浙教版八年级数学上册试题 2.5 逆命题与逆定理（含答案）

2.5 逆命题与逆定理
一、单选题
1．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．边边边公理
C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短
2．如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列定理有逆定理的是( )
A．直角都相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
4．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1
C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my
5．下列命题是定理的是（ ）
A．内错角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．一个角的余角不等于它本身
D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
6．下列定理中，不存在逆定理的是( )
A．等边三角形的三个内角都等于60°
B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
7．如图，已知在四边形中，，平分，，，
，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
8．把命题“如果x=y，那么=”作为原命题，对原命题和它的逆命题的真假性的判断，下列说法正确的是（　　）
A．原命题和逆命题都是真命题 B．原命题和逆命题都是假命题
C．原命题是真命题，逆命题是假命题D．原命题是假命题，逆命题是真命题
9．以下命题的逆命题为真命题的是（ ）．
A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．若a=b，则a2=b2 D．若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0
10．下列说法错误的是（ ）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
二、填空题
11．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：_______________________________
求证：_______________ ．
12．如图所示，，那么________，依据是__________．
13．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_____．
14．命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________.
15．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题．
16．请写出一个存在逆定理的定理：______．
17．P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC的度数为_____．
18．如图，在中，，O为的两角平分线的交点，且，，，则点O到边AB的距离为__________．
三、解答题
19．命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．
已知：________________
求证：___________________
证明：____________________．
20．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：∵∠B＝∠CGF（已知），
∴ABCD（ ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CDEF（ ）．
∴ABEF（ ）．
∴∠B＋∠F＝180°（ ）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）．
21．写出下列命题的逆命题，并判断真假．
(1) 如果a=0，那么ab=0；
(2) 如果x=4，那么x2=16；
(3) 面积相等的三角形是全等三角形；
(4) 如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；
(5) 在一个三角形中，等角对等边．
如图，现有以下三个条件：①AB∥CD,②∠B=∠C,③∠E=∠F.请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题.(1)你构造的是哪几个命题？(2)你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明;若是假命题，请举出反例.
23．请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，并进行证明：
24．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）线段AE与DB的数量关系为　 ；请直接写出∠APD＝　 ；
（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．
答案
一、单选题
1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B 8．D 9．B 10．D
二、填空题
11． 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线 求证：AD平分∠BAC.
12． ， 同角的余角相等
13．丁
14．如果a，b互为相反数，那么a+b=0
15．互逆
16．两直线平行，同位角相等（答案不唯一）
17．142°
18．2cm．
三、解答题
19．已知：在中，，、分别是和的角平分线，
求证：.
证明：,
,
、分别是和的角平分线,
,
,
在和中
，
，
即等腰三角形两底角的角平分线相等．
20．解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CDEF（同位角相等，两直线平行），
∴ABEF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
21．（1）的逆命题是如果ab=0，那么a=0.不成立.
（2）的逆命题是如果x2=16，那么x=4.不成立.
（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.
（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.
（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.
22．解：（1）由①②得到③；由①③得到②；由②③得到①,
（2）∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
所以由①②得到③为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
所以由①③得到②为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
所以由②③得到①为真命题．
23．逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
已知，如图，中，D是AB边的中点，且，
求证：是直角三角形
证明：是AB边的中点，且，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
是直角三角形．
24．（1）解：如图1中，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMC＝∠DMP，
∴∠APD＝∠ACD＝30°，
故答案为AE＝BD，30°
（2）如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．
理由：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMP＝∠DMC，
∴∠APD＝∠ACD＝30°．
（3）如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，
∵S△ACE＝S△DCB
∴CH＝CG，
∴∠DPC＝∠EPC
∵∠APD＝∠BPE，
∴∠APC＝∠BPC．