠MC′C，
∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，
∴∠AMC′=2∠ACB；
故答案为∠AMC′=2∠ACB；
（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，
理由是：
由折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠CMA+∠CNB=360°，
∴∠AMC′+∠′BNC′=360°-∠CMN-∠C′MN-∠CNM-∠C′NM=360°-2∠CMN-2∠CNM，
∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°-∠CMN-∠CNM）=2∠ACB；
（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，
∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，
∵∠C=∠C′，
∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，
∴∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；
故答案为∠AMC′-∠BNC′=2∠ACB；
（4）由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，
∵∠DMA+∠CNB=360°，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2∠DMN-2∠CNM，
∵∠DMN+∠CNM=360°-∠C-∠D，
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（360°-∠C-∠D）=2（∠C+∠D）-360°，
故答案为∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D）-360°．
22．
解：（1）如图1中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△AED中，∵∠EAD=7°，
∴∠AED=83°，
∵∠AED=∠B+∠BAE，∠B=42°，
∴∠BAE=∠CAE=41°，
∴∠BAC=82°，
∴∠C=180°-42°-82°=56°．
（2）结论：∠AMF=∠ANG．
理由：如图2中，
由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∵∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，
∴∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，
∴∠AMF=∠ANG．
（3）①如图3-1当∠PQB=90°时，
∵∠B=∠F′=28°，
∴∠F′DQ=90°-28°=62°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FDF′=90°-62°=28°，
∴旋转角为28°．
②如图3-2，当∠BPQ=90°时，
∵∠B=∠F′=28°，
∴∠PQB=90°-28°=62°，
∵∠PQB=∠F′+∠F′DB，
∴∠F′DB=62°-28°=34°，
∴∠FDF′=90°-34°=56°，
∴旋转角为56°，
同法可得当旋转角为208°或236°时，也满足条件，
综上所述，满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°．
23．解：(1)∠1+∠2=2∠A；
理由：根据翻折的性质，∠ADE=(180°-∠1)，∠AED=(180°-∠2)，
∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠A+(180-∠1)+(180-∠2)=180°，
整理得2∠A=∠1+∠2，
∵∠A=50°，
∴∠1+∠2＝100°，
猜想：∠1+∠2=2∠A；
(2)由(1)∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，∴∠A=55°，
∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A，
∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(90°-∠A)=90°+×55°=117.5°；
(3)∵BF⊥AC，CG⊥AB，
∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，
∴∠FHG+∠A=360°-180°=180°，
∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，
由(1)知∠1+∠2=2∠A，
∴∠A=(∠1+∠2)，
∴∠BHC=180°-(∠1+∠2)．
24．
解：设，，
由三角形折角图知，则可列方程组
解得，，
即.
25．
解：（1）①∠ACB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠ABM=270°，
∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，
∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，
∴∠ACB=45°；
②∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60°，
故答案为30°，60°；
（2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF=90°．
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°；
②∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；
∴∠ABO为60°或72°．